PPT结构力学之结构的位移法及习题课讲义

第十一章章位位移移法§11-1位移法的的基本概概念§11-2等截面杆杆件的刚刚度方程程§11-3无侧移刚刚架的计计算§11-4有侧移刚刚架的计计算§11-5位移法的的基本体体系§11-6对称结构构的计算算§11-7支座位移移和温度度改变时时的计算算§11-0简介1位移法与与力法一一样，是是计算超超静定结结构的一一种方法法，它比比力法有有更大的的优越性性。位移移法也可可用来解解静定结结构，也也就是说说位移法法比力法法具有更更大的通通用性。。矩阵位移法——随计算机的发展而形成的；位移法渐近法——力矩分配配法、无无剪力分分配法；；分层计算法(多层多跨刚架受竖向荷载作用时)；近似法——反弯点法法(多层多跨跨刚架受受水平荷荷载作用用时)；D值法(广义反弯弯点法)。2§11-1位移法的的基本概概念一、位移移法的基基本思路路将结构拆拆成杆件件，再由由杆件过过渡到结结构。即即：结构拆成杆件结构搭接成第一步第二步第一步：：杆件分分析找出出杆件的的杆端力力与杆端端位移之之间的关关系。即即：建立立杆件的的刚度方方程。第二步步：结结构分分析找找出结结构的的结点点力与与结点点位移移之间间的关关系。。即：：建立立结构构的位位移法法基本方方程。3位移法法的实实施过过程，，是把把复杂杂结构构的计计算问问题转转变为为简单单杆件件的分分析与与综合合的问问题。。杆件分分析是是结构构分析析的基基础，，杆件件的刚刚度方方程是是位移移法基基本方方程的的基础础。所所以位位移法法又称称为刚度法。二、基本未未知量力法：力法的基基本未知量量是多余未未知力；位移法：位移法位移法与力法一样，求解的第一步就要是确定结构的基本未知量。4基本未知量量的确定：：基本未知量量数目n=结点角位移移数+独立的结点线位位移数结点角位移移数=结构的刚结结点数(容易确定)独立的结点点线位移数数的确定方方法：将所有的刚刚结点变成成铰后，若若有线位移移则体系几几何可变，，通过增加加链杆的方方法使体系系变成无多多余约束的的几何不变变体系(静定结构)时，需要增加加的链杆数数就是独立立的线位移移数。图11-1FEDCBAFEDCBAn=2(D、F)+1(D、E、F点的水平侧侧移F)=35图11-2EDCBA(a)(b)确定线位移图EDCBAn=3(C、D、E)+2(D、E点的的水水平平侧侧移移D、E)=5图11-3(a)FEDCBAG(b)确定线位移图FEDCBAGn=1(D)+2(C、F点的水平侧移移C、F)=36习题11-1用位移法计算算下列各结构构时的基本未未知量个数。。(a)EIEA(1)当EI、EA为无穷大时，(3)(2)当EI、EA为有限值时，(6)习题11-1图(b)(1)当0时，(10)(2)当=0时，(10)(c)(1)当不考虑轴向变形时，(4)(2)当考虑轴向变形时，(9)(d)(1)当0时，(3)(2)当=0时，(2)7三、解题途径径以图11-4a所示结构为例例，介绍位移移法的解题途途径。图11-4(a)qABCPAA1、确定基本未未知量(2个)A、A=2、设法求出A、方法：把结构构拆成杆件(b)qAMABAB(1)AB杆的计算条件件是：B端固定，A端有已知位移移A、，并承受已知荷荷载q的作用。(c)PACMACA(2)AC杆的计算条件件是：C端简支，A端有已知位移移A，并承受已知荷荷载P的作用。AMACMAB(d)ABQABQABMABMBAqP(e)QBA8注意：此处所说的的已知位移仅仅是指，根根据结构与荷荷载知道结构构的结点将产产生此种位移移，并非知道道其大小。(3)杆件分析：就就是杆件在已已知端点位移移和已知荷载载作用下的计计算问题。得得到的是杆件件的刚度方程。3、整体体分析析(将杆件件搭接接成结结构)杆件搭搭接时时利用用在A端各杆杆位移移是相相同的的。作作为变变形协协调条条件。。再利利用结结点A及结构上某某杆的平衡衡条件，即即可得到位位移法的基基本方程。。基本方程程是用结点点位移表示示的平衡方方程。解平平衡方程，，即可获得得结点位移移A、。4、位移法求解解的关键就就是求得结点位移。。结点位移一一旦求出，，余下的问问题就是杆杆件的计算算问题。95、计算各杆杆的杆端弯弯矩将A和代入杆件的的杆端弯矩矩表达式，，即可求出出各杆端弯弯矩。6、作弯矩图图：根据杆杆端弯矩和和杆件所受受荷载作M图。再按第第三章的方方法作剪力力图和轴力力图。以上是位移移法求解超超静定结构构的基本过过程。从介介绍的过程程中，大家家应该清楚楚：(1)位移法主要要是计算出出结构的结结点位移，，其余是杆杆件计算。。(2)位移法将整整体结构拆拆成的杆件件不外乎三三种“单跨跨超静定梁梁”：两端固定梁梁；一端固固定、一端端简支梁；；一端固定定、一端滑滑动梁。最后提出：：杆件的计计算作为预预备知识在在下一小节节介绍。10§11-2等截面杆件件的刚度方方程位移法计算算的基础是是：单跨超超静定梁具具有支座移移动和外荷荷载作用时时的杆端力力的计算。。用到的数据据是：形常数和载常数。