2008年上海市春季高考数学试卷答案与解析

PAGEPAGE142008年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2008•上海）已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B={x|x＜4}．【考点】并集及其运算．【分析】由于集合A，B都已给出，容易计算集合A∪B【解答】解：∵A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，∴A∪B={x|x＜4}．故答案为{x|x＜4}．【点评】本题主要考查了集合的并运算，较为简单．2．（4分）（2008•上海）计算：=．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可．【解答】解：故答案为：．【点评】本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式．3．（4分）（2008•上海）函数的定义域是[﹣2，1）∪（1，3]【考点】函数的定义域及其求法；一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】分式的分母不等于0，偶次根式被开方数大于或等于0．【解答】解：由函数函数的解析式知，∴定义域是[﹣2，1）∪（1，3]；故答案为[﹣2，1）∪（1，3]．【点评】函数定义域是各部分定义域的交集．4．（4分）（2008•上海）方程在区间（0，π）内的解是

．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】先利用已知条件求得cos（x﹣）的值，进而求得x的值的集合，最后利用x的范围求得x．【解答】解：∵∴cos（x﹣）=∴x﹣=2kπ+即x=2kπ+或x﹣=2kπ﹣，x=2kπ﹣∵x∈（0，π）∴x=故答案为：x=【点评】本题主要考查了余弦函数的性质．在解三角函数问题时可参照三角函数的图象来解决．5．（4分）（2008•上海）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则an=2n﹣1【考点】等差数列的通项公式．【分析】设出公差，写出第一、二、五三项的表示式，由三项成等比数列，得到关于公差的方程，解方程，得到公差，写出等差数列的通项．【解答】解：设公差为d，则a2=1+d，a5=1+4d，则1×（1+4d）=（1+d）2，∴d=2，∴an=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．【点评】考查的是等差数列和等比数列的定义，把形式很接近的两个数列放在一起考查，同学们一定要分清两者，加以区别．6．（4分）（2008•上海）化简：=cosα．【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】把原式中的余弦通过诱导公式转化成正弦，再利用和差化积，最后得出结果．【解答】解：原式=sin[﹣（+α）]+sin（+α）sin（﹣α）+sin（+α）=2sincosα=cosα故答案为cosα【点评】本题主要考查了预先函数的两角和与差的问题．解题的关键是利用和差化积公式．7．（4分）（2008•上海）已知P是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x﹣y=0、设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点、若|PF2|=3，则|PF1|=5．【考点】双曲线的应用；双曲线的定义．【专题】计算题．【分析】由双曲线的一条渐近线方程为3x﹣y=0可得：a=1，又双曲线的定义知|PF1|﹣|PF2|=2a，计算可得答案．【解答】解：∵双曲线的一条渐近线方程为3x﹣y=0，∴a=1，由双曲线的定义知|PF1|﹣|PF2|=2a=2，∴|PF1|﹣3=2，∴|PF1|=5．故答案为：5．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．8．（4分）（2008•上海）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】复原的几何体是下部为正方体，上部是正四棱锥，棱长都是1，分别求出体积即可．【解答】解：平面展开图复原的几何体是下部为正方体，上部是正四棱锥，棱长都是1，正方体的体积是1；棱长为1的正四棱锥的体积是：，故答案为：．【点评】本题考查组合体的体积，是基础题．9．（4分）（2008•上海）已知无穷数列{an}前n项和，则数列{an}的各项和为﹣1【考点】数列递推式；极限及其运算．【专题】计算题．【分析】若想求数列的前N项和，则应先求数列的通项公式an，由已知条件，结合an=Sn﹣Sn﹣1可得递推公式，因为是求无穷递缩等比数列的所有项的和，故由公式S=即得【解答】解：由可得：（n≥2），两式相减得并化简：（n≥2），又，所以无穷数列{an}是等比数列，且公比为﹣，即无穷数列{an}为递缩等比数列，所以所有项的和S=故答案是﹣1【点评】本题主要借助数列前N项和与项的关系，考查了数列的递推公式和无穷递缩等比数列所有项和公式，并检测了学生对求极限知识的掌握，属于一个比较综合的问题．10．（4分）（2008•上海）古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金、”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是（结果用数值表示）．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】本题是一个古典概型，把五个元素全排列有A55种方法，题目要求排列中属性相克的两种物质不相邻，所以当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性．第二位排定后，其他三种属性也确定，故有C51C21，【解答】解：如下排列，金、土、火、木、水当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性．第二位排定后，其他三种属性也确定．故有C51C21=10，所以事件A出现的概率是=，故答案为：．