二次函数与三角形专题训练

二次函数与三角形专题训练1.(2012遵义)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(aHO)的图象经过原点0,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,-).求抛物线的函数解析式及点A的坐标；在抛物线上求点P,使仏poa=2S"ob；在抛物线上是否存在点0，使厶AQO与厶AOB相似如果存在，请求出Q点的坐标；如2.(2012资阳)抛物线y=-|x2+x+ni的顶点在直线y=x+3上，过点F(-2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边)，MA丄x轴于点A，NB丄x轴于点B.先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示)，再求m的值；设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；若射线NM交x轴于点P,且PAPB=,求点M的坐标.(2012湛江)如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.0为原点，点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点0出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒舟个单位的速度运动.当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).当t=3秒时•直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值若存在，请求出最大值；若不存在,请说明理由；当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形

（2012云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P,交y轴于点A.抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（-1,0）,并与直线相交于A、B两点.（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC丄AB交x轴于点C,求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M,使得△MAB是直角三角形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.5.（2012义乌市）如图1,已知直线y=kx与抛物线y=一寻J交于点A（3，6）.（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM,交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；m，（3）如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点0、A不重合）,点D（m,0）是x轴正半轴上的动点，且满足/BAE=ZBED=ZAOD.继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2m，AE£x圉1AE£x圉16.（2012扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴.1)求抛物线的函数关系式；设点P是直线I上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；在直线丨上是否存在点皿，使厶MAC为等腰三角形若存在，直接写出所有符合条件的7.(2012陕西)如果一条抛物线y=ax2+bx+c(aHO)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．"抛物线三角形"一定是三角形；若抛物线y=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形"是等腰直角三角形，求b的值；如图，△OAB是抛物线y=-x2+bzx(bz>0)的"抛物线三角形”，是否存在以原点0为对称中心的矩形ABCD若存在，求出过0、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.f\,i8(2012南通)如图，经过点A(0，-4)的抛物线y=*2+bx+c与x轴相交于B(-2,0)，C两点，0为坐标原点.求抛物线的解析式；17将抛物线y^x2+bx+c向上平移三个单位长度，再向左平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在厶ABC内，求m的取值范围；设点M在y轴上，ZOMB+ZOAB=ZACB，求AM的长.

位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、0、B为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．；若不存在，请说明理由.；若不存在，请说明理由.（2012凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点.（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若点P在第二象限内，过点P作PD丄轴于D,交AB于点E.当点P运动到什么位置时，线段PE最长此时PE等于多少（3）如果平行于x轴的动直线丨与抛物线交于点Q,与直线AB交于点N,点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线丨，使得AMON是等腰三角形若存在，请求出点Q的坐标（2012乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m,m）,点B的坐标为（n,-n），抛物线经过A、0、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C.已知实数m、n（mVn）分别是方程x2-2x-3=0的两根.

(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点0、B重合)，直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧)，连接0D、BD.当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标.(2012嘉兴)在平面直角坐标系xOy中，点P(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点0、B重合)，直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧)，连接0D、BD.当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标.如图1,当m=时，求线段0P的长和tanZPOM的值；在y轴上找一点。使厶OCQ是以0Q为腰的等腰三角形，求点C的坐标；如图2,连接AM、BM,分别与OP、0Q相交于点D、E.用含m的代数式表示点Q的坐标；求证：四边形ODME是矩形.oaSOBO匡11M2oaSOBO13．(2012吉林)问题情境如图，在x轴上有两点A(m,0),B(n,0)(n>m>0).分别过点A,点B作x轴的垂线,交抛物线y=x2于点C、点D.直线0C交直线BD于点E,直线0D交直线AC于点F,点E、点F的纵坐标分别记为yE,yF．特例探究填空：z当m=1,n=2U^,v〔=__,v「=__；z当m=3,n=5Ef^,v〔=__,v「=__.归纳证明对任意m,n(n>m>0),猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想.拓展应用若将"抛物线y=x2”改为"抛物线y=ax2(a>0)”，其他条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系；连接EF，AE.当S四边形ea=3Saofe时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状.筲用图14.(2012黄冈)如图，已知抛物线的方程5y=-2(x+2)(x-m)(m>0)与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧.若抛物线q过点M(2,2)，求实数m的值；在(1)的条件下，求△BCE的面积；在(1)条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小，并求出点H的坐标;在第四象限内，抛物线q上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.15.(2012呼和浩特)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线相交于点A,B,且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为(-2,2),点B在第四象限内，过点B作直线BC//X轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E.求双曲线和抛物线的解析式；计算△ABC与厶ABE的面积；在抛物线上是否存在点。，使厶ABD的面积等于△ABE的面积的8倍若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.16.(2012衡阳)如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点0,矩形ABCD的顶点A,D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为(2,1)，点P(a,b)在抛物线上运动.(点P异于点0)求此抛物线的解析式.过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，求证：PF=PR；是否存在点P,使得△PFR为等边三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；延长PF交抛物线于另一点Q,过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S,试判断△RSF的形17.(2012河南)如图，在平面直角坐标系中，直线y=*x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B点重合)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD丄AB于点D.求a、b及sinZACP的值；设点P的横坐标为m.①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB,线段PC把厶PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，直接写出m的值,使这两个三角形的面积之比为9：10若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由.

一4E18.(2012广元)如图，在矩形ABCD中，AO=3,tanZACB违.以EO为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，设D、E分别是线段AC、OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动.设运动时间为t(秒)求直线AC的解析式；用含t的代数式表示点D的坐标；在t为何值时，△ODE为直角三角形/