九年级数学专题-实际问题中的二次函数关系华东师大版知识精讲

初三数学寒假专题—实际问题中的二次函数关系华东师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：寒假专题——实际问题中的二次函数关系［中考课标要求］理解并掌握“通过对实际问题的分析确定二次函数表达式”。［中考能力要求］（1）会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题；（2）会应用数形结合思想来解决有关的函数综合性问题。【典型例题】例1.如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，在BC边上取一点P（不与B、C重合），在CD边上取一点Q，使∠APQ＝90°，设BP＝xcm，CQ＝ycm。（1）试求出y与x之间的函数关系式；（2）点P在什么位置时，CQ有最大值，最大值是多少？分析：在背景图形中，能很容易地确定两个相似的三角形：△ABP∽△PCQ，两三角形相似，就可得出对应边成比例。也就建立了x与y之间的关系，进而可求出y与x之间的函数关系式。解：在矩形ABCD中，∠APQ＝90°则∠B＝∠C＝90°∠APB＋∠QPC＝90°∠QPC＋∠PQC＝90°故∠APB＝∠PQC又因∠B＝∠C所以△ABP∽△PCQ故有而AB＝6，BC＝8所以故，即y与x间为二次函数关系因此二次函数的图象的顶点坐标为故：当时，y有最大值为即当点P在BC中点处时，CQ有最大值例2.如图，改革开放以后，不少农村用上了自动喷灌设备，设水管AB高出地面，点B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水呈抛物线形状，喷头B与水流最高点C的连线呈45°角，水流的最高点C比喷头B高出2m，在所建的坐标系中，求水流的落点D到A的距离是多少m？分析：由题目描述结合图象，可将抛物线上的点B和顶点C的坐标求出来，（在求C点坐标时，注意解直角三角形△BCF）由B、C坐标可以确定出抛物线的解析式，进而可以求出点D的坐标，最后求出D到A的距离。解：由题意得：故点B的坐标为（0，）过C点作CE⊥x轴，垂足为E，过B作BF⊥CE，垂足为F，连结CB则CF＝2，∠CBF＝45°所以BF＝CF＝2又因EF＝OB＝，则EC＝2＋＝∴顶点C的坐标为（2，）故可设抛物线解析式为又∵过点B（0，）则抛物线解析式为：令，则解得：则D点坐标为（）即例3.一个涵洞成抛物线形（如图），现测得，当水面宽AB＝时，涵洞顶点与水面的距离为，此时，离水面处，涵洞宽ED是多少？是否为超过1m？分析：由已知，建立如图坐标系，要想求出ED，只须求出FD，即只要求出点D的横坐标即可，而由已知，可确定出点D的纵坐标，故若先求出抛物线解析式，就可借此进一步求出点D的横坐标。解：∵AB＝，CO＝∴A点坐标为（，）又抛物线顶点坐标是（0，0）∴可设解析式为，因又过点A（，）则∴抛物线解析式为：因，则故点D坐标为（x，）故则，则，则即离水面时，涵洞宽m，并未超过1m。例4.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）。根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图像上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？分析：此题主要是识图，从图中可确定抛物线上四个点的坐标：（1，），（2，-2），（0，0）及（5，），可由其中三点的坐标求出抛物线的解析式，第二问则应理解为当时，？第三问则应理解为。解：（1）设，由图可得抛物线上三个点的坐标分别是（0，0），（1，）和（2，-2），则有：解得：（2）当S＝30时，解得：（不合题意，舍去）∴截止到10月末，公司利润累积达到30万元（3）当t＝7时，前7个月利润总额为第t＝8时，前8个月利润总额为∴第8个月公司利润为：（万元）例5.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60kg；单价每降低1元，日均多售出2kg。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利y元。（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数关系式配方成的形式，写出顶点坐标，在如图所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和单价最高这两种销售方式，哪一种获总利最多，多多少？分析：（1）由销售单价为x元，得每千克降低了元，日均多销售，日均销售量是，则日均获利y＝日均销售量×每千克获利－每天支出费用500。（2）将何时取得最大利润与顶点的纵坐标联系起来，在单价定为顶点的横坐标时，日获利最多即是顶点的纵坐标。（3）分别算出日均获利最多时的利润及单价最高时的利润，然后进行比较即可。解：（1）若销售单价为x元，则每千克降低了元，则日均多销售出，此时，日均销售量为千克，每千克获利元。由题意得：即（2）∴抛物线顶点为（65，1950），且过点和（70，1500）由图可知：当单价定为65元时，日均获利最多，为1950元。（3）当日获利最多时，单价为65元，日均销售量为则此时总获利＝元当销售价最高为70元，日均销售量为60kg，要销售天则此时总获利＝元故第二种即以单价最高这种方式获利多，多出26500元。例6.如图一单杠高，两立柱之间距离为，将一根绳子的两端拴于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。（1）一个身高的小孩站在立柱处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长正好各为2m，木板与地面平行，求木板到地面的距离。（供选用的数据：）分析：（1）建立好适当的平面直角坐标系后，可由条件推出抛物线上A、B、D三点的坐标，由此得到抛物线解析式，故可得到抛物线顶点C的坐标，顶点即最低点，进而得到绳子最低点到地面的距离。（2）作出等腰梯形的两条高后，通过解直角三角形求出梯形的高，就可得到木板到地面的距离。解：（1）由已知可知：AB＝，BE＝点D到x轴距离为，到y轴距离为（）故得B（，），D（，）由图设抛物线解析式为：则有解得：∴此抛物线顶点C坐标为（0，）则绳子最低点即C点到地面的距离为米（2）作EG⊥AB，FH⊥AB由题知：，AE＝BF＝2四边形AEFB为等腰梯形则则在Rt△AGE中，AE＝2，AG＝即木板到地面的距离为【模拟试题】1.已知：二次函数的图象过点（1，0），且对称轴为直线，与y轴交点到原点的距离为3，求二次函数的解析式。2.已知：二次函数图象的对称轴为直线，在y轴上截距是-3，且图象在x轴上截得的线段长为6，求二次函数解析式。3.抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（如图），若∠ACB＝90°，求：m的值。4.已知：△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，DE⊥AC，DF⊥BC，设。（1）AE用含y的代数式表示为：AE＝____________；（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值。5.某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为获得更高的利润，决定提高售价，经实验发现，若每件20元，每月能够卖360件，若每件25元，每月卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数。（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）在商品不积压且不考虑其它因素条件下，问售价定多少时，才能使每月获得最大利润？每月获得最大利润是多少？6.心理学家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步加强，中间有一段时间保持较为理想的状态，随后注意力开始分散，经过实验分析，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：（1）讲课开始后第五分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多久？（3）一数学题，需讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过老师的适当安排，能否在学生注意力达到所需的状态下讲完这道题？7.如图，边长为4的正方形ABCD