湖北省2023届高三9月起点考试数学试卷（附答案）

湖北省2023届高三(9月)起点考试数学试卷本试卷共4页,22题，全卷满分150分。考试用时120分钟。★返考试顺利★注意事项：答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。选择题的作答：每小題选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内c写在试卷、革稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。已知集合4=(-co,l]u[2,+co=1^10-1<x<a+l),若.4UB=R,则实数。的取值范围为(l,2) C.(l,2] D.[l,2]已知i为虚数单位，复数z=p5i，Mk2l=3 B.4 C.5 D.25已知a,时是三个不同的平面,m,几是两条不同的直线，下列命题为真命题的是若 〃/3,则a//P B.若m//atn//a,则m//nC.若m.La,几丄a,则m〃几 D.若a_Ly丄y,则a丄g已知ae(0,-y),2sin2a=cos2a+1,则sina=A.f B.f C.f D.答已知数列I是公差不为零的等差数列，16」为等比数列，且a,=6,=1,o2=62,a4=奶，设1=%+如,则数列Ic」的前10项和为A.1078 B.1068 C.566 D.556数学试卷第1页(共4页)数学试卷第数学试卷第页(共4页)我国古代名著《张丘建算经》中记载:今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺,问亭方几何？大致意思:冇一个正四棱锥下底边长为二*.高三*.现从上面截去•段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边K为六史则该•正四棱台的体积是(注：1丈=10尺)A.1946立方尺 B.3892立方尺 C.7784立方尺 D.11676立方尺已知a,6,ce(0,l),e是自然对数的底数，若招=4e“,財=3e、2c=e°】n2,则有A.a<b<c li.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b一个袋子中装有形状大小完全相同的4个小球，其中2个黑球,2个白球.第一步:从袋子里随机取出2个球，将取出的白球涂黑后放回袋中,取出的黑球直接放回袋中；第二步:再从袋子里随机取出2个球，计第二步取出的2个球中白球的个数为X,则£(X)=.5 R3 r2 n1Ay ctd-t二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分。下列说法正确的是数据7,4,2,9,1,5,8,6的第75百分位数为7若X~N(1,</),P(X>2)=0.2，贝I］P(O<.¥<1)=0.3已知0<P(M)<l,0<P(N)<1,若P(M\N)+P(爾)=1,则 相互独立根据分类变量X与丫的成対样本数据.计算得到/=3.712.依据a=0.05的独立性检验(尬a=3.841),可判断X与V有关且犯错误的概率不超过0.05已知函数/(*)=sin(4%+y)+cos(4尤-芝),则A./(x)的最大值为2BJG)在［-寿含］上单调递增fM在［0,们上有4个零点把/3)的图象向右平移含个单位K度,得到的图象关于直线x=-?对称已知椭圆C：^+^-=l(a>6>0)的左、右焦点分别为入，吗，位轴长为4,点P0,1)在椭圆。外，点。在椭圆C上，则椭圆C的离心率的取值范围是(0,#)当椭圆C的离心率为亨时，IQSI的取值范围是［2-A,2+73］存在点。使得晚•夜=0口•击+击的最小值加

函数/也)及其导函数/(*)的定义域均为R,且/(%)是奇函数，设g3)=/(%),h(x)=/(^-4)+*,则以下结论正确的有函数g(x-2)的图象关于直线*=-2对称若g(x)的导函数为gfM，定义域为R,则g，(0)=0h(x)的图象关于点(4,4)中心对称设数列为等差数列，若a】+a2+•••+a”=44,则Ma】)+A(a2)+■••+h(au)=44三、 填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。在A4时中.Z)是时边上的点，且BD=2DC,^AD=xAB+yAC.则x-y= . 已知(2x+y)°展开式中各项系数和为243,则展开式中的第3项为 ,已知圆C：(*-3)2+(〉-4)2=4,过点/>(3,3)作不过圆心的直线交圆C于4,8两点，则AABC面积的取值范围是 .在三棱锥P-ABC中,P4丄底面ABC,PA=4,AB=AC=BC=2a,MAC的中点，球。为三棱锥P-ABM的外接球,。是球。上任一点，若三棱锥D-PAC体积的最大值是4力■，则球0的体积为 .四、 解答题:本题共6小題，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(10分)巳知数列前几项和为S“且%=1,%=・2S_S■(修2).⑴求a」(2)设bo专,求数列16」的前几项和Tu.(12分)如图.S是圆锥的顶点,0是圆锥底面的圆心,其轴截面是正三角形.点丁是SO上一点,TO=ySr=l,点4,8是底面圆。