2020-2021学年江苏省淮安市高二数学下学期期末考试数学试题含解析

江苏省淮安市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知复数z满足i（z+1）＝1﹣i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．﹣2﹣iB．﹣2+iC．2﹣iD．2+i2．（x2+2）（x﹣1）10的展开式中的常数项为（）A．8B．4C．3D．23．设随机变量X，Y满足：Y＝3X﹣1，X～B（2，），则V（Y）＝（）A．4B．5C．6D．74．袋中装有4个红球和2个蓝球，不放回地依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是（）A．B．C．D．5．6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有（）A．240B．192C．120D．966．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．7．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为偶数的概率为（）A．B．C．D．8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f′（x）＜f（x），则（）A．f（4）＞ef（3）B．f（﹣4）＞e2f（﹣2）C．e2f（4）＜f（2）D．ef（﹣4）＞f（﹣3）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0.9．若直线A．是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex10．设z1，z2为复数，则下列说法正确的是（）A．若z12+z22＝0，则z1＝z2＝0B．|z1z2|＝|z1||z2|C．＝D．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z211．在一次满分为150分的数学测试中，某校共有800名学生参加，学生的成绩X服从正态分布N（110，100），其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是（）附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974．A．该校学生数学成绩的期望为110B．该校学生数学成绩的标准差为100C．该校数学成绩140分以上的人数大于5D．该校数学成绩及格率超过0.9712．中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是（）A．某学生从中选3门学习，共有20种选法B．“礼”和“射”不相邻，共有400种选法C．“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种选法D．“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．写出一个使得z﹣z4＝0成立的虚数z＝．14．甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，08．若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为．15．设a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a能被17整除，则a的值为．16．在18世纪，法国著名数学家拉格日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数f（x）区间〖a，b〗上连续不断，在开区间（a，b）内可导（存在导函数），在ab区间（，）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝f′（x0）（b﹣a），则x＝x0称为函数y＝f（x）在闭区间〖a，b〗上的中值点，则关于x的f（x）＝ex+mx在区间〖﹣1，1〗上的中值点x0的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．在（x+）2n的二项展开式中，二项式系数之和为64．（1）求正整数n的值；（2）求（x+）2n的二项展开式中二项式系数最大的项．18．在①曲线y＝f（x）在点（，f（））处的切线与y轴垂直，②f（x）的导数y＝f′（x）的最小值为﹣，③函数f（x）在区间（﹣，）上是减函数，在区间（﹣∞，﹣），（，+∞）上是增函数．这三个条件中任选一个补充在横线上，并回答下面问题．已知函数f（x）＝x3+ax+b，且满足____．（1）求a值；（2）若函数y＝f（x）在区间〖﹣1，2〗上的最大值与最小值的和为7，求b值．19．为了调查某地区中学生是否喜欢踢足球，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名学生，调查结果如下：性别是否喜欢踢足球男女总计喜欢踢足球不喜欢踢足球40xy70z270总计500（1）求x，y，z的值；（2）能否有99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关？附：X2＝．P0.150.100.050.0250.0100.0050.001（X2≥x0）x02.0722.0763.8415.0246.6357.87910.82820．欧拉（1707﹣1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ＝cosθ+isinθ，解决以下问题：（1）将复数+eπi写成a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）的形式；（2）求|eπi﹣eθi|（θ∈R）的最大值．21．甲乙丙三人进行兵兵球练习赛，约定练习赛规则如下：比赛前抽签决定先比赛的两个人，另一个人做裁判，每场比赛结束时，胜的一方在下一局与裁判进行比赛，负的一方在下一局做裁判，每局比赛的结果都相互独立，每场比赛双方获胜的概率都是，第一局通过抽签确定甲先当裁判．（1）求丙前4局都不做裁判的概率；（2）求第3局甲当裁判的概率；（3）记前4局乙当裁判的次数为X，求X的概率分布和数学期望．22．函数f（x）＝ex﹣2sinx﹣1，设函数m（x）＝f′（x）．证明：（1）m（x）在区间（（2）f（x）在（）上存在唯一的极小值点；）上有且仅有两个零点．▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知复数z满足i（z+1）＝1﹣i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．