2019新培优同步人教B版数学选修21练习第3章空间向量与立体几何3233

2019新培优同步人教B版数学选修21练习：第3章空间向量与立体几何3.2.332019新培优同步人教B版数学选修21练习：第3章空间向量与立体几何3.2.334/4艿PAGE4薇蚈蚁2019新培优同步人教B版数学选修21练习：第3章空间向量与立体几何3.2.333.2.3直线与平面的夹角

3.2.4二面角及其胸襟

课时过关·能力提升

1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()

A

解析:设BC的中点为D,则AD⊥平面BB1C1C,故∠AC1D就是AC1与平面BB1C1C所成的角.在

Rt△ADC1中,AD所以sin∠AC1D

答案:C

2.已知AB⊥平面α于B,BC为AC在α内的射影,CD在α内,若∠ACD=60°,∠BCD=45°,则AC和

平面α所成的角为()

°解析:设

°°°

AC和平面α所成的角为θ,则cos60°=cos

θcos45°,故

cosθ

所以θ=45°.

答案:C

3.一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面,那么这两个二面角()

A.相等B.互补

C.关系无法确定D.相等或互补

答案:D

4.在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B-AD-C

后,BC这时二面角的大小为°°°°解析:∠BDC就是二面角B-AD-C的平面角,易知△BCD为等边三角形,则∠BDC=60°.答案:C★5.过正方形ABCD的极点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则面APB和面CDP所成二面角的度数是()

°°°°

解析:∠APD就是面APB和面CDP所成二面角的平面角.

答案:C6.已知直线l的方向向量v=(1,-1,-2),平面α的法向量u=(-2,-1,1),则l与α的夹角为.解析:cos<v,u>-∴sinθ为l与α的夹角).∴θ=30°.答案:30°7.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α成30°角,则斜边上的中线CM与平面α所成的角为.解析:作CD⊥α于D,连接DA,DB,DM,则∠CAD=30°,CD所以sin∠CMD故∠CMD=45°,即CM与平面α所成的角为45°.答案:45°

★8.若P是△ABC所在平面外一点,且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角

形,PA那么二面角的大小为

解析:设BC的中点为D,连接PD,AD,则PD⊥BC,AD⊥BC,所以∠PDA就是二面角P-BC-A的平面

角.易知∠PDA=90°.

答案:90°

9.在三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂

直,PA=PB=PC=3,AB=BC=求与平面所成角的大小

解析:本题可以建立合适坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角来求.

解:由题意PA=PB=PC,点P在△ABC内的射影O为△ABC的外心,即点P在△ABC内的射影O到点A,B,C的距离相等,又面PAC⊥面ABC,所以O为AC的中点,且∠ABC=90°,以O为原

点为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,则

P(0,0

设n=(x,y,z)为面PBC的法向量,可求得n=

设AC与平面PBC所成的角为θ,

则sinθ=|cos<n所以θ=30°.

故AC与平面PBC所成角的大小为30°.

★10.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF

翻折成△A'EF,使平面A'EF⊥平面BEF,求二面角A'-FD-C的余弦值

.

沿直线

将△AEF

解析:本题可以建立合适的直角坐标系

解法一取线段EF的中点H,连接A'H,

,利用平面的法向量来求

;也可作出二面角的平面角来求

.

由题意,知A'E=A'F及H是EF的中点,

所以A'H⊥EF.

又因为平面A'EF⊥平面BEF,A'H?平面A'EF,

所以A'H⊥平面BEF.

如图建立空间直角坐标系Axyz,

则A'(2,2,

故

设n=(x,y,z)为平面A'FD的一个法向量,

所以-

取z则n=(0,-2

又平面BEF的一个法向量m=(0,0,1),

故cos<n,m>

所以二面角A'-DF-C的余弦值为

解法二取线段EF的中点H,AF的中点G,连接A'G,A'H,GH.

由题意,知A'E=A'F及H是EF的中点,

所以A'H⊥EF.

又因为平面A'EF⊥平面BEF,A'H?平面A'EF,

所以A'H⊥平面BEF.

又AF?平面BEF,

故A'H⊥AF.

又因为G,H分别是AF,EF的中点,

易知GH∥AB,