(1)已知杆端位位移求杆端端弯矩——形常数；(2)已知荷载作作用时求固固端弯矩——载常数。一、由杆端端位移求杆杆端弯矩(获得刚度方方程)(1)基本情况图11-5所示为一等等接截面杆杆件AB，截面惯性矩矩I为常数。已已知端点A和B的角位移分分别为A和B，两端垂直杆杆轴的相对对位移为，拟求杆端端弯矩MAB和MBA。11(2)杆端位移与与杆端弯矩矩的符号规规定AB杆：杆端位位移A、B、弦转角(=/l)、杆端弯矩MAB和MBA一律以顺时针为正正。特别注意：：第一点，式=/l中的是A、B两点的相对对竖向位移移。在结构构中的杆件件有两端都都出现竖向向位移的情情况(多层多跨刚刚架中中间间层柱的侧侧移，就是是这种情况况)，这时一定定要注意取取的是两端端的相对侧侧移。第二点，此时的弯弯矩符号规规定，只是是针对杆端端弯矩而言言，而不是是针对杆间间的任一截截面的弯矩矩。图11-5MABEIAQABBQBAMBAlBA12当取杆件为隔隔离体时，把杆杆端弯矩矩作为外外力，一一律以顺时针为为正；当取结点为隔隔离体时，把杆杆端弯矩矩作为外外力，一一律以逆时针为为正。但是，，当作弯弯矩图时时，杆端端弯矩为为杆件的的内力，，遵循通通常的符符号规则则，弯矩矩图画在在受拉侧侧。(3)刚度方程程的推导导①图11-6所示简支支梁图11-6(a)MABAEIlABBMBA已知：两端力偶偶MAB、MBA，求杆端转角角A、B。利用第八八章计算算位移的的方法——单位荷载载法求解。MPMABMBAM1P=1113APMM1图进行图乘可求得图与q-=-=-BAABBAABBAABAMiMiEIlMEIlMlMlMEI613163)31213221(1=q=lEIi称为线刚度。式中，+-BAABBBMiMi3161=，同理，可求qq(11-2)+--BAABBBAABAMiMiMiMi31616131==即：qq②考考虑杆件件两端的的竖向相相对位移移时，求求A、B。图11-6(b)AEIBlBAlBAD===jqq(11-3)14③综合合考虑两两种情况况就可得得到下式式：(11-4)D++-D+-lMiMilMiMiBAABBBAABA31616131＝＝qq解(11-4)式，可得得式(11-5)，即：转角位移移方程(11-5)liiiMliiiMBABABAABD-+=D-+=642624qqqq④杆端端剪力QAB、QBA+-==)(1MMlQQBAABBAAB由平衡条件可得杆端剪力：即：(11-6)D+--==21266lililiQQBABAABqq15⑤刚度度方程两式是杆杆端力与与杆端位位移之间间的关系系，用矩矩阵形式式表示，，即称为为弯曲杆杆件的刚度方程程。(11-7)D----=BAABBAABlilililiiiliiiQMMqq21266642624----lilililiiiliii21266642624左边的矩矩阵称为为弯曲杆杆件的刚度矩阵阵。其中的的元素称称为刚度系数数。刚度系系数只与与杆件的的截面尺尺寸和材材料的性性质有关关，称为为“形常数”。16(4)讨论杆件件在一端端具有不不同支座座时的刚刚度方程程①B端为固定定端(图11-7a)图11-7(a)EIBAlMBAMBAAA此时，B=0代入(11-5)式(11-8)可得：liiMliiMABAAABD-=D-=6264qq②B端为铰支支座(图11-7b)(b)lAMBAAAEIB此时，MBA=0代入(11-4)式中的第一式，，可得：(11-9)liiMAABD-=33q③B端为滑动动支座(图11-7c)lMBAEIBMBABAA(c)17此时，B=0、QBA=QBA=0，代入(11-6)式Alq21=D可得：将此式代入(11-5)式，则有：(11-10)ABAAABiMiMqq-==由以上的分分析过程可可知：利用用(11-5)~(11-10)式，可在杆杆端位移A、B、已知的情况况下求出杆杆端弯矩。。当杆端位移移A、B、分别为单位位位移时，，各杆端力力即为杆件件弯曲时的的刚度系数。例如两端端固定时有有A=1MABMBAliQQBAAB6-==iMMBAAB24i==18二、由荷载载求固端弯弯矩此时，仅考考虑外荷载载作用，可可以用力法法求出各种种单跨超静静定梁在不不同荷载作作用下的杆杆端弯矩和和杆端剪力力，把它们们称为“固端弯矩”和“固端剪力”。固端弯矩和固端剪力因只与荷载形式有关，称为载常数。用“mAB、mBA、QAB、QBA表示固端弯矩和固端剪力。为便于计算，将有关结果列于表11-1，供解题时使用。等截面两端端固定梁同同时有荷载载和杆端位位移时，可可用“叠加原理”得出各杆杆端弯矩和和剪力的表表达式(11-12)和(11-13)。