﹣2﹣iB．﹣2+iC．2﹣iD．2+i解：因为i（z+1）＝1﹣i，所以，．所以z＝﹣2﹣i，所以故选：B．2．（x2+2）（x﹣1）10的展开式中的常数项为（）A．8B．4C．3D．2解：因为二项式（x﹣1）10的展开式的通项公式为T令10﹣r＝0，解得r＝10，，故（x2+2）（x﹣1）10（x﹣1）10的展开式常数项为2×1＝2，故选：D．3．设随机变量X，Y满足：Y＝3X﹣1，X～B（2，），则V（Y）＝（）A．4B．5C．6D．7解：因为X～B（2，），则V（X）＝2××又Y＝3X﹣1，＝，所以V（Y）＝V（3X﹣1）＝．故选：A．4．袋中装有4个红球和2个蓝球，不放回地依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是（）A．B．C．D．解：因为第一次摸到红球，所以还剩下3个红球和2个篮球，所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是．故选：D．5．6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有（）A．240B．192C．120D．96解：共有7个人，老师在正中间，则老师左右各3人，所以甲乙相邻在老师左右共有4种情况满足，剩下4人全排即可，所以不同的排法共有4×故选：B．＝192种，6．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．解：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0且x≠±1}，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，排除A、D，在区间（0，1）上，ln|x|＝lnx＜0，必有f（x）＜0，排除B，故选：C．7．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为偶数的概率为（）A．B．C．D．解：由题意，四个阴数为4个偶数，2，4，6，8，五个阳数为5个奇数，1，3，5，7，9，所以基本事件的个数共有个，选取的3个数之和为偶数，则有个，故所求的概率为＝．故选：C．8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f′（x）＜f（x），则（）A．f（4）＞ef（3）B．f（﹣4）＞e2f（﹣2）C．e2f（4）＜f（2）D．ef（﹣4）＞f（﹣3）解：f（x）是定义在R上的奇函数，令F（x）＝，F′（x）＝，因为当x＞0时，f′（x）＜f（x），所以F′（x）＜0，函数F（x）是减函数，所以F（4）＜F（3），可得f（4）＜ef（3），所以A不正确；F（4）＜F（2），可得f（4）＜e2f（2），所以C不正确；则﹣f（4）＞﹣e2f（2），即f（﹣4）＞e2f（﹣2），所以B正确；f（4）＜ef（3），﹣f（4）＞﹣ef（3），可得f（﹣4）＞ef（﹣3），所以D不正确；故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0.9．若直线A．是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex的斜率为k＝，解：直线由f（x）＝的导数为f′（x）＝﹣，即有切线的斜率小于0，故A不能选；由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3＝，解得x＝，故B可以选；由f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝cosx，而cosx＝有解，故C可以选；由f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，而ex＝，解得x＝﹣ln2，故D可以选．故选：BCD．10．设z1，z2为复数，则下列说法正确的是（）A．若z12+z22＝0，则z1＝z2＝0B．|z1z2|＝|z1||z2|C．＝D．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2解：对于A选项，当z1＝1，z2＝i时，z12+z22＝0，故A选项错误，对于B选项，由复数模的运算性质可知|z1z2|＝|z1||z2|，故B选项正确，对于C选项，设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d∈R），∴∴，，，故C选项正确，对于D选项，当z1＝1，z2＝i时，|z1|＝|z2|＝1，但z1≠±z2，故D选项错误．故选：BC．11．在一次满分为150分的数学测试中，某校共有800名学生参加，学生的成绩X服从正态分布N（110，100），其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是（）附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974．A．该校学生数学成绩的期望为110B．该校学生数学成绩的标准差为100C．该校数学成绩140分以上的人数大于5D．该校数学成绩及格率超过0.97解：因为生的成绩X服从正态分布N（110，100），则该校学生数学成绩的期望为110，故选项A正确；该校学生数学成绩的标准差为10，故选项B错误；该校数学成绩140分以上的概率为P＝，所以该校数学成绩140分以上的人数为0.0013×800≈1，故选项C错误；该校数学成绩及格率为，故选项D正确．故选：AD．12．中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是（）A．某学生从中选3门学习，共有20种选法B．“礼”和“射”不相邻，共有400种选法C．“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种选法D．“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法解：对于A，某学生从中选3门学习，共有故选项A正确；种选法，对于B，“礼”和“射”不相邻，则有故选项B错误；种，对于C，①若“数”排在第一节，则排法有种；②若“数”不排在第一节，也不排在最后一节，则排法有种，所以“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有120+384＝504种选法，故选项C正确；对于D，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有种；种；种．所以“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有48+36+36＝120种选法，故选项D错误；故选：AC．