探讨初中数学动点问题的解题策略

探讨初中数学动点问题的解题策略

沈丹【摘要】数学一直被称作是科学之王，是一切知识的最高形式。初中数学包含方程、函数、几何等丰富内容，对很多学生来讲，复杂且抽象，学起来很吃力。动点问题是初中数学函数题型中常见的问题，存在一定的难度。在动点问题的学习上，很多学生都有畏难心理，教师在进行相关的教学时，可以把问题拆分为几个小问题，从浅到深，化动为静，使学生逐步掌握动点问题的解决方式。【Key】初中数学;动点;解题策略G633.6

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1671-8437（2020）28-0174-02动点問题是一类开放性题型，具有较强的灵活性，在解题时需要把握好动点问题的解题思路，将问题主体拆分成若干个小问题，由浅入深，层层递进，将一切动点问题静点化，通过动中取静和动静互换的方式确定题中变量间的关系、把握运动位置、构建函数关系，以此探寻解决问题的思路和办法。动点问题对培养学生的动态思维具有重要帮助，借助该思维方式，学生可以有效地解决数学中的类似问题，提升分析和解决问题的能力。1

明确问题中变量与不变量之间的关系动点问题的解决需要借助空间想象力，学生要想象问题中的动点，在“动”中求“静”，教师要在课堂上给学生演示，让学生理解变量和不变量之间的关系[1]。在解决动点问题时，学生需要找出条件中变量与不变量之间的关系，确定图形运动中变量与不变量之间的关系，从而找到有效的解决方法。明确问题中的变量和不变量关系的解题方法，可以让学生迅速在脑海进行解决问题的构想，选择适合解决问题的方法，从而有效地提高解题的正确率。2

构建图形中变量的函数关系很多解题方法是通过动点运动轨迹来解题，如一只蚂蚁从点出发，均匀绕扇形的一端一周，蚂蚁爬行的时间为，蚂蚁到点的距离为，计算的函数图象。分析：→的运动过程中，蚂蚁到点的距离随着爬行时间的增加而增加;→的运动过程中，蚂蚁到点的距离几乎不变;→的运动过程中，蚂蚁到点的距离随爬行时间的增大而缩小。用这种思维方式思考问题可以解答很多相似的题，如移动点和点、点组成的的形状面积如何变化？3

二次函数的动点问题在中学数学中，二次函数的动点问题难度较大，很多学生在学习过程中遇到颇多困难。通过一个动点，将几何图形与二次函数有机结合，解这类题需要具有严谨的逻辑思维和较强的理解能力[2]。充分把握二次函数的动点知识，既能让已学知识得到有效巩固，还能提高思维能力，提高答题的准确率。数学是一门抽象且复杂的学科，不仅需要学生具有强大的空间、逻辑思维，还要求学生全面提高对数学知识的理解能力及数学计算能力。然而，部分学生并没有很好地掌握该知识点，也不能熟练地运用这个知识点，这就需要教师提高课堂质量，让学生在学习二次函数的动点问题的时候不那么困难。另外，教师的单一教学方式也是问题之一，数学的灵活性很强，很多数学题都有不同的解法，部分教师在上课时不仅缺乏多种方法，还缺乏引导学生去探索另一种解法的鼓励。要想提高学生的数学能力，教师就要进行多元化教学，培养学生的多种解题思维。在学习动点的时候，学生需要努力，教师也需要努力，应该激发学生的积极性，让学生有勇气面对动点难题，提高学习效率。4

把握运动中的特殊位置在利用动点求一个值或者一个图形时，学生应该注意动点运动的位置和规律，把运动轨迹连接起来，捕捉图形运动变化所隐藏的静态瞬间，将一般的问题特殊化，寻求动与静的内在关系。在动点问题上，就像探索二次函数的性质一样，为了说明这部分的知识，传统的教法是这样的：首先取5个以上的动点，在练习本上画图象，然后研究二次函数的性质。在新教材中，可调整这里的部分知识，有效地融合几何画板和数学教学，在教室里进行二次函数图象的几何画板授课[3]。5