式(11-12)BABABAABBAABmliiiMmliiiM+D-+=+D-+=642624qqqq19BABABAABBAABQlililiQQlililiQ+D+--=+D+--=2212661266qqqq式(11-13)表11-1等截面杆件的固端弯矩和固端剪力321两端固支固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号203022qlmqlmBAAB+=-=2222lbPamlPabmBAAB+=-=)21(22lblPaQBA+-=)21(22lalPbQAB++=2qlQBA-=2qlQAB+=122qlmBA+=122qlmAB-=207qlQBA-=203qlQAB+=qABlqABlPABba206一端固定另一端铰支5两端固支74固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号qlmAB82-=qlmAB152-=qlQBA101-=qlQAB52+=qlQBA83-=qlQAB85+=D-=BAhtEImaD=ABhtEIma0=BAQ0=ABQ2PQBA-=2PQAB+=8PlmBA+=8PlmAB-=续表11-1PABl/2l/2t1ABt2t=t1-t2qABlqABl21101198一端固定另一端铰支固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号322)3(lalPaQBA--=3222)3(lblPbQAB-+=2222)(lblPbmAB--=PlmAB163-=hltEIQQBAAB23D-==ahtEImAB23D-=aqlmAB12072-=PQBA165-=PQAB1611+=qlQBA4011-=qlQAB409+=续表11-1qABlPABbaPABl/2l/2t1ABt2t=t1-t22215141312一端固定另一端滑动支承固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号0=右BQ+=左BPQ+=ABPQ2-==BAABPlmm0=BAQ0=ABQD-=BAhtEImaD=ABhtEIma22-=BAlPam)2(2--=ABallPam0=BAQ+=ABPQ62-=BAqlm32-=ABqlm0=BAQ+=ABqlQ续表11-1qABlPABbaABlP+t1AB+t2t=t1-t223§11-3无侧移刚架架的计算位移法求解解超静定结结构时，根根据位移法法的基本原原理，有两两种建立位位移法基本本方程的方方法。即：：1、直接杆端端弯矩法；；2、基本体系系法(附加约束法法)。无侧移刚架架：若刚架的的各结点(不包括支座座)只有角位移移而没有线线位移，这这种刚架称称为无侧移移刚架。连续梁的计计算属于无无侧移刚架架问题。一、连续梁梁的位移法法计算24通过连续梁梁的位移法法计算，说说明位移法法的解题过过程。图11-8a所示的两跨跨连续梁，，求作弯矩矩图(M图)。图11-8(a)ABC20kN2kN/m3m3m6m1、确定基本本未知量在荷载作用用下，只有有一个基本本未知量，，即：B2、计算各杆的的固端弯矩矩AB梁是两端固固定梁，在在跨中有集集中荷载作作用，且在在B端有转角B。BC梁是B端固定、C端简支的梁梁，梁上有有均布荷载载作用，且且在B端有转角B。)4111(1586208序号－查表mkNPlmmBAAB-==-=-=-25)6111(9862822序号－查表mkNqlmBC-=-=-=3、写出各杆杆端弯矩的的表达式(令各杆的线线刚度均为为i)1522-=+=BABBABimiMqq1544+=+=BBABBAimiMqq933-=+=BBCBBCimiMqq4、建立位移移法基本方方程(取结点B为隔离体如如图11-8b)MBAMBCB(b)图11-80=+BCBAMM0=BM067=+Biq即，位移法基本方程为：5、求基本未未知量B(解基本方程程)iB76-=q266、计算各杆杆端弯矩(将B代入杆端弯弯矩的表达达式)mkNiiimiMBABBAB-=--=-=+=)(72.1615)76(21522qqmkNiiimiMBBABBA=+-=+=+=)(57.1115)76(41544qqm)kNiiimiMBBCBBC-=--=-=+=(57.119)76(3933qq7、作弯矩图图根据各杆端端弯矩的值值，利用叠叠加原理作作M图如图11-8c。图11-8(c)11.5716.7215.853.21M图(kNm)309需注意：此时若杆端端弯矩为负负值，表示弯矩为为逆时针方方向。278、讨论若在B点作用有集集中力偶，，位移法的的基本方程程如何建立立。(a)20kN20kN·m2kN/mABC3m3m6m图11-9此时，对作作用在B点的集中力力偶，求固固端弯矩时时不考虑。。在建立位位移法的基基本方程时时考虑。取取B结点为隔离离体如右图图(b)所示。20kN·mB(b)MBAMBC基本方程为为：MAB+MBC-20=0有：7iB-14=0B=2/i杆端弯矩表表达式不变变，弯矩图图如右(c)图所示。30112339137.5(c)M图(kNm)28例11-1求作图11-9a所示刚架的的弯矩图。。