【点评】排列组合问题在几何中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．11．（4分）（2008•上海）已知a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn（n是正整数），令L1=b1+b2+…+bn，L2=b2+b3+…+bn，…，Ln=bn、某人用右图分析得到恒等式：a1b1+a2b2+…+anbn=a1L1+c2L2+c3L3+…+ckLk+…+…+cnLn，则ck=ak﹣ak﹣1（2≤k≤n）．【考点】柯西不等式的几何意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先分析题目已知a1b1+a2b2+…+anbn=a1L1+c2L2+c3L3+…+ckLk+…+…+cnLn，可以看出等式左边是图中的面积，然后把左边变换形式后等于右边即可得到答案．【解答】解：因为已知恒等式a1b1+a2b2+…+anbn=a1L1+c2L2+c3L3+…+ckLk+…+…+cnLn且L1=b1+b2+…+bn，L2=b2+b3+…+bn，…，Ln=bn、又由图中的面积S=a1b1+a2b2+…+anbn=a1（b1+b2+b3+…+bn）+（a2﹣a1）（b2+b3+…+bn）+…+（an﹣1﹣an﹣2）（bn﹣1+bn）+（an﹣an﹣1）bn=a1L1+（a2﹣a1）L2+…+（an﹣1﹣an﹣2）Ln﹣1+（an﹣an﹣1）Ln所以ck=ak﹣ak﹣1【点评】此题主要考查柯西不等式的几何意义，题目看似无头绪，仔细分析等式后变形化简即可很容易解得答案，有一定的技巧性，同学们做题时候需要仔细分析．12．（4分）（2008•上海）已知A（1，2），B（3，4），直线l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y﹣1=0、设Pi是li（i=1，2，3）上与A、B两点距离平方和最小的点，则△P1P2P3的面积是．【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题；综合题；压轴题；函数思想；方程思想．【分析】设出P1，P2，P3，求出P1到A，B两点的距离和最小时，P1坐标，求出P2，P3的坐标，然后再解三角形的面积即可．【解答】解：设P1（0，b），P2（a，0），P3（x0，y0）由题设点P1到A，B两点的距离和为d=32+（4﹣b）2+12+（2﹣b）2=2（b﹣3）2+12显然当b=3即P1（0，3）时，点P1到A，B两点的距离和最小同理P2（2，0），P3（1，0），所以故答案为：【点评】本题考查得到直线的距离公式，函数的最值，考查函数与方程的思想，是中档题．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2008•上海）已知向量，若，则λ等于（）A． B．﹣2 C． D．【考点】平行向量与共线向量．【分析】由可得2×λ=﹣3×3，即可得到答案．【解答】解：∵∴2×λ=﹣3×3∴λ=﹣故选C．【点评】本题主要考查向量的共线定理的坐标表示，属基础题．14．（4分）（2008•上海）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．15．（4分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数奇偶性的判断．【专题】压轴题．【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B【点评】本题考查充要条件的判断和函数奇偶性的判断，属基本题．16．（4分）（2008•上海）已知z∈C，且|z﹣2﹣2i|=1，i为虚数单位，则|z+2﹣2i|的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】复数求模．【专题】压轴题．【分析】|z﹣2﹣2i|=1表示C1（2，2）为圆心，以1为半径的圆上的点．|z+2﹣2i|表示到（﹣2，2）的距离，求其最小值．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），满足|z﹣2﹣2i|=1的点均在以C1（2，2）为圆心，以1为半径的圆上，所以|z+2﹣2i|的最小值是C1，C2连线的长为4与1的差，即为3，故选B．【点评】本题考查复数模的几何意义，数形结合的数学思想方法，是中档题．三、解答题（共6小题，满分86分）17．（12分）（2008•上海）已知，求的值．【考点】二倍角的正弦；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用二倍角公式把二倍角变成单角，多项式一般要通分整理，看出公分母是2sinθcosθ，约分化简，得到最简形式，再由余弦值和角的范围求出正弦值，代入求解．【解答】解：原式=又，∴，∴【点评】化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数；在化简三角函数时，若给出的多项分式，一般要通分整理，能约分的要约分．18．（12分）（2008•上海）在平面直角坐标系xOy中，A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点，C为AB的中点、若抛物线y2=2px（p＞0）过点C，求焦点F到直线AB的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出直线x+y=2与x、y轴的交点A，B，进而得到中点C的坐标，将C的坐标代入抛物线y2=2px求出p进而可得到焦点坐标，再由点到线的距离公式看得到答案．【解答】解：由已知可得A（2，0），B（0，2），C（1，1），解得抛物线方程为y2=x于是焦点∴点F到直线AB的距离为【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．19．（14分）（2008•上海）已知函数f（x）=log2（2x+1）（1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（2）记f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用；函数单调性的判断与证明；反函数．【专题】证明题；综合题；转化思想．