理论力学课件-第13章动能定理

§

13–

1§

13–

2§

13–

3§

13–

4§

13–

5§

13–

6力的功质点和质点系的动能动能定理功率·功率方程·机械效率场·势能·机械能守恒定律普遍定理的综合运用第十三章 动能定理§13-1

力的功W

M

2M1WF

drM

2M1vv一、力的功1、常力在直线运动中的功W

F

cos

θ

s

F

sv2、变力在曲线运动中的功δW

F

cos

ds

F

drvW

Fxdx

Fydy

Fzdz3、合力的功

W

Wi1、重力的功W

mgh

mgzC1

zC

2

只与重心的初末位置有关与路径无关二、几种常见力的功重心位置下降，重力作正功；重心位置上升，重力作负功。yzxWz1z2M2M1M2、弹性力的功r1v2rvM12MMrev

rvrkFk弹簧的弹力为v0F

kr

r

erv0

kr

r

r弹簧的弹力的为rv0W

F

vdr

kr

r

rdrv

kr

r

v

vdr

r

2r10k

kr

r0

dr弹簧的弹力的功为W

21MMW1r20

kr

r

drr2

)k2221(

r1v2rvM12MMrev

rvrkF22

)21

22、弹性力的功kW

(

1------初始位置时弹簧的变形量2------末了位置时弹簧的变形量弹性力做功只与初末位置时弹簧的变形量有关，与路径无关。FvrF213、定轴转动刚物体上作用力的功W

F

drv

F

ds

F

RdM

z

Ft

RW

M

z

d从角

1

转动到角2

过F

的功为zM

dW

M

z

2

1

4、任意运动刚体上力系的功将力系向刚体的质心简化，一般简化为一个力和一个力偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作的

等于力系中所有力所作的和，有dv平面运动刚体W

F

drv

M

dvR

C

CW

W

F

drv

MvR

CC1)动滑动摩擦力的功FN=常量时，W=–f´FN

S，与质点的路径有关。2)圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功5、摩擦力的功vv

vδW

F

dr

F

vC

dt

03)

滚动摩擦阻力偶M的功若M

=常量则W

M

M

sR只要A、B两点间距离保持不变，内力的和就等于零。不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。A

B

F'

drvvδW

F

drA

Bv

F

drv

rv

6、质点系v

内力的功v

vvA

F

dr

F

drBF

dBA

vv1)光滑固定面约束vFN

drvδW

FN

dr

02)活动铰支座、固定铰支座和向心轴承理想约束：反力

为零或之和为零的约束。7、理想约束反力的功δW

F

drv

F

'drv

F

drv

F

drv

04)柔索约束（不可伸长的绳索）拉紧时，

拉力的

之和恒等于零。3)联接刚体的光滑铰链（中间铰）例题13-1半径为2r的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上有绕有软绳，轮轴半径为r，绳上作用常值水平拉力F。求轮心C运动x距离时，力F所作的功。2rrCOxF解：将力F

向轮心简化。产生力偶

M=Fr

，轮的转动角度为

x

2r。根据式W

Fx

M

x

1

FxC

2r

2W

tC

M

dtCF

v0力F所作的功为2rOxFFrCM§13-2

质点和质点系的动能1、质点的动能T

1

mv22212i

im

v2、质点系的动能T

3、刚体的动能1）平动刚体2C21212i

iMvm

vT

2T

1

J

2PCPJ

J

Md

2（P为速度瞬心）12

2

1Md

2

22T

JC

22i

im

vT

2)

