2023届甘肃省张掖市重点校高三上学期第二次检测数学（理）试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2023届甘肃省张掖市重点校高三上学期第二次检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】解出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，因此，.故选：A.2．对于实数，下列结论中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，则【答案】D【分析】利用不等式的性质或举例判断即可.【详解】对于A，若，则，故A错；对于B，若，则，故B错；对于C，取，，，，验证，故C错；故选：D.3．已知，，其中，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求出时，或，然后利用集合法判断即可.【详解】因为，，所以.因为，所以，即，解得：或.因为，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4．已知数列，，且，则（

）.A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据题设中的递推关系可得该数列为周期数列，从而可得.【详解】因为，故，故数列为周期数列且周期为3，故.故选：A.5．在平行四边形中，，设，，则向量（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加、减法法则计算即可.【详解】解：.故选：A.6．在等比数列中，，，则（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】C【分析】利用等比数列的性质列方程组即可求解.【详解】因为是等比数列，所以.又，联立解得或，当时，；当时，.故选：C7．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A．11 B．10 C．9 D．8.5【答案】B【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.【详解】，画出可行域如下图所示，由图可知，当时，取得最大值.故选：B8．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（

）A．6 B．2 C．2 D．2【答案】C【分析】根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可．【详解】由题意知F3＝－(F1＋F2)，所以∴|F3|＝2.故选：C.9．数列，用图象表示如下，记数列的前项和为，则（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】数列，用图象可知，在取不同值时的符号，然后利用排除法，即可求解.【详解】由题意，数列，用图象可知，当时，；当时，，所以时，，所以，可排除A项；由，所以，可排除D项；由，所以，可排除C项；当时，，所以，可得B项正确.故选：B.【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据的符号，判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据或与1的大小关系，进行判定；3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.10．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到，由n为264的因数，且为偶数，把四个选项一一代入验证即可.【详解】设最上面一层放根，一共放n（n≥2）层，则最下一层放根，由等差数列前n项和公式得：，∴，∵,∴n为264的因数，且为偶数，把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意.故选：D【点睛】(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；（2）等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．11．设正实数满足，则下面成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得，从而可得，由此可得【详解】解：因为正实数满足，所以，所以，所以，即，故选：C12．在中，分别是，上的点，与交于点，且，，，，设在上的投影向量为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的数量积的定义结合正弦定理求出，再利用已知条件判断出为的中点，为的三等分点，然后建立合适的平面直角坐标系，求出各点的坐标和向量的坐标，根据向量数量积的几何意义计算可得．【详解】解：由，可得所以，则，由正弦定理可得，，则有，即，所以，同理可得，所以，故为等边三角形，因为，则为的中点，又，则为的三等分点，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标如图所示，则，,因为,所以在方向上的正射影的数量为，因为，所以．故选：D二、填空题13．已知向量，向量，则向量与向量的夹角为__________．【答案】【分析】由平面向量夹角公式代入即可得出答案.【详解】，，，设向量与向量的夹角为，，所以向量与向量的夹角为.故答案为：.14．将函数的图像向右平移个单位，再把所得函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则________【答案】【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解.【详解】将函数的图像向右平移个单位可得：，再把所得函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，可得，故答案为：15．将数列和中的所有项按从小到大排成如下数阵：用表示第i行第j列的数，则___________.【答案】1647【分析】先判断出前45项中，有6项，有39项，数列的第39项为，然后利用分组求和法进行求和.【详解】由，可知是第45个数，由数阵规律知：前45项中，有6项，有39项，数列的第39项为，则.故答案为：1647.16．在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是_____________.【答案】.【分析】由已知结合向量的共线定理，求得，然后结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，且为上任一点，可得，如图所示，由三点共线，可得，其中，则，当且仅当且时，即时，等号成立，所以的最小值是.故答案为：.三、解答题17．在中，、、分别是角、、的对边，．（1）求角的大小；（2）若，的周长为，求的面积．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式以及两角和的正弦公式化简即可得出．（2）利用余弦定理可得，再利用三角形面积公式即可得出．【详解】（1），由正弦定理可得，，即．又角为内角，不等于0，，又，．（2），，．由余弦定理，得，．．的面积为．18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝25，a2+a4+a7＝17.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{cn}满足，求{cn}的前n项和Tn.【答案】（1）；（2）【分析】（1）求出等差数列的首项和公差后可求数列的通项公式.（2）利用裂项相消法可求.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，故.（2），故.19．如图，是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库，设千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站(其中边在公路上).若从点A向公路和中转站分别修两条道路，已知，且.（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x取何值时，修建中转站和道路的总造价M最低？【答案】（1）；（2）当时，修建中转站和道路的总造价M最低.【分析】（1）先求出，再在中，利用余弦定理，即可得到关于的函数解析式；（2）确定建中转站和道路总造价解析式，利用换元法，结合基本不等式，即可得到结论．【详解】解：（1）由题意，在直角三角形中，，，，所以，又，在中，由余弦定理得，，所以，由得，∵且，∴，∴.（2），其中，设，则，所以.当且仅当时等号成立，此时，所以当时，修建中转站和道路的总造价M最低.20．已知数列的各项均为正数，前项和为，且．（1）求证：为等差数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）()．【分析】（1）当时，，得，当时，，整理得，根据数列的各项均为正数，可得，从而证明为等差数列；（2）根据，分为奇数和偶数两种情况讨论，结合奇偶并项即可求解.【详解】（1）证明：当时，，又数列各项均为正数，则，当时，，则，化简得，即，∵数列各项均为正数，，∴数列为首项是，公差为的等差数列，∴；（2）解：由（1）可知：，当为偶数时，，当为奇数时，，综上所述，()．21．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n+2﹣4（n∈N），函数f（x）对∀x∈R有f（x）+f（1﹣x）＝1，数列{bn}满足+f+f（1）.（1）分别求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）已知数列{cn}满足cn＝an•bn，数列{cn}的前n项和为Tn，若存在正实数k，使不等式k（n2﹣9n+49）Tn＞10n2an对于一切的n∈N恒成立，求k的取值范围.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用可求的通项，利用倒序相加法可求的通项.（2）利用错位相减法求出，再利用参变分离分法可求的取值范围.【详解】（1）由可得即.因为，故，因为，故即.（2）.，故，所以，故.又不等式等价于：，因为，当且仅当时等号成立，故，故.22．已知函数．（1）当时，函数的单调区间；（2）令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数．【答案】（1）减区间为，增区间为，（2）7【分析】（1）把代入函数解析式中，求其导数，然后由导数的正负判断函数的单调区间；（2）利用导数求出的最小值，则恒成立，只要恒成立，即恒成立，令，利用导数求其最小值，再由最小值大于等于求解实数的最大整数【详解】解：（1）当时，（），则，当时，，当时，，所以的减区间为，增区间