【分析】（1）用单调性定义证明，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形，通过分析，与零比较，要注意变形要到位．（2）先求得反函数f﹣1（x）=log2（2x﹣1）（x＞0），构造函数=利用复合函数的单调性求得函数的值域．【解答】解：（1）任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=log2（2x1+1）﹣log2（2x2+1）=，∵x1＜x2，∴0＜2x1+1＜2x2+1，∴，∴f（x1）＜f（x2），即函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增（2）∵f﹣1（x）=log2（2x﹣1）（x＞0），∴m=f﹣1（x）﹣f（x）=log2（2x﹣1）﹣log2（2x+1）==当1≤x≤2时，，∴∴m的取值范围是【点评】本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了用单调性的定义证明函数的单调性以及构造函数研究函数的性质等问题，还考查了转化思想和构造转化函数的能力．20．（14分）（2008•上海）某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面．（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2：3、确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）．【考点】直线与平面所成的角．【专题】应用题．【分析】（1）设△ABC的重心为H，连接OH，根据∠OBH就是OB与平面ABC所成的角，建立BH与OH的等量关系，解之即可；（2）设∠B=120°，△ABC的重心为H，求出OH，分别在Rt△AHO，Rt△CHO，Rt△BHO中求出OA、OB、OC，再根据比例关系求出所求即可．【解答】解：（1）设△ABC的重心为H，连接OH由题意可得，设细钢管上下两段之比为λ已知凳子高度为30、则∵节点O与凳面三角形ABC重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行∴∠OBH就是OB与平面ABC所成的角，亦即∠OBH=45°∵BH=OH，∴解得即节点O分细钢管上下两段的比值约为0.63（2）设∠B=120°，∴AB=BC=24，设△ABC的重心为H，则，由节点O分细钢管上下两段之比为2：3，可知OH=12设过点A、B、C的细钢管分别为AA'、BB'、CC'，则，，∴对应于A、B、C三点的三根细钢管长度分别为60.8cm，36.1cm和60.8cm【点评】本题主要考查了直线与平面所成的角，以及三角形重心的应用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．21．（16分）（2008•上海）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…，简记为{An}、若由构成的数列{bn}满足bn+1＞bn，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{An}为T点列，（1）判断，，是否为T点列，并说明理由；（2）若{An}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，判断△AkAk+1Ak+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若{An}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．【考点】单位向量；数列的概念及简单表示法；平面向量数量积的运算；不等式的证明．【专题】综合题；压轴题；规律型．【分析】（1）根据所给的n个点的坐标，看出数列{an}的通项，把数列{an}的通项代入新定义的数列{bn}，验证数列{bn}满足bn+1＞bn，得到{An}是T点列的结论．（2）用所给的三个点构造三个向量，写出三个向量的坐标，问题转化为向量夹角的大小问题，判断出两个向量的数量积小于零，得到两个向量所成的角是钝角，得到结果．（3）本题是要求判断两组向量的数量积的大小，根据两个数列各自的项之间的大小关系，得到向量的数量积之间的关系，本题不用做具体的数字运算，只是一个推理过程．【解答】解：（1）由题意可知，∴，显然有bn+1＞bn，∴{An}是T点列（2）在△AkAk+1Ak+2中，，∵点A2在点A1的右上方，∴b1=a2﹣a1＞0，∵{An}为T点列，∴bn≥b1＞0，∴（ak+2﹣ak+1）（ak﹣ak+1）=﹣bk+1bk＜0，则∴∠AkAk+1Ak+2为钝角，∴△AkAk+1Ak+2为钝角三角形、（3）∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，∴q﹣p=n﹣m＞0①aq﹣ap=aq﹣aq﹣1+aq﹣1﹣aq﹣2+…+ap+1﹣ap=bq﹣1+bq﹣2+…+bp≥（q﹣p）bp②同理an﹣am=bn﹣1+bn﹣2+…+bm≤（n﹣m）bn﹣1、③由于{An}为T点列，于是bp＞bn﹣1，④由①、②、③、④可推得aq﹣ap＞an﹣am，∴aq﹣an＞ap﹣am，即【点评】本题表面上是对数列的考查，实际上考查了两个向量数量积，数量积贯穿始终，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到比较大小的问题，是一个大型的综合题．可以作为高考卷的压轴题．22．（18分）（2008•上海）已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为Pz，（1）若（b，c）在直线2x+y=0上，求证：Pz在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上；（2）给定圆C：（x﹣m）2+y2=r2（m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若Pz在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点（非端点），则Pz在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线