定轴转动刚体13)平面运动刚体212zJ

22

12

i

i

m

r

21212CJ

CMv

CvvCPd质量为m，半v0vRC例题13-2径为R的圆盘沿水平面作纯滚动，求其动能。解：方法一圆盘为平面运动，故其动能为212CJ

CT

1

Mv2

212mv2

0

R

2

21

1

mR2

v0

2

30mv24质量为m，半例题13-2径为R的圆盘沿水平面作纯滚动，求其动能。解：方法二22将圆盘的运动看成绕速度瞬心轴P轴作定轴转动，故其动能为1PT

J

2

21

1

R

v

2

mR2

mR2

0

0mv2340vvCRP单位长度质量为，轮的半径为R，轮轴之间的距离为d，

前进的速度为v0

。求全部

的总动能。C2C1dR例题13-30vv解：将分成四部分，如图C2C1dR0vvABMN将半圆环AM和半圆环BN

组成一圆环，此圆环作纯滚动，动能为2112OJ

T

O221

2R

R

R

22

v0

2R

R

20

2RvC2C1dR0vvABMN2T

1

mv2AB部分作平动，速度为2v0，动能为O21220d2v

20

2dvMN部分，动能为0故，

总能为：T

T1

T220

2Rv20

2dv思考：，楔块A向右移动速度为v1,质量22sin

]2222v

cos

)

vB

1T

m

[(v

Av1为m的物块B沿斜面下滑，它相对于楔块的速度为v2，求物块B的动能TB。Bv2§13-3动能定理1、质点的动能定理drv

vv

dtvvd

v

vmv

vdt

Fdrdtdtma

Fv

d

v(mv

)

Fv两边点乘以122

d

(mv

)

vdt

m

d(v

v

)

d(dt

2mv

)vF

dr

Wmv1d2

δW

2将上式沿路径M1M

2积分，可得2

1

121

mv

2

1

mv

2

W2

2质点动能定理的积分形式mv1d2

2

δW

质点动能定理的微分形式表明:在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量，等于作用于质点上的力作的功。2、质点系的动能定理对质点系中的一质点

Mi

：ii

i

δWm

v1d2

2

12d2

iδWi

im

v对整个质点系，有

idi

im

v122

iδWδW

即

dT

质点系动能定理的微分形式T2

T1

WdT

δWi将上式沿路径M1M

2

积分，可得质点系动能定理的积分形式表明:在质点系在某一段运动过程中，动能的改变量，等于作用于质点系上的全部力的功。微分形式------求加速度积分形式------求速度例题13-4sk2v

=

0OAv0质量为m1

的物块

A悬挂于不可升长的绳子上，绳子跨过滑轮与铅直弹簧相滑轮连的，质弹量簧为刚m度2系，数并为可看k。成设半径是

r

的匀质圆盘。现在从平衡位置给物块

A

以向下的初速度

v0

，试求物块

A由这位置下降的最大距离s，弹簧和绳子的质量不计。解：取整个系统作为研究对象。skAv02v

=

0O以物块具有初始速度瞬时为初始时刻，则21

0T1

TA

TO1

m

v

2

2

21

1

r

v

2

m

r

2

0

21

2

02142m

m

v以物块

A

的最大下降点作为末时刻，则T2

002k2m1

m2

vs

skAv02v

=

0O在物块下降到最低点的过程中，所有力的功为222112

W

WA

Wkk

m

gs

km

g11

2

1

s221W

ks222

01124T2

T1

W1

2m

m

v

ks两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B

端的速度。例题13-50.9mOA1.2mB解：取整个系统为研究对象0.9m1.2mOABA’B’AvvBvvT2

TOA

TAB

2当OA杆转到铅垂位置时，杆OA作定轴转动，杆AB瞬时平动，设AB质量为m，故T1

012OJ

2

1

mv22B

1

mv2

1

1

2m

0.92

22

3vB

vA

0.9ABT

T

T2

OA2B56mvW

2mg

0.9

mg(0.6

0.15)

1.35mg2T2

T1

W动能定理T1

02B256mvT

B5

mv2

0

1.35mg6vB

1.62g

3.98

m

/

s0.9m1.2mOABA’B’vAvvBv卷扬机。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮的半径为R1

，质量为

m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2

，质量为

m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为θ，圆柱只滚不滑。系统从

开始运动，求圆柱中心C经过路程s时的速度。OMDθC例题13-6解：圆柱和鼓轮一起组成质点系，所受力有OMCm1gFOxFOym2gFNFsDθ1所有力作功为：W

