导数公式的证明最全版

导数的定义：f'(x)=limAy/Ax△xTO(下面就不再标明Ax—O了)用定义求导数公式f(x)=xAn证法一：(n为自然数)f'(x)=lim[(x+Ax)An-xAn]/Ax=lim(x+Ax-x)[(x+Ax)A(n-1)+x*(x+Ax)A(n-2)+...+xA(n-2)*(x+Ax)+xA(n-1)]/Ax=lim[(x+Ax)A(n-1)+x*(x+Ax)A(n-2)+...+xA(n-2)*(x+Ax)+xA(n-1)]=xA(n-1)+x*xA(n-2)+xA2*xA(n-3)+...xA(n-2)*x+xA(n-1)=nxA(n-1)证法二：(n为任意实数)f(x)=xAnlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*xAnf'(x)=nxA(n-1)1/9f(x)=sinxf'(x)=lim(sin(x+Ax)-sinx)/Ax=lim(sinxcosAx+cosxsinAx-sinx)/Ax=lim(sinx+cosxsinAx-sinx)/Ax=limcosxsinAx/Ax=cosxf(x)=cosxf'(x)=lim(cos(x+Ax)-cosx)/Ax=lim(cosxcosAx-sinxsinAx-cosx)/Ax-cos)/Ax=lim(cosx-sinxsinAx=lim-sinxsinAx/Ax=-sinxf(x)=aAx)(4证法一：f'(x)-aAx)/Ax=lim(aA(x+Ax)1)/Ax=limaAx*(aAAx-92/(设aAAx-1=m,贝^Ax=logaA(m+1))=limaAx*m/logaA(m+1)=lima"*m/[ln(m+1)/lna]=limaAx*lna*m/ln(m+1)=limaAx*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=limaAx*lna/ln[(m+1)A(1/m)]=limaAx*lna/lne=aAx*lna证法二：f(x)=aAxlnf(x)=xlna[lnf(x)]'=[xlna]'f'(x)/f(x)=lnaf'(x)=f(x)lnaf'(x)=aAxlna若a=e,原函数f(x)=eAx则f'(x)=eAx*lne=eAxf(x)=logaAxf'(x)3/9=lim(logaA(x+Ax)-logaAx)/Ax44/9=limlogaA[(x+Ax)/x]/Ax=limlogaA(1+Ax/x)/Ax=limln(1+Ax/x)/(lna*Ax)=limx*ln(1+Ax/x)/(x*lna*Ax)=lim(x/Ax)*ln(1+Ax/x)/(x*lna)=limln[(1+Ax/x)A(x/Ax)]/(x*lna)=limlne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=logeAx=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/xf(x)=tanxf'(x)=lim(tan(x+Ax)-tanx)/Ax=lim(sin(x+Ax)/cos(x+Ax)-sinx/cosx)/Ax=lim(sin(x+Ax)cosx-sinxcos(x+Ax)/(Axcosxcos(x+Ax))=lim(sinxcosAxcosx+sinAxcosxcosx-sinxcosxcosAx+sinxsinxsinAx)/(Axcosxcos(x+Ax))=limsinAx/(Axcosxcos(x+Ax))=1/(cosx)A2=secx/cosx=(secx)A2=1+(tanx)A2f(x)=cotxf'(x)=lim(cot(x+Ax)-cotx)/Ax=lim(cos(x+Ax)/sin(x+Ax)-cosx/sinx)/Ax=lim(cos(x+Ax)sinx-cosxsin(x+Ax))/(Axsinxsin(x+Ax))=lim(cosxcosAxsinx-sinxsinxsinAx-cosxsinxcosAx-cosxsinAxcosx)/(Axsinxsin(x+Ax))=lim-sinAx/(Axsinxsin(x+Ax))=-1/(sinx)A2=-cscx/sinx=-(secx)A2=-1-(cotx)A2f(x)=secxf'(x)=lim(sec(x+Ax)-secx)/Ax=lim(1/cos(x+Ax)-1/cosx)/Ax=lim(cosx-cos(x+Ax)/(AxcosxcosAx)=lim(cosx-cosxcosAx+sinxsinAx)/(Axcosxcos(x+Ax))=limsinxsinAx/(Axcosxcos(x+Ax))=sinx/(cosx)A2=tanx*secx9)f(x)=cscxf'(x)=lim(csc(x+Ax)-cscx)/Ax/9=lim(1/sin(x+Ax)-1/sinx)/Ax=lim(sinx-sin(x+Ax))/(Axsinxsin(x+Ax))=lim(sinx-sinxcosAx-sinAxcosx)/(Axsinxsin(x+Ax))=lim-sinAxcosx/(Axsinxsin(x+Ax))=-cosx/(sinx)A2=-cotx*cscx(10)f(x)=xAxlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*xAxh(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim(f(x+Ax)g(x+Ax)-f(x)g(x))/Ax=lim[(f(x+Ax)-f(x)+f(x))*g(x+Ax)+(g(x+Ax)-g(x)-g(x+Ax))*f(x)]/Ax=lim[(f(x+Ax)-f(x))*g(x+Ax)+(g(x+Ax)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Ax)-f(x)*g(x+Ax)]/Ax=lim(f(x+=lim(f(x+Ax)-f(x))*g(x+Ax)/Ax+(g(x+Ax)-g(x))*f(x)/Ax=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)h(x)=f(x)/g(x)/9h'(x)=lim(f(x+Ax)/g(x+Ax)-f(x)g(x))/Ax=lim(f(x+Ax)g(x)-f(x)g(x+Ax))/(Axg(x)g(x+Ax))=lim[(f(x+Ax)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Ax)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Axg(x)g(x+Ax))=lim[(f(x+Ax)-f(x))*g(x)-(g(x+Ax)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Axg(x)g(x+Ax))=lim(f(x+Ax)-f(x))*g(x)/(Axg(x)g(x+Ax))-(g(x+Ax)-g(x))*f(x)/(Axg(x)g(x+Ax))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))xh(x)=f(g(x))h'(x)=lim[f(g(x+Ax))-f(g(x))]/Ax=lim[f(g(x+Ax)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Ax(另g(x)=u，g(x+Ax)-g(x)=Au)=lim(f(u+Au)-f(u))/Ax=lim(f(u+Au)-f(u))*Au/(Ax*Au)=limf'(u)*Au/Ax=limf'(u)*(g(x+Ax)-g(x))/Ax=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1)y=f(x)=arcsinx/9siny=x贝U(siny)'二cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy-(siny)A2=1/V1(siny=x)-xA2=1/V1-xA2f'(x)=1/V1即(16)y=f(x)二arctanxtany=x贝(tany)'=1+(tany)A2=1+xA2所以(arctanx)'=1/1+xA2f'(x)=1/1+xA2即总结一下'=nxA(n-1)xAn)('=cosxsinx)('=-sinx)(cosx'=aAxlna)(aAx'=eAxeAx)('=1/(xlna))(logaAx8/9lnx)'=1/x(tanx)'=(secx)八2=1+(tanx)八2(cotx)'=-(cscx)八2=-1-(cotx)八2(secx