(a)q=20kN/mABCDEF3I04I04I05I03I06m4m4m5m4m图11-10解：(1)基本未知量量有两个：：B，C。(2)求杆端弯矩矩固端弯矩可可以查表mkNqlmBA===408420822mkNqlmBC-=-=-=7.41125201222mkNmCB=7.41各杆刚度取相对对值，设EI0=1，则有2921630==EIiCF43430==EIiBE1440==EIiCD1550==EIiBC1440==EIiBA由式(11-5)，(11-8)，(11-9)，再叠加固固端弯矩，，可列出各各杆杆端弯弯矩如下：：BBABBABAmiMqq+=+=4033CBBCCBCBBCBCmiiMqqqq-+=++=7.412424CBCBCBCBBCCBmiiMqqqq++=++=7.414242CCCDCDiMqq==33BBBEBEiMqq==34，BBBEEBiMqq==5.12CCCFCFiMqq==24，BCCFFCiMqq==230(3)位移法方程程结点B平衡，MB=0(图11-10b)BMBAMBCMBE(b)图11-10MBA+MBC+MBE=0将上步结结果代入入得10B+2C-1.7=0①①结点C平衡，MC=0(图11-10c)CMCBMCDMCF(c)MCB+MCD+MCF=0将上步结结果代入入得2B+9C+41.7=0②②(4)求基本未未知量解①、②两方程，，得B=1.15，C=-4.8931(5)求杆端弯弯矩将求得的的位移代代入第2步各式可可得mkNMBA=5.43mkNMBC-=9.46mkNMCB=5.24mkNMCD-=7.14mkNMBE=4.3mkNMEB=73.1mkNMCF-=78.9mkNMCF-=89.4(6)作弯矩图图如图11-10d所示。3.4ABCDEFM图(单位kN·m)1.734.899.814.724.546.943.54062.5(d)图11-10注意：在本题中中各杆用用的是相相对刚度度，求出出的位移移并不是是真值。。如果要要求位移移的真值值，刚度度也必须须采用真真值。32如果在本本题中，，令i=EI0/4，则有：iBA=iBC=iCD=4i，iBE=3i，iCF=2i。此时得到的位位移为：B=0.282/i，C=-1.202/i。它们都是真值，当EI0值已知时，可直直接求出B、C。例11-2如图所示的刚刚架，求作弯弯矩图。EI=常数8mABCDEFP=20kNq=10kN/m6m8m1(a)图11-1133对于此题，值值得注意的是是：EF杆F端的荷载对E的作用相当于于一个结点力力偶矩。由结点E平衡，即ME=0，有：MED+MEC-20=0基本未知量为为E，令i=EI/8，基本方程为：：7iE+60=0计算结果为：：E=-60/(7i)=-8.57/i。ABCDEF54.292034.2917.1480M图(单位kN·m)(b)图11-1134§11-4有侧移刚架架的计算有侧移刚架架：刚架除有有结点转角角位移外，，还有结点点线位移(独立的结点点线位移)。注意：计算中忽略略轴力对变变形的影响响。这样可可以减少结结点线位移移的个数，，使计算得得到简化(见图11-12)。(a)CPDDDCCAB图11-12(b)PDABEFC(c)CAPBDPEF221135由于忽略了了杆件的轴轴向变形，，图11-12中的每个图图的同层横横梁上结点点的水平侧侧移相等(即独立的结结点线位移移只有一个个)，可以用一一个线位移移符号表示。下面用例题题说明位移移法解有侧侧移刚架的的基本步骤骤与过程。。例11-3图11-13a所示的刚架架，柱的线线刚度为i，梁的线刚度度为2i，均布荷载集集度q=3kN/m，试作结构的的弯矩图。。(a)i2iiBACD8m4mq图11-13解：1、基本未知知量刚结点B的转角B和柱顶的水水平位移(图11-13b)。(b)BACDB362、杆端弯矩矩表达式利用前述的的相应公式式并叠加固固端弯矩，，可得各杆杆端弯矩-D-=-D-=iiiiMBBAB45.12431214622qq+D-=+D-=iiiiMBBBA45q==iiMBBBC6)2(3qqD-=D-=iiMDC75.043(a)3、建立位移移法基本方方程首先，与结结点B角位移B对应，取结结点B为隔离体(图11-13c)，列力矩平衡衡方程：(c)MBCMBAB图11-133700，=+=MMMBCBAB(b)①045.110=+D-iiBq利用(a)式可得：然后，与横横梁水平位位移对应，取横横梁BC为隔离体(图11-13d)，列出水平投投影方程：：(d)BCQBAQCD图11-13X0，CDBAQQ0=+=(c)这里关键是是求出两竖竖柱顶端的的剪力QBA和QCD(图11-13e、f)。(e)q4mQABQBAMBAMABABAM0，BAABBAMMQ6)(41-+-==(f)4mMDCQDCQCDCDDM0，DCCDMQ41-==将以上两式式代入(c)可得：38024=+++MMMDCBAAB(d)②02475.36=+D-iiBq再利用(a)式可得：4、求基本未未知量B和联立求解①①、②两式式，即得B和。