一般形式的柯西不等式课件

一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式1.三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,则

.当且仅当______________________________________________时，等号成立.b1=b2=b3=0或存在一个数k，使得a1=kb1,a2=kb2,a3=kb31.三维形式的柯西不等式b1=b2=b3=0或存在一个数k，2.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数，则当且仅当____________________________________________________时，等号成立.bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)2.一般形式的柯西不等式bi=0(i=1,2,…,n)或存在1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成可以吗？提示：不可以.因为若出现bi=0(i=1,2,3)的情况，则分式不成立了，但是，可以利用分式的形式来形象地记忆.1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成2.设x,y,z∈R,且满足x2+y2+z2=5,则x+2y+3z的最大值是______.【解析】(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)·(12+22+32)=5×14=70,答案：2.设x,y,z∈R,且满足x2+y2+z2=5,则x+2y3.已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,则e的取值范围是_______.【解析】∵4(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2,即4(16-e2)≥(8-e)2∴64-4e2≥64-16e+e2,∴5e2-16e≤0,答案：［0,］3.已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,a1.柯西不等式的一般形式的理解一是抓住柯西不等式的一般形式的结构特点：左边是平方和的积，右边是积的和的平方；二是与二维形式的柯西不等式类比记忆.1.柯西不等式的一般形式的理解2.柯西不等式的两个变式(1)设ai∈R,bi＞0(i=1,2,…,n),当且仅当bi=λai时(1≤i≤n)等号成立.(2)设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n),则当且仅当bi=λai时，等号成立.

2.柯西不等式的两个变式

三维柯西不等式的应用使用柯西不等式需要掌握的方法与技巧应用柯西不等式常用的技巧有以下几种(1)构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数.(2)构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排各项的次序.三维柯西不等式的应用(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目的.(4)构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项.(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从【典例训练】1.设x+y+z=1，则函数μ=2x2+3y2+z2的最小值是________.2.若x1+x2+x3=1,y1+y2+y3=4(x1,x2,x3∈R+,y1,y2,y3∈R+),则的最大值为_______.【典例训练】【解析】1.解题流程：答案：变形求解判断结论【解析】1.解题流程：变形求解判断结论2.答案：22.【归纳】正确利用“1”.提示：数字“1”的正确利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往能起到某些用字母所代表的数或式子所不能起到的作用，这就要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式.【归纳】正确利用“1”.

一般形式柯西不等式的应用应用柯西不等式的注意事项我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点.我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题.一般形式柯西不等式的应用【典例训练】1.设a1,a2,…,an为实数,b1,b2,…,bn为正数,求证:2.已知a1,a2,…,an都是正实数，且a1+a2+…+an=1,求证：【典例训练】【证明】1.由柯西不等式得因为b1,b2,…,bn为正数,于是b1+b2+…+bn>0,故【证明】1.由柯西不等式得2.左边2.左边=右边,∴原不等式成立.一般形式的柯西不等式课件一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式1.三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,则

.当且仅当______________________________________________时，等号成立.b1=b2=b3=0或存在一个数k，使得a1=kb1,a2=kb2,a3=kb31.三维形式的柯西不等式b1=b2=b3=0或存在一个数k，2.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数，则当且仅当____________________________________________________时，等号成立.bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)2.一般形式的柯西不等式bi=0(i=1,2,…,n)或存在1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成可以吗？提示：不可以.因为若出现bi=0(i=1,2,3)的情况，则分式不成立了，但是，可以利用分式的形式来形象地记忆.1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成2.设x,y,z∈R,且满足x2+y2+z2=5,则x+2y+3z的最大值是______.【解析】(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)·(12+22+32)=5×14=70,答案：2.设x,y,z∈R,且满足x2+y2+z2=5,则x+2y3.已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,则e的取值范围是_______.【解析】∵4(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2,即4(16-e2)≥(8-e)2∴64-4e2≥64-16e+e2,∴5e2-16e≤0,答案：［0,］3.已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,a1.柯西不等式的一般形式的理解一是抓住柯西不等式的一般形式的结构特点：左边是平方和的积，右边是积的和的平方；二是与二维形式的柯西不等式类比记忆.1.柯西不等式的一般形式的理解2.柯西不等式的两个变式(1)设ai∈R,bi＞0(i=1,2,…,n),当且仅当bi=λai时(1≤i≤n)等号成立.(2)设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n),则当且仅当bi=λai时，等号成立.

2.柯西不等式的两个变式

三维柯西不等式的应用使用柯西不等式需要掌握的方法与技巧应用柯西不等式常用的技巧有以下几种(1)构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数.(2)构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排各项的次序.三维柯西不等式的应用(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目的.(4)构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项.(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从【典例训练】1.设x+y+z=1，则函数μ=2x2+3y2+z2的最小值是________.2.若x1+x2+x3=1,y1+y2+y3=4(x1,x2,x3∈R+,y1,y2,y3∈R+),则的最大值为_______.【典例训练】【解析】1.解题流程：答案：变形求解判断结论【解析】1.解题流程：变形求解判断结论2.答案：22.【归纳】正确利用“1”.提示：数字“1”的正确利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往能起到某些用字母所代表的数或式子所不能起到的作用，这就要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式.【归纳】正确利用“1”.

一般形式柯西不等式的应用应用柯西不等式的注意事项我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点.我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题.一般形式柯西不等式的应用【典例训练】