M

m2

g

sin

s质点系初始动能为：T1

0OMCm1gFOxFOym2gFNFsDθ1所有力作功为：W

M

m g

sin

s2质点系初始动能为：T

01质点系末时动能为：2C

221

1

2

C2

122J

1

m

v212J

T

11RvC22RvC

2

22

1

m

R2

42

CJ

m

R2

J1

1

1

CT

2m1

3m2

v2由动能定理T2

T1

WR1

(2m1

3m2

)(M

m2

gR1

sin

)sCv

2OMC1m

gFOxFOym2gFNFsDθ1W

M

m g

sin

s21T

0

221T2

4vC2m

3m4

s

R1

0

M

m g

sin

sC2m1

3m2

v22例题13-7O1行星齿轮传构，放在水平面内。动齿轮半径r

，重P，

视为均质圆盘；曲柄OO1重P1，长L

，作用一力偶，

矩为M(常量)，曲柄由

开始转动；

求曲柄的角速度

(以转角

的函数表示)

和角加速度。rOM解：取整个系统为研究对象W

MT1

01

1T2

TOO

TO1v

l

2

21212g2P

9Pl

T

OO1M1vvr

12122v1221

2

3g

P

r2

g2

g1

P1

Pl

22122O1

1

1

J

1212OJ

mvv

lr

r

11根据动能定理，得l

22

0

M112g2P

9P3gMl

2P1

9P

2对t

求导数，得

d

6gM

dt

(2P1

9P)l

2OO1M1vvr

1例题13-8图示系统中，均质滑轮A、B及物块M均重P，弹簧ABMkhv0v。刚性系数为k，初始系统现给物块M一向下的初始速度v0

，试问要使物块能够接触到地面，初始速度至少要为多少？不可伸长细绳的质量不计且与滑轮间无相对运动。ABMkhv0v解：物块M具有向下初始速度的一瞬间，滑轮A绕A作定轴转动，滑轮B作平面运动。质点系初始动能为：T1

TA

TB

TM

1

1

P2 2

g

R

v

2R2

0

TA2

22

g

2

1

P

v

2

0

R1 1

P

vR

2

0

BT

2 2

g0P

v24g0v216g3PABMkh0vv质点系初始动能为：T1

TA

TB

TMvAT

204g

16gP

3P20

BT

v202

g1

PMT

v20116

g15

PvT

质点系末时刻动能为：2T

0所有力的功为：W

WM

WB

WkABMkhv0v20116

g15

PvT

2T

0所有力的功为：W

WM

WB

Wk2M

BW

Ph

W

P

h2221

k2W

kk12

P

P

hk

28W

kh2ABMkh0vv20116

g15

PT

vT2

08W

kh2动能定理：T2

T1

W816

g15

P0

kh220v

15P2gkh20v

率：力在单位时间内所作的功；是衡量机器工作能力的一个重要指标；功率是代数量，并有瞬时性；§

13-4

功率·功率方程·机械效率vP

δW

F

dr

F

vv

Fvdt

dtv力的功率dtdtP

δW

Md

M力矩的功率W

或kW二、功率方程质点系动能定理的微分形式dT

δWi

dT

δWidt

dt即为功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数等于作用在质点系上所有力的功率的代数和。对于机器而言，一般情况下i

P无用有用输入

P

PdtdT

P100%

P有用P输入衡量机器对输入功率的有效利用程度。三、机械效率例题13-9车床电的功率P=4.5

kw，主轴的最低转速为n

=42

rpm，。设传动时由于摩擦而损耗的功率是输入功率的30%，如工件的直径

d=100

mm，求在此转速时的切削力F。nnrdFnnrdF解:

车床正常运转时是匀速的，因此动能不随时间改变，故输入功率与输出功率和消耗功率之和平衡。

dT

Pdt

P有用

P无用输入3150

WP无用

0.3P输入P有用

0.7P输入0F

1.43144

NP有用

0.7P输入

3150

W如忽略走刀阻力，则P有用就表示切削力F的功率，

。即P有用nnrdFN

ms－12

F

v

F

d

0.22F§13-5

场、势能机械能守恒定律1、力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。2、

场：

在力场中,如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为

场。3、有

：质点在场中受到的场力称为有势力(保守力)，如重力、弹力等。在

场中，质点从位置M

运动到任选位置M0，

有

所作的功称为质点在位置M

相对于位置M0的势能，用V

表示。M

0

M

0V

F

dr

Fxdx

Fy

dy

Fz

dzM

MM0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。4、势能设质点系只受到有有

)