iB1737.0=qi158.7=D5、计算各杆端端弯矩将基本未知量量B和代入各杆端弯弯矩的表达式式，即有：mkNiiiiMAB-=--=62.134)158.7(5.1)1737.0(2mkNiiiiMBA-=+-=42.44)158.7(5.1)1737.0(439mkNiiMBC==42.4)1737.0(6mkNiiMDC-=-=69.5)158.7(75.06、作M图(图11-13g)13.624.425.694.426M图(单位kN·m)BACD(g)图11-13一般说来，位移法的基本本方程是静力力平衡方程。注意和力法法基本方程对对比。基本未知量中中每一个转角角有一个相应应的结点力矩矩平衡方程，，每一个独立立结点线位移移有一个相应应的截面平衡衡方程。平衡衡方程的个数数与基本未知知时的个数彼彼此相等，正正好解出全部部基本未知量量。40例11-4求作图11-16(a)所示刚架的弯弯矩图，忽略略横梁的轴向向变形。(a)ABCDEFI1I2I3h1h2h3P图11-16解：(1)基本未知量柱AB、CD、EF是平行的，因因而变形时横横梁只有移动动，横梁在变变形后保持平平行(图11-16b)，所以各柱顶的的水平位移是是相等的，只只有一个独立立线位移。(b)ABCDEFP(2)各柱的杆端弯弯矩和剪力41各柱的线刚度为333hEIi=222hEIi=111hEIi=利用前述的相相应公式，可可得各杆端弯弯矩333hiMFED-=223hiMDCD-=113hiMBAD-=由每柱平衡求求得杆端剪力力2333hiQEFD=2223hiQCDD=2113hiQABD=(3)位移法方程取柱顶以上横横梁部分为隔隔离体(图11-16c)，由水平方向的的平衡条件X=0，得42(c)ABCDEFQABQCDQEFP图11-16=++-0)(QQQPEFCDAB=++D-2332222110)(3hihihiP=++=D22332222113)(3hiPhihihiP求得2hi2hi式中为各立柱之和。(4)柱端弯矩和剪剪力(将代入第2步各式可得)-=233hihiPMFE-=222hihiPMDC-=211hihiPMBA43=2233hihiPQEF=2222hihiPQCD=2211hihiPQAB(5)根据杆端弯矩矩可画出M图如图11-16d所示。图11-16(d)ABCDEF233hihPi222hihPi211hihPiM图(6)讨论计算结果表明明，各柱柱端端剪力Q与i/h2成正比。我们们可以给上述述结果以新的解释：荷载P作为各柱总剪力，按各柱的i/h2比例分配给各各柱，根据剪剪力，即可画画出弯矩图。。44例11-5如图11-14所示的刚架，，求作弯矩图图。图11-14(a)4mABCDP=28kN2m2m2mi2i2iq=28kN/m在本题中，基基本未知量是是刚结点B的转角B和结点B(C)的侧向位移(B、C)。由结点B列力矩平衡方方程：MB=008428)(32=-+Biq84284)2(6)2(4+D-Biiq即：化简可得：11iB-3i-42=0①45由斜梁BC的水平分力列列水平投影方方程：X=0。即有06)2(32284)2(124)2(622=D+-D+-iiiBq化简可得：-3iB+5i/3-14=0②②联立求解方程程①、②可得：B=12/i=30/i(b)ABCD562030285610M图(kN·m)图11-14本题应注意两点：(1)因为结点B、C都只能发生水水平位移，并并且位移前后BC杆的长度不变变，所以应该该有=B=C，即只有一个独立立的线位移；；(2)斜杆BC的固端弯矩mBC与同跨度(荷载分布长度度)的水平杆的固固端弯矩相同同。46例11-6作图11-15(a)所示结构的弯矩矩图。lABCDP=3qlqii1iliiEllF(a)图11-15此题中，基本本未知量个数数为2，即刚结点B的转角B和C(F)点的侧移(C、F)。由结点B列力矩平衡方方程：MB=0064832=D+++liiqliBBqq即：化简可得：7iB+6i/l+ql2/8=0①①由横梁CF的水平分力列列水平投影方方程(以向左为正)：03312126222=-D+D+D+qllilililiBqX=0，47可得：6iB+27i/l-3ql2=0②②联解两方程可可得：B=-19ql2/(136i)=29ql3/(204i)ABCDEF0.270.570.850.850.280.430.270.125M图(ql2)(b)图11-15本题应注意以下几点：(1)因CF杆的线刚度为为无穷大，所所以C点无转动，只只有侧移，基基本未知量为为2。(2)弯矩MCF的值由C点的力矩平衡衡求出。(3)取CF杆为隔离体时时，必须切断断所有的杆件件，并注意列列方程时不要要忘记作用在在C点的水平集中中荷载P。(4)查表计算固端端弯矩m时，注意所求求结构的杆件件与所查表中杆杆件的支承情情况，注意固固端弯矩的正正负号。