上不同的两点，C是SA的中点，直线BC与圆锥底面所成角0满足tan。=琴.求证tBOlSA；求二面角A-BT-C的正弦值(12分)在AABC中，内角A,B,C满足2sin小+sin%=2sin2C.(I)求证:tanC=3tan.4；⑵求d/為+金最小值•(12分)设某种植物幼苗从观察之日起，笫％天的高度为y(cm),测得的一些数据如下表所示：第％度y(cm)0479111213根据以上数据判断y=bx+a与y=d石+c哪•个更适宜作为y关于式的经验回归方程(给出判断即可，不需说明理由)？根据(1)的判断，建立y关于”的经验回归方程,估计第100天幼苗的高度(估计的高度精确到小数点后第二位)；在作閉的这组数据的散点图中」甲同学随机选取其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于"的点的个数为X,其中y为表格中所给的幼苗高度的平均数.试求随机变量X的分布列和数学期望.附:对于-•組数据3,为)，3,为)，・・・，(\九)，其经验回归直线方程y=^+a的斜,2(^-*).(■-")-nxy率的最小二乘估计为b= =4 •£(伽*)2平■物(12分)已知双曲线C与双曲线g-夺=1有相同的渐近线,且过点A(2j2,-1).求双曲线。的标准方程；已知0(2,0),E.F是双曲线C上不同于。的两点,ILDE•DF=Q,DG1EF于C,证明:存在定点〃，使IG〃l为定值.(12分)已知函数所)=/*一罕(5)占=2.71828・・・是自然对数的底数.当&=1时，设的最小值为求证:求证:当kN*时，/U)N0.2023届高三(9月)起点考试数学参考答案一、选择题:题号12345678答案DCCBABAD8.【解析】①计第一步取出两个白球为事件A,则P(A)4P(X=0|A)=l,P(X=l|A)=P(X=2|A)=06计第一步取出两球为一黑一白为事件B,则P(B)=|,P(X=0|B)=|,P(X=1|B)=|,P(X=2|B)=0计第一步取出两个黑球为事件C,则P(C)4P(X=0|C)=|,P(X=1|C)W，P(X=2|C)Wo o 5 b故由全概率公式，P(X=O)=P(A)P(X=O|A)+P(B)P(X=O|B)+P(C)P(X=O|C)mxiWx黑乂域，o3Zco3o同理P(X=1)Ap(x=2)4 ae(x)4oo 5b L另解：在第一步完成之后，X服从超几何分布，故E(X)=P(A)-2Xp(B)-2X(C•-2X二、选择题:题号9101112答案BCACDBCDBCD12.【解析】由导数的几何意义及/(x)的对称性，/'(X)在X和-》处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故g(Q=g(-x)，g(x)是偶函数，g(x-2)对称轴为x=2,A错;由g(x)的对称性，g(x)在x和-X处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，放g'(-x)=-g'(x)，g'(x)为奇函数,又定义域为R，g'(0)=0,B对：h(x)=/(x-4)+(x-4)+4.由/(X)为奇函数知〃(x)=/(x)+x为奇函数，图像关于(0,0)对称，力(同可以看作由〃(同按向量(4,4)平移而得，故C对:由C选项知，当xt+x2=8时，/z(X|)+/z(x2)=8,由等差数列性质％+%=8,.•.方(《)+方(％)=8,以此类推倒序相加，D正确。三、填空题:13.-| 14.80x3y2 15.(0,73] 16.8困则有即。到平面哄的距离为*因"到平面哄距离【解析】：正ABC中，M为AC的中点，则BM丄AC,而F4丄平面ABC,珈u平面ABC,即丄R4,而PAC\AC=A,PA,AC平面PAC,则丄平而PAC,PMu平面E4C,有丄PM,又PALAB,因此，RtAPW与RtF如的斜边所中点到点A,B.M,P的距离相等，即三械锥P—ABM外接球球心为中点，从而，点O是三棱锥P-ABM外接球球心，设球。的半径为R,有/?2=4+丿，4PAM的外接圆圆心为PM的中点，设为F,连接OF,则OF丄平面PAF,如图，则有即。到平面哄的距离为*因"到平面哄距离的最大值为y^^+y/4+a2,又S^PAC=^4x2a=4a,即有+V4+a2|=解得a2=2,b=4+】=6，R=灰,所以球O的体积为?以，=8＞為•.故答案为：8成四、解答题：解:⑴•.•an=-2Sn_1Sn,.••Sn-Sn_!=-2Sn_S11.••Sn_!-sn=2SnSn_i■■■—- =2•••数列向为等差数列，且夺=^+2（n-l）=l+2n-2=2n-l 3分又n=1时，a】=Si=2x1—1=1 Sn=2n-1（neN‘）nV⑵；=2n—l"”=（2〃-l）2”Sn7；=lx2'+3x22+・・・（2〃-3）2"T+（2〃-1）2”27；=1x2?+3x2,+...（2〃-3）2W+（2〃-1"两式相减得-7；两式相减得-7；,=2+23+24+•■■+2”材-（2〃一1）2”"=2+1-2（2〃1）2仲=2-8+2"“_（2〃一1）2*=-6-（2/1-3）•2"+,, 7；=（2〃一3）.2fl+,+6 10分18..解：（1）由题意，SO=3,OA=OB=B取。