人教版七年级下册数学期末考复习专题01平方根及立方根（知识点串讲）【含答案】

专题01平方根及立方根知识框架重难突破一.平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2.算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．即≥0，≥0．

备注：（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是()A．－5是25的平方根 B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根 D．±5是（－5）2的算术平方根练习1．（安徽四十二中中铁国际城校区初一期中）计算的平方根为（）A． B． C．4 D．练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是()A． B． C． D．例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是()A． B． C． D．练习1．（六安市裕安中学初一期中）的算术平方根是_____．练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。例3．（·安徽初一期中）的平方根是_________；的算术平方根是_________.练习1．（·安徽初一月考）若2a-1和5-a是一个正数m的两个平方根，则m=_______练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.二.立方根1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：．2．立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3．求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．备注：①符号中的根指数“3”不能省略；②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．例1．（·安徽初一期中）64的立方根是（）A．4 B．±4 C．8 D．±8练习1．（·淮南初一期中）下列说法中，不正确的是（）A．8的立方根是2 B．﹣8的立方根是﹣2C．0的立方根是0 D．64的立方根是±4练习2．（·北京市昌平区阳坊中学初二期中）的立方根是__________．例2．（合肥市第四十五中学初一期中）已知a+3和2a﹣15是某正数的两个平方根，b的立方根是﹣2，c算术平方根是其本身，求2a+b﹣3c的值．练习1．（·淮南初一期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．求a，b，c的值；（2）求的平方根．练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.例3．（安徽初一期中）求下列各式中x的值：（1）2x2＝4；（2）64x3+27＝0

专题01平方根及立方根知识框架重难突破一.平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2.算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．即≥0，≥0．

备注：（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是()A．－5是25的平方根 B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根 D．±5是（－5）2的算术平方根A试题分析：A、B、C、D都可以根据平方根和算术平方根的定义判断即可．解：A、﹣5是25的平方根，故选项正确；B、25的平方根是±5，故选项错误；C、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误；D、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误．故选A．练习1．（安徽四十二中中铁国际城校区初一期中）计算的平方根为（）A． B． C．4 D．B∵=4，又∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2，即的平方根±2，故选B．练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是()A． B． C． D．C解：9的平方根是.故选：C.例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是()A． B． C． D．C本题解析:∵，∴的算术平方根为，故选C.练习1．（六安市裕安中学初一期中）的算术平方根是_____．2∵，的算术平方根是2，∴的算术平方根是2.练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。4∵∴16的平方根为4和-4∴16的算术平方根为4例3．（·安徽初一期中）的平方根是_________；的算术平方根是_________.±32解：，9的平方根是，的平方根是±3；，4的算术平方根是2，∴的算术平方根是2．∴应填±3，2．练习1．（·安徽初一月考）若2a-1和5-a是一个正数m的两个平方根，则m=_______81解：由于一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2a-1和5-a是互为相反数，然后就可以求出a的值，接着根据平方根的定义出m．练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.13.解：∵2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，∴2m+2=16，3m+n+1=25，联立解得，m=7，n=3，∴m+2n=7+2×3=13．二.立方根1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：．2．立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3．求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．备注：①符号中的根指数“3”不能省略；②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．例1．（·安徽初一期中）64的立方根是（）A．4 B．±4 C．8 D．±8A试题分析：∵43=64，∴64的立方根是4，故选A练习1．（·淮南初一期中）下列说法中，不正确的是（）A．8的立方根是2 B．﹣8的立方根是﹣2C．0的立方根是0 D．64的立方根是±4DA、8的立方根是2，正确；B、﹣8的立方根是﹣2，正确；C、0的立方根是0，正确；D、64的立方根是4，错误；故选：D．练习2．（·北京市昌平区阳坊中学初二期中）的立方根是__________．-2【详解】∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2，故﹣2．例2．（合肥市第四十五中学初一期中）已知a+3和2a﹣15是某正数的两个平方根，b的立方根是﹣2，c算术平方根是其本身，求2a+b﹣3c的值．当a＝4，b＝﹣8，c＝0，2a+b﹣3c＝0；当a＝4，b＝﹣8，c＝1，2a+b﹣3c＝﹣3．∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2．c算术平方根是其本身∴a+3+2a﹣15＝0，b＝﹣8，c＝0或1，解得a＝4．当a＝4，b＝﹣8，c＝0，2a+b﹣3c＝8﹣8﹣0＝0；当a＝4，b＝﹣8，c＝1，2a+b﹣3c＝8﹣8﹣3＝﹣3．练习1．（·淮南初一期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求的平方根．（1）a=5，b=2，c=3；（2）±4.(1)∵5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，

∴5a+2=27，3a+b-1=16，