48例11-7求作图11-17(a)所示刚架的内内力图。(a)q=20kN/mABCEFD4I04I05I03I03I04m6m4m4m5m图11-17解：(1)基本未知量本例与例11-1不同处是除除转角B和C外横梁还有有水平位移移。(2)杆端弯矩固端弯矩查查表11-1求得mkNqlmBA===408420822mkNqlmBC-=-=-=7.41125201222mkNmCB=7.41各杆刚度取相对对值，设EI0=1，则有491440==EIiBA1550==EIiBC1440==EIiCD43430==EIiBE21630==EIiCF由式(11-5)，(11-8)，(11-9)，再叠加固固端弯矩，，可列出各各杆杆端弯弯矩如下：：BBABBABAmiMqq+=+=4033CBBCCBCBBCBCmiiMqqqq-+=++=7.412424CBCBCBCBBCCBmiiMqqqq++=++=7.414242CCCDCDiMqq==33D-=D-=125.1364BBEBEBBEBEliiMqqD-=D-=125.15.162BBEBEBBEEBliiMqq50D-=D-=5.0264CCFCFCCFCFliiMqqD-=D-=5.062CCFCFCCFFCliiMqq(3)位移法方程程考虑结点B平衡(图11-17b)BMBAMBCMBE(b)图11-17MB=0，MBA+MBC+MBE=0得10B+2C-1.125D-1.7=0①①考虑结点C平衡(图11-17c)CMCBMCDMCF(c)MC=0，MCB+MCD+MCF=0得2B+9C-0.5D+41.7=0②②51以截面切断断柱顶，考考虑横梁ABCD的平衡(图11-17d)图11-17(d)q=20kN/mABCDQBEQCFX=0，QBE+QCF=0再考虑柱BE和CF的平衡(图11-17e和f)(e)BEQBEQEBMEBMBE40，EBBEBEEMMQM+-==CFQCFQFCMFCMCF(f)60，FCCFCFFMMQM+-==故截面平衡方方程可写为为064=+++FCCFEBBEMMMM037.4375.6=D-+CBqq得③(4)求基本未知知量52联立解①、②、、③三个方程，得B=0.94，C=-4.94，，=-1.94(5)求杆端弯矩矩将求得的的位移代代入第2步各式，，得MBA=30.94+40=42.82kNmMBC=40.94+2(-4.94)-41.7=-47.82kNmMCB=20.94+4(-4.94)+41.7=23.82kNmMCD=-34.94=-14.8kNmMBE=30.94+1.1251.94=5.0kNmMEB=1.50.94+1.1251.94=3.59kNmMCF=2(-4.94)+0.51.94=-8.91kNmMFC=-4.94+0.51.94=-3.97kNm53(6)作内力图由杆端弯矩作作出M图(图11-17g)。图11-17(g)ABCEFD18.647.842.853.593.9726.723.814.88.91M图(kN·m)由每杆的隔离离体图，用平平衡方程可求求出杆端剪力力，然后作出出Q图(图11-17h)。(h)ABCEFD45.229.350.73.72.1554.8Q图(kN)由结点的平衡衡方程可求出出杆端轴力，，然后作出N图(图11-17i)。(i)ABCEFD48.9105.52.15N图(kN)(7)校核在力法中曾经经详细讨论过过超静定结构构计算的校核核问题，其中中许多作法这这里仍然适用用。54但是要注意一一点：在位移法中，，一般以校核核平衡条件为为主；与此相相反，在力法法中，一般以以校核变形连连续条件为主主。这是因为在选选取位移法的的基本未知量量时已经考虑虑了变形连续续条件，而且且刚度系数的的计算比较简简单，不易出出错，因而变变形连续条件件在位移法中中不作为校核核的重点。图11-17中的内力图可可进行平衡条条件校核如下下：C23.814.88.9(k)B42.847.85.0(j)图11-17首先由由图11-17j、k看出，，结点点B和C处的力力矩平平衡条条件是是满足足的。。其次，，在图图11-17l中取柱柱顶以以上梁梁ABCD部分为为隔离离体，，可校校核水水平和和竖向向平衡衡条件件：55图11-17(l)q=20kN/mABCD2.152.1529.3105.548.93.70015.215.20=-=X07.39209.485.1053.290=--++=Y56§11-5位移法法的基基本体体系前面提提出的的是““直接接杆端端弯矩矩法””求解解超静静定结结构。。下面面介绍绍利用用“位位移法法的基基本体体系””求解解超静静定结结构方方法。。力法中中曾经经提出出“力力法基基本体体系””的概概念，，我们们知道道力法基基本体体系必必须是是静定定结构构。在此此通过过提出出“位位移法法的基基本体体系””给出出位移移法的的另一一种形形式。。