动点问题的解题策略与措施5.1

灵活运用知识点，探索多种解题方法数学问题的魅力在于其没有一种固定的解题思路，教师在教学中必须改变固有的思考方式，采取多元化的教学方法，明确地反映客观事实，帮助学生迅速、有效地理解其中的知识点。如果一板一眼地上课，学生迟早会感到厌倦。如针对初中函数的常见问题：如何把二次函数的图象移动到的图象的位置？看到问题后可以先作图，然后根据“左加右减”的法则，将向左平移2个单位变成，再根据“上增下减”的法则，将“+2”变为“-3”，必须将整个函数的图象向下平移5个单位。所以，答案是先向左移动2个单位，再往下移动5个单位。通过从不同角度思考问题来锻炼思维。5.2

联系生活用辅助工具解题生活中，有很多常见的东西可以让人联想到动点，利用生活中的事物辅助学生答题，能够让学生更加容易理解。对此，教师应在上课前做好充足准备，选用更加生活化的题，在准备教案时考虑学生的特性，使其掌握二次函数动点问题的整体内容。另外，教师也可以在课堂中将数学知识与生活联系，帮助学生更加形象地理解函数。如与几何图形结合，让学生更加直观地看到动点移动的轨迹，更加直观、方便地找出其中的数学规律，从而有效地完成解答。5.3

引导探究，化复杂为简单函数本身是很难理解的，在教授二次函数问题时，教师要尽量选择科学、恰当、通俗易懂的授课方式，简单、直观地教授学生。如在教授函数知识时，教师可以先把一条直线上两点之间的距离用代替，把复杂的坐标用数字标出来，方便学生直观理解，然后列举出一些组数值（注意选择简单、有特点的数值），让学生看到函数值的变化。如是二次函数的一般式，是带有二次函数根的表达式。教师可以利用不同的教授方法，引导学生掌握多种多样的思考方法，提高解题能力。6

动点问题的解法在初中数学学习中，经常会遇到题目中有这样一句话“加上，沿着某条线运动”，这样的问题叫做“动点问题”。动点问题与一般的几何问题不同，其图形形状会随着动点的运动发生变化。学生在遇到这样的问题时经常在两个地方出问题：一是不知道问题是什么;二是无法理解题目的意思。那么，要怎样避免这样的问题呢？在这里，笔者分享一下关于动点的学习经验。如题：在直角梯形中，、B=90°、=16cm、=6cm、=24cm，动点从点开始沿边向点以1cm/s的速度运动，动点从点开始沿边向点以4cm/s的速度运动，若、分别从点、同时出发，当其中一点达到端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为秒。（1）当为何值时，四边形是平行四边形？（2）四边形有可能是菱形吗？（3）当为何值时，四边形是直角梯形？（4）是否存在，使得四边形是等腰梯形？针对这个例题，按照上述步骤进行尝试。解析：（1）点和点为动点，剩下的点为定点。点运动的起点是点，终点是点，方向是从到，速度是1cm/s;点运动的起点是点，终点是点，方向是从到，速度是4cm/s。可以看到两个点中，点的速度很快。另外，这里需要特别注意，点从移动到需要16秒，点从移到只需要6秒。条件是“其中一点到达终点后，另一個要点就是停止运动”，所以，题中总共的运动时间最多是6秒。（2）表示线段。运动时间为时，=、=4、=16-、=24-4、=6、=10。（3）列方程式。这里利用几何图形本身的性质，找出其中的等量关系，排列公式。等边：=16-=4=3.2。菱形：四边相等，===，即=3.2，所以=12.8，但==10，矛盾，故不可能形成菱形。直角梯形：根据四边形为矩形，矩形的对边也相等，得==24-4，即=4.8。等腰梯形：等腰梯形的高度，基于两个三角形的联合。分别过点、做边上的垂线，垂足分别为、，=-（24-4）=24-16=6。检验结果，发现结果超过了6，去除。所以，不能形成等腰梯形。综上所述，对于初中数学中的动点问题，教师需要研讨出更多的方法，引领学生主动探索和研究，使学生多接触和了解一些动点题型，积累经验，这样在解题的时候，学生才可能想出更多的解答方法。教师也要多锻炼学生从不同角度、维度思考问题的习惯，提高其举一反三的