抛物线的简单几何性质（第二课时） 同步检测-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

73.3.2抛物线的简单几何性质（第二课时）（同步检测）一、选择题1.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于a2＋2a＋5(a∈R)，则这样的直线()A．有且仅有1条 B．有且仅有2条C．有1条或2条 D．不存在2.抛物线C：x2＝2py的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l交C于A，B两点，若|AB|＝16，则p＝()A．2 B．4C．6 D．123.过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．2eq\r(13) B．2eq\r(15)C．2eq\r(17) D．2eq\r(19)4.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．[－2,2]C．[－1,1] D．[－4,4]5.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为eq\f(2,3)的直线与C交于M，N两点，则eq\o(FM,\s\up7(→))·eq\o(FN,\s\up7(→))＝()A．5B．6C．7D．86.过抛物线y2＝4x的焦点F作斜率为eq\r(3)的直线，交抛物线于A，B两点，若eq\o(AF,\s\up7(→))＝λeq\o(FB,\s\up7(→))(λ>1)，则λ＝()A．3B．4C．5D．67.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.eq\f(3\r(3),4)B．eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32)D．eq\f(9,4)8.已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则实数k的值为()A.eq\f(1,3)B．eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2,3)D．eq\f(2\r(2),3)9.(多选)下列直线过点(－3,2)，且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的是()A．x＝－3B．y＝2C．x－3y＋9＝0D．x＋y＋1＝0二、填空题10.设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________11.已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)的最小值是______12.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为________三、解答题13.设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点，已知弦AB的长为3eq\r(5)，求b的值．14.已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，点D为其准线与x轴的交点，过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，求△DAB的面积S的取值范围．15.抛物线y2＝4x和点M(6,0)，O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．(1)求eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))；(2)若△OAB的面积等于12eq\r(10)，求直线l的方程．16.已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点．17.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))，求|AB|.参考答案及解析：一、选择题1.C解析：|AB|＝xA＋xB＋p＝a2＋2a＋5＝(a＋1)2＋4≥4，而通径的长为4，所以有1条或2条．2.A解析：抛物线C：x2＝2py的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，直线l：y－eq\f(p,2)＝eq\r(3)x，可得x＝eq\f(1,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(p,2)))，代入抛物线方程，得y2－7py＋eq\f(1,4)p2＝0，则y1＋y2＝7p，|AB|＝y1＋y2＋p＝7p＋p＝16，解得p＝2.3.B解析：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝eq\r(5)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(5)·eq\r(16－4)＝2eq\r(15).4.C解析：准线为x＝－2，Q(－2,0)，设l：y＝k(x＋2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)；当k≠0时，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1.综上，k的取值范围是[－1,1]．5.D解析：由题意知直线MN的方程为y＝eq\f(2,3)(x＋2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4.))不妨设M(1,2)，N(4,4)．又∵抛物线焦点为F(1,0)，∴eq\o(FM,\s\up7(→))＝(0,2)，eq\o(FN,\s\up7(→))＝(3,4)．∴eq\o(FM,\s\up7(→))·eq\o(FN,\s\up7(→))＝0×3＋2×4＝8.6.A解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))可得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)(x1>x2)，因为|FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1，所以λ＝eq\f(|FA|,|FB|)＝eq\f(x1＋1,x2＋1)＝eq\f(4,\f(4,3))＝3.7.D解析：易知抛物线中p＝eq\f(3,2)，焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，直线AB的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，故直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－eq\f(21,2)x＋eq\f(9,16)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(21,2).由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝eq\f(p,2)·sin30°＝eq\f(3,8)，所以△OAB的面积S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(9,4).8.D解析：由题知抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2,0)，如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点，连接OB，则|OB|＝eq\f(1,2)|AF|，所以|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2eq\r(2))，所以k＝eq\f(2\r(2),3).9.BCD解析：显然，直线斜率k存在，设其方程为y－2＝k(x＋3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－2＝kx＋3，,y2＝4x，))得ky2－4y＋8＋12k＝0①．当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，此时过(－3,2)的直线方程为y＝2，满足条件．当k≠0时，方程①应有两个相等实根，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,16－4k8＋12k＝0，))得k＝eq\f(1,3)或k＝－1，所以直线方程为y－2＝eq\f(1,3)(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0．故选BCD．二、填空题10.答案：8解析：分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8.11.答案：32解析：设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，∴yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，当m＝0时，yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)最小为32.12.答案：36解析：假设抛物线方程为y2＝2px，则焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，将x＝eq\f(p,2)代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，所以p＝6，点P在准线上，到AB的距离为p＝6，所以△ABP的面积为eq\f(1,2)×6×12＝36.三、解答题13.解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋b，,y2＝4x，))消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.由Δ＞0，得b＜eq\f(1,2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝1－b，x1x2＝eq\f(b2,4).∴|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1－2b).∴|AB|＝eq\r(1＋22)|x1－x2|＝eq\r(5)·eq\r(1－2b)＝3eq\r(5)，∴1－2b＝9，即b＝－4.14.解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，D(－1,0)，设过点F的直线l：x＝ty＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋1，,y2＝4x，))消去x,整理得y2－4ty－4＝0，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，所以S△DAB＝eq\f(1,2)×|FD|×|y2－y1|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(16t2＋16)＝4eq\r(t2＋1)≥4，故△DAB的面积S的取值范围为[4，＋∞)．15.解：(1)设直线l的方程为x＝my＋6，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my＋6与抛物线y2＝4x得y2－4my－24＝0，显然Δ>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－24，x1x2＝36，可得eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝x1x2＋y1y2＝12.(2)因为S△OAB＝eq\f(1,2)|OM|·|y1－y2|＝3eq\r(16m2＋96)＝12eq\r(m2＋6)＝12eq\r(10)，所以m2＝4，m＝±2.故直线l的方程为x＋2y－6＝0或x－2y－6＝0.16.解：(1)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有kOA＝eq\f(y1,x1)，kOB＝eq\f(y2,x2).因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，所以x1x2＋y1y2＝0.因为yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，所以eq\f(y\o\al(2,1),2p)·eq\f(y\o\al(2,2),2p)＋y1y2＝0.因为y1≠0，y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以x1x2＝4p2.(2)证明：因为yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2p,y1＋y2)，所以kAB＝eq\f(2p,y1＋y2)，故直线AB的方程为y－y1＝eq\f(2p,y1＋y2)(x－x1)，所以y＝eq\f(2px,y1＋y2)＋y1－eq\f(2px1,y1＋y2)，即y＝eq\f(2px,y1＋y2)＋eq\f(y\o\al(2,1)－2px1＋y1y2,y1＋y2).因为yeq\o\al(2,1)＝2px1，y1y2＝－4p2，代入整理得y＝eq\f(2px,y1＋y/r