作用，则(或同时受到不作功的非T1

V1

T2

V2

常数----------机械能守恒定律这样的系统成为保守系统。5、机械能守恒定律例题13-10长为L

，质量为m

的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心C

的速度（用杆的倾角

表达）。CC解：由于水平方向不受外力，且初始，故质心C

铅垂下降。由于约束反力不作功,主动力为有，因此机械能守恒。设地面为重力零势能位置，则C1初瞬时：T

02V

1

mgL1任意瞬时（杆作平面运动）2212

2C

CJ

1

mv2T

1V2

2

mgL

sinvCCvC1T

0初瞬时：2V

1

mgL122任意瞬时:

T

12C

1

mv22

&CJ

22V

1

mgL

sin

vCCv12CJ

1

mL22C224mL212

mvT

&C1T

0初瞬时：V

1

mgL1任意瞬时:22vCCv机械能守恒定律T1

V1

T2

V22224C2mv

V

1

mgL

sinmL212

T

&12Cv

gL1

sin

1

L2&2§13-6

普遍定理及综合应用1、动量定理------质心运动定理

2、动量矩定理------刚体定轴转动微分方程相对质心动量矩定理------刚体平面运动微分方程3、动能定理例题13-11两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始 ，C

点高度为h，求铰C到达地面时的速度。CABh解：ABChABCCvv系统在运动过程中，水平方向所受力始终为零，所以系统在水平方向质心位置守恒，且系统初始静止，故质心只有向下的速度，所以铰C达到地面时速度竖直向下，如图。此时A，B两点的速度均为零。于是有1T

0

2

2

l

l

2

C

T

3

g1 1

P

v

2 1

P2 3

gCv2ABChABCCvvT1

0223

g1

PCvT

W

P

h

2

Ph2代入动能定理：T2

T1

W

0

Ph1

P

v23

gCCv

3gh质心运动守恒与动能定理的综合运用问题。思考1：如图均质正方形板，边长为l，质量为m，初始。由图示位置受干扰后顺时针方向，不计摩擦，求当OA边到达水平位置时板的角速度。450OABD450ABDCOABDCCvvOvvP1

l

2

2

l2

212m

O水平方向动量守恒动能定理22

1

ml2

62

0

mg

l

思考2：质量为m0

的物体上刻有半径为r

的半圆槽，放在光滑的水平面上，原处于状态。有一质量为m的小球自A处无初速度地沿光滑半圆槽下滑。求小球滑到B处时相对于物体的速度及槽对小球的压力。OABrrvvOArrvv水平方向动量守恒vBm0v

mvr

v

0212m

v

mv

v2

0

mgr120r动能定理质点运动微分方程man

F

mgr

N思考3

物体A、B，质量分别为mA、mB，用弹簧相连，放在光滑水平面上。弹簧原长为

l0

，刚度系数为k。现将弹簧拉长到

l

后无初速

，求当弹簧恢复原长时物体A、B

的速度，弹簧质量不计。AB水平方向动量守恒mAvA

mBvB

0动能定理20020kl

l

l

l2BA

A12

0

12

2m

vB

1

m

v2

AFkFkvFNANBFm

gvAm

gvBAvvBvvlB例题13-12重P1=150N的均质圆盘与重P2=60N、长l=24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。

系统由图示位置无初速地

。求系统经过最低位置时，B'点的速度及支座A的约束反力。A60oBB'60oABB'解：（1）圆盘受力如图BFBxFBy故：在运动过程中，圆盘作平动P2运用相对质心动量矩定理JB

M

B

F

e

0

00

0且o60BB'（2）动能定理求速度BvvAAB初始：T1

02最低位置：T2

TAB

TB1B

BA

AB

1

m

v22

J

B2

v22

g1

P

l

v

221

P3

g1

l

2

B

B1P

3P2

26gvo60BB'（2）动能定理求速度T1

0BvvAABT

P1

3P2

v22

B6g所有力的功