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．写出一个使得z﹣z4＝0成立的虚数z＝﹣+i；或﹣﹣i．解：要使z﹣z4＝0，需z＝z4，∴z＝1（舍去），或z3＝1（z≠1），∴z＝cos+isin+isin＝﹣+i，＝﹣﹣i，或z＝cos故答案为：﹣+i；或﹣﹣i．14．甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，08．若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为0.26．解：因为甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，08，所以恰有一人不中靶的概率为P＝0.9×（1﹣0.8）+（1﹣0.9）×0.8＝0.18+0.08＝0.26．故答案为：0.26．15．设a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a能被17整除，则a的值为13．解：a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a＝4×161010+a＝4×（17﹣1）1010+a＝4×（×171010×171009×171008×171007﹣+﹣+…+×（﹣17）+1）+a，故它除以17的余数为4×1+a，由于它能被能被17整除，则a＝13，故答案为：13．16．在18世纪，法国著名数学家拉格日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数f（x）区间〖a，b〗上连续不断，在开区间（a，b）内可导（存在导函数），在ab区间（，）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝f′（x0）（b﹣a），则x＝x0称为函数y＝f（x）在闭区间〖a，b〗上的中值点，则关于x的f（x）＝ex+mx在区间〖﹣1，1〗上的中值点x0的值为．解：当x∈〖﹣1，1〗时，由拉格朗日中值定理可得＝，∵f'（x）＝ex+m，∴+m，即，∴．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．在（x+）2n的二项展开式中，二项式系数之和为64．（1）求正整数n的值；（2）求（x+）2n的二项展开式中二项式系数最大的项．解：（1）∵在（x+）2n的二项展开式中，二项式系数之和为2n＝64，∴n＝6．（2）（x+）2n＝（x+）12的二项展开式中，当r＝6时，二项式系数最大，•36．故二项式系数最大的项为T7＝18．在①曲线y＝f（x）在点（，f（））处的切线与y轴垂直，②f（x）的导数y＝f′（x）的最小值为﹣，③函数f（x）在区间（﹣，）上是减函数，在区间（﹣∞，﹣），（，+∞）上是增函数．这三个条件中任选一个补充在横线上，并回答下面问题．已知函数f（x）＝x3+ax+b，且满足____．（1）求a值；（2）若函数y＝f（x）在区间〖﹣1，2〗上的最大值与最小值的和为7，求b值．解：选条件①：f′（x）＝3x2+a，所以k切＝f′（）＝+a，因为曲线y＝f（x）在点（，f（））处的切线与y轴垂直，所以k切＝0，所以+a＝0，解得a＝﹣，所以f（x）＝x3﹣x+b，f′（x）＝3x2﹣，所以在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（﹣，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（﹣1，﹣）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（）＝（）3﹣×+b＝﹣+b，f（﹣）＝（﹣）3+×+b＝+b，f（﹣1）＝﹣1﹣（﹣1）+b＝﹣+b，f（2）＝23﹣×2+b＝+b，所以f（x）max若函数y＝f（x）在区间〖﹣1，2〗上的最大值与最小值的和为7，+b+（﹣+b）＝+2b＝7，解得b＝．＝+b，f（x）min＝﹣+b，则选条件②：f′（x）＝3x2+a，所以f′（x）最小值为a，f（x）的导数y＝f′（x）的最小值为﹣所以a＝﹣，由①可知，b＝．选条件③：f′（x）＝3x2+a，因为函数f（x）在区间（﹣，）上是减函数，在区间（﹣∞，﹣），（，+∞）上是增函数，所以﹣，是3x2+a＝0的根，所以﹣×＝，解得a＝﹣，由①可知，b＝．19．为了调查某地区中学生是否喜欢踢足球，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名学生，调查结果如下：性别是否喜欢踢足球男女总计喜欢踢足球不喜欢踢足球40xy70z270总计500（1）求x，y，z的值；（2）能否有99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关？附：X2＝．P0.150.100.050.0250.0100.0050.001（X2≥x0）解：（1）由列联表可得，y＝70﹣40＝30，z＝500﹣70＝430，所以x＝430﹣270＝160；（2）由列联表中的数据可得，X2＝，所以有99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关．20．欧拉（1707﹣1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ＝cosθ+isinθ，解决以下问题：（1）将复数（2）求|eπi﹣eθi|（θ∈R）的最大值．解：（1）+（cosπ+isinπ）＝（﹣1）+i；+eπi＝cos+eπi写成a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）的形式；+isin（2）|eπi﹣eθi|＝|cosπ+isinπ﹣（cosθ+isinθ）|＝|（﹣1﹣cosθ）﹣isinθ|＝＝，当cosθ＝1，即θ＝2kπ，k∈Z时，|eπi﹣eθi|（θ∈R）的最大值为2．21．甲乙丙三人进行兵兵球练习赛，约定练习赛规则如下：比赛前抽签决定先比赛的两个人，另一个人做裁判，每场比赛结束时，胜的一方在下一局与裁判进行比赛，负的一方在下一局做裁判，每局比赛的结果都相互独立，每场比赛双方获胜的概率都是，第一局通过抽签确定甲先当裁判．（1）求丙前4局都不做裁判的概率；（2）求第3局甲当裁判的概率；（3）记前4局乙当裁判的次数为X，求X的概率分布和数学期望．解：（1）当丙前三局全部取胜，即丙前4局都不做裁判，∵每场比赛双方获胜的概率都是，∴丙前4局都不做裁判的概率为．（2）∵第二局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是