但是是，需需要注注意此此时的的基本体体系是是一个个比原原结构构超静静定次次数更更高的的超静静定结结构。位移法法的基基本未未知量量是位位移：：用广广义符符号““”表示示。一、基基本体体系图11-18a所示刚刚架，，已知知：q=3kN/m，l=8m，h=4m。有两个个基本本未知知量，，结点点B的转角角1和结点点C的水平平位移移2。57图11-18(a)CABDii2ilhq原结构(b)CABDq112基本体系采用基本体系如图11-18b所示。即：在B点附加“刚臂约，该附加刚臂只控制转动，不控制线位移。在结点C附加水平支杆控制结点C的水平位移。束”基本体体系与与原结结构的的区别：通过过增加加人为为约束束，把把基本本未知知量由由被动动位移移变成成受人人工控控制的的主动动位移移。基本体体系的的作用用：基本体体系是是用来来计算算原结结构的的工具具或桥桥梁。。它包包括两两个特特点：：581、基本本体系系可以以转化化为原原结构构，可可以代代表原原结构构；2、基本本体系系的计计算比比较简简单。。附加约约束的的目的就是将将结构构拆成成杆件件，使使结构构的整整体计计算问问题，，变成成单个个杆件件的计计算问问题，，计算算被简简化。。二、利利用基基本体体系建建立位位移法法的基基本方方程分析：：在什什么条条件下下，基基本体体系才才能转转化为为原结结构。。转化条条件位移法法基本本方程程1、控制制附加加约束束，锁住结结点位位移(1、2为零)。在荷荷载作作用下下，求求得基基本体体系在在此状状态下下的内内力；；同时时可知知，在在附加加约束束上有有约束束力矩矩F1P(顺时针针为正正)和水平平约束束力F2P(向右为为正)；而在在原结结构上上F1P和F2P是不存存在的的。592、再控控制附附加约约束，，使基基本体体系产产生结结点位位移1和2。此时时，附附加约约束中中的约约束力力F1和F2将随随之之改改变变；；若若控控制制1和2使与与原原结结构构的的实实际际值值正正好好相相等等，，则则约约束束力力F1和F2即完完全全消消失失，，附附加加约约束束失失去去作作用用，，与与原原结结构构完完全全相相同同。。通过过以以上上两两步步的的过过程程，，可可知知基基本本体体系系转转化化为为原原结结构构的的条条件件是是：：基基本本体体系系在在给给定定荷荷载载以以及及结结点点位位移移1和2共同同作作用用下下，，在在附附加加约约束束中中产产生生的的总总约约束束力力F1和F2应等等于于零零。。即：：转转化化条条件件(位移移法法的的基基本本方方程程)为：：F1=0F2=0(11-14)3、F1和F2的计计算算利用用““叠叠加加原原理理””，，分分别别考考虑虑外外荷荷载载和和1、2单独独作作用用时时，，基基本本体体系系中中的的附附加加约约束束力力。。60(1)荷载载单单独独作作用用：：相相应应的的约约束束力力为为F1P和F2P(图11-19a)。图11-19(a)CABDqF1PF2P(2)单位位位位移移1=1单独独作作用用：：相相应应的的约约束束力力为为k11和k21(图11-19b)。(3)单位位位位移移2=1单独独作作用用：：相相应应的的约约束束力力为为k12和k22(图11-19c)。(c)k22k122=1(4)叠加加结结果果，，考考虑虑到到式式(11-14)有：：(11-15)22221212+D+D=PFkkF12121111+D+D=PFkkF(b)k21k111=1614、位移移法法基基本本方方程程(11-16)02222121=+D+DPFkk01212111=+D+DPFkk式(11-16)的物理意意义是明明确的，，由此式式可求出出位移1和2。与前面面的直接接杆端弯弯矩法是是相通的的。注意：kii——主系数，，且kii>0；kij——副系数，，且kij=kji；FiP——自由项；副系数、、自由项项可为任任意值。。关于位移移法和力力法，利利用基本本体系方方法，基基本未知知量数目目一旦确确定，即即可写出出其典型型方程。。三、基本本体系法法(附加约束束法)的解题过过程1、荷载作作用下F1P、F2P的计算。。62(1)作基本体体系在荷荷载单独独作用下下的MP图(图11-20a)。(a)CABD4F1PF2P4MP图图11-20(2)取结点B为隔离体体(图11-20b)，求得F1P=4kN·m。(b)BF1P40(3)取柱顶以以上横梁梁BC为隔离体体(图11-20c)，已知立柱柱BA的固端剪剪力QBA=-qh/2=-6kN，求得F2P=-6kN。(c)CBQCD=0F2PkNqhQBA62=-=-2、基本体体系在单单位转角角1=1单独作用用下，求求k11、k21。图为图(图11-21a)。M1(1)在基本体系中，当结点B有单位转角1=1时，其弯矩63图11-21(a)k21k116i2i4iABCD1M图(2)取结点B为隔离体体(图11-21b)，得k11=4i+3(2i)=10i。(b)Bk114i6i(3)取柱顶以以上横梁梁BC为隔离体体(图11-21c)，已知立柱柱BA的柱顶剪剪力QBA=-6i/4=-1.5kN，求得k21=-1.5i。