4的中点O,连接则CQ//SO,HCD=-5O=-!-x3=-,2 2 2•.•SO丄平面AOB,..CD丄平面AOB,ZCBD即为直线与平面刀。8所成角sin0=CD、伝从而BC=而,由勾股定理得BD=sin0=CD、伝从而BC=而,由勾股定理得BD=5中,。疥+。奸3日=字妍所以风心3分■SO丄平面AOB.:.SOLOB.由，OB丄。AOBISO二＞08丄平面SO/1,所以BOA-SA （2）以。为原点，08,04,OS分别为轴建立空间直角坐标系则庶,0,0),则庶,0,0),*0,0,1),C0,,#0,面),得5T=(-V3,0,l).AB==知,项,o）,无*亭,？设平面ABT、CBT的法向量分别为=（》1，凹，Z|）,〃=（》2，力孫2）。时与=0=-4iyx时与=0=-4iyx=0m-BT=0由｛ nm•AB=0Z]一占气令耳=]得队=（1丄构,由E°n

nTC=Q由E°n

nTC=Q—V3x2+z2=0V3丄1尸'——+—z,=02222Z' ，令》2=1得〃=(1，-1诚)°z2=-y/3y2所以cos/w,所以cos/w,〃）=告肖-- 10分 12分则二面角A-BT-C12分5皿⑴由正弦定理有2宀〃=2宀从而亠宀卢则海。=“帝」2=二=皿2ab4a4sinA所以4sinJcosC=sinB=sin(j+C)=sinAcosC+cosAsinC,即有3sinAcosC=cosAsinC,tanC=3tanJ 6分 (2)由(1)tanC=3tanJ,有tan8=-tan(N+C)=tan"+tanC=4t;n"tanJtanC-13tan~A-lnil1 2 3 13tan2^-l1 3(tan2J+l)邙八 tanA tang tanC tanA2tanJ tanJ2tanJ 故一!■tanAtangtanC—tan4+—!—I>—-2-/1311A—!故一!■tanAtangtanC当且仅当tanJ= , tanJ当且仅当tanJ= , tanJ2 3即tanz4=l,^=-时取等。4所以 tanAtanBtanC的最小值为3 12分解：(1)y=d>[x+c一1+2+3+4+5+6+7 -一1+2+3+4+5+6+7 -一°卩= =4/y=8\1234P4351835123513510分Xi4916253649卩=遮1234567y0479111213（2）令卩=W，则y=d卩+c,根据己知数据表得到如下表:4分283-7x4x8=59 140-7x16—28故y关于x的经验回归方程9=書近-孑令x=100,9=詈2520.64(cm)（3）这7天中幼苗高度大于y=8的有4天，X服从超几何分布，其中N=7,M=4,n=4P(X=l)=mP(X=2)=黑;P(X=3)=P(X=4)=宀所以随机变量,的分布列为:12分随机变量X的期望值E（X）=4x；12分解：（1）因为双曲线C与己知双曲线有相同的渐近线,设双曲线C的标准方程为x2-4y2=A代入点A坐标，解得A=4所以双曲线C的标准方程为扌一寸=1（2）（i）当直线EF斜率存在时，设EF.y=kx+m设E(Xi，yi)F(x2,y2)»联立y=kx+m与双曲线j-y28km勺+*2=一旳4m2+4W2=e化简得(4妒一1)x2+Qkm8km勺+*2=一旳4m2+4W2=eA=(8km)2-4(4m2+4)(4fc2-1)>0,即4/c2-m2-l<0.则有又yi、2=(加+m)(奴2+m)=k2x1x2+/cm(xi+x2)+m2因为序-DF=(x1-2)(*2-2)+yiy2=0 6 分所以(好+1)xtx2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0,所以。2+1)・豔+(/^—2)・譯+如2+4=0，化简，得3m2+16km+20k2=0,即(3m+10k)(m+2k)=0所以叫=—2k,m2=—y/c.旦均满足4/c2-m2-KO,当郷=一2化时，直线Z的方程为y=k(x-2),直线过定点(2,0),与己知矛盾TOC\o"1-5"\h\z当皿2=-?化时，直线Z的方程为y=/c(x-?),过定点(学，0) 9分(ii)当直线EF斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：y=x-2,与双曲线C方程联立解得》£='「=¥，此时EF也过点M(扌，0)综上，直线以过定点M(孕，0). 10分由于DG丄EF,所以点G在以OA/为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径，o o所以存在定点使|GH|为定值 12分22.解：(1)当*=1时，f(x)=ex-\nxff(x)=ex--(x>0) 1 分x由于尸(：)=有-2<0/(l)=e-l>0,故存在Xo£(：,l),使得广偽)=8。-；=0由基本初等函数性质知，/'(对在(0,+8)递增，所以当0<x<x°时，/'(x)<0,/(x)递减;当x>x0时，尸(x)>0,y(x)递增,TOC\o"1-5"\h\z所以成=[升(*)扁=fM=ex°-\nx0=—+x0 3分工01 I X2-1设函数g(x)=-+x,xe(-3),g'(x)=——<0.x2 x故g(x)在q,i)递减，g(x)<&(?)=；,所以〃?<§• 6