(c)CBQCD=0k216iQBA-1.5ih==-3、2=1作用下求求k12、k22其弯矩图为图(图11-22a)。M2(1)在基本体系中，当横梁BC有单位水平位移2=1时，(2)取结点B为隔离体体(图11-22b)，得k12=-1.5i。64(b)Bk121.5i0(a)k22k121.5iABCD1.5i0.75i2M图图11-22(c)CBk22QBAi12ih2==34QCDi3ih2==316(3)取柱顶以以上横梁梁BC为隔离体体(图11-22c)，已知立柱柱BA的柱顶剪剪力QBA=12i/h2=3/4i，立柱CD的柱顶剪剪力QCD=3i/h2=3/16i，求得k22=15i/16。注意：此题中中求k12比求k21要简单，，解题时时注意应应用。4、位移法基基本方程程将求得的的各系数数和自由由项代入入方程式式(11-16)，得基本本方程如如下：65ii0616155.121=-D+D-ii045.11021=+D-D该基本方方程与前前面在§11-4中得出的方程完完全相同同。5、求出基基本未知知量1和2i158.72=Di1737.01=D6、作弯矩图图利用下列列叠加公公式作原原题刚架架的M图。PMMMM+D+D=2211(11-17)杆端弯矩矩计算如如下：66mkNiiiiMAB-=--=62.134)158.7(5.1)1737.0(2mkNiiiiMBA-=+-=42.44)158.7(5.1)1737.0(4mkNiiMBC==42.4)1737.0(6mkNiiMDC-=-=69.5)158.7(75.0注意：杆端弯弯矩计算算过程中中，以顺顺时针为为正。根据杆端端弯矩作作出刚架架的M图如图11-23所示。CABD图11-23M图(kN·m)4.4213.625.69667四、多个个基本未未知量的的位移法法基本方方程当结构有有n个基本未未知量时时，其位位移法的的基本方方程为：：00022112222212111212111=+D++D+D=+D++D+D=+D++D+DnPnnnnnPnnPnnFkkkFkkkFkkkLLL(11-18)上式与力力法的基本本方程是是对应的的，在这这里nnnnnnkkkkkkkkkLLLLLLLLLL212222111211结构的刚度矩阵其中系数数称为结结构的刚度系数数，且有kij=kji，因此结构刚度度矩阵是对对称阵。。其主系系数恒大大于零；；副系数数可为正正，可为为负，也也可为零零。68§11-6对称结构构的计算算由第九章章力法中中讨论过过的情况况可知，，作用于于对称结构构上的任意荷载载，可以分分解为对称荷载载和反对称荷荷载两部分分分别计算算。在对对称荷载载作用下下，弯矩矩图、轴轴力图及及变形图图是正对对称的，，而剪力力图是反反对称的的。在反反对称荷荷载作用用下，剪剪力图是是正对称称的，而而弯矩图图、轴力力图及变变形图是是反对称称的。利用这些些规则，，计算对对称连续续梁或对对称刚架架时，我我们只需需计算这这些结构构的半边结构构就可以以。这这里对对第九九章讲讲的““半刚刚架””法做做些相相应的的补充充。一、半半边结结构的的取法法1、奇数数跨69图11-24所示对对称结结构，，在对对称荷荷载(图a)和反对对称荷荷载(图c)作用下下，可可取图图b、d所示半半边结结构进进行计计算。。(a)qCABDE图11-24(b)CABq(c)ABDEC2P2P(d)CAB2P采用位位移法法计算算时，，图b有一个个基本本未知知量，而图d有两个个基本本未知知量。。702、偶数数跨图11-25a所示对对称结结构在在对称称荷载载作用用下，，可取取图b所示半半边结结构进进行计计算。。(a)CDBAEFIq图11-25(b)CBAq图11-26a所示对对称结结构在在反对对称荷荷载作作用下下，在在对称称轴上上，柱柱CD没有轴轴力和和轴向向位移移，但但是有有弯矩矩和弯弯曲变变形。。(a)CDBAEFI2P2P图11-2671(b)C1D2BAEFI2P2PC2D12I2I图11-26故图a可简化化为图图b所示的的结构构，中中间两两根分分柱的的抗弯弯刚度度为原原柱的的一半半。成成为奇奇数跨跨的结结构，，中间间跨的的跨度度为零零。(c)C1D1BA2P2I(d)C1D1BA2P2I此时的的半边边结构构可如如图c、d所示，，有三三个基基本未未知量量。中中间柱柱CD的总内内力为为两根根分柱柱内力力之和和，即即CD柱的总总弯矩矩和总总剪力力为分分柱弯弯矩和和剪力力的两两倍，，总轴轴力为为零。。72二、举举例确定图图11-27中对称称结构构的基基本未未知量量并选选取半半边结结构。。(a)CBPP图11-27(a)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD(b)CBPP(b)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD(c)C