高中数学必修五数列导学案加课后作业及答案

高中数学必修五数列导学案加课后作业及答案高中数学必修五数列导学案加课后作业及答案40由①十③得13dw—1,即dw-右■.于是——<d<——.13 7 13又.deZ,.-.d=-1.将d=—1代入②③两式得10。产12.又「aiCZ,a〔=11或a1=12.，所有可能的数列｛an｝的通项公式是an=12—n和an=13—n.13.解(1)由题意，设等差数列｛an｝的通项公式为an=a1+(n—1)d,dw0.由a2+a3=a4+a5知2a1+5d=0.①又因为S7=7,所以a〔+3d=1.②由①②可彳导a1=-5,d=2.所以数列｛an｝的通项公式an=2n-7,nn—1 2Sn=na1+ 2d=n-6n.202m=2X16—20=12,n=^6=25.即所求的四个数分别为 12,16,20,25.9.A星11.-912.证明(1),「a,b,c成等差数列且dw。,b—c=a—b=—d,c—a=2d,,'(b—c)logmx+(c一a)logmy+(a—b)logmz=2dlogmy—dlogmx—dlogmz=d(2logmy—logmx—logmz)=dlogm(yz,)=0.y2 y2,「dw0,/.logm^-=0,「.£=1.•.y2=xz,即x,y,z成等比数列.(2)因为ama(2)因为amam+1am+2am+2—4am+2—2

am+2am*”6+dh为数列｛M中的项，故/为整数.又由⑴知am+2为奇数，所以am+2=2m—3=+，即m=1,2.经检验，符合题意的正整数只有 m=2.§2.4等比数列(一)八 八 3n-11.C2.B3.B4.A5.C6.4(2)n17.解由等比数列的定义知a2=a1q,a3=a1q2代入已知得，a1+a1q+a1q2=7 即a11+q+q2=7,即a〔1+q+q2=7,a〔a1qa1q2=8 ' a3q3=8, a1q=2,②将a〔=2代入①得2q2—5q+2=0,，q=2或q=1,q2a1=4,a1=1由②得 或1 .-.an=2n1或an=23nq=2q=2.8.解设前三个数分别为 a-d,a,a+d,则有(a—d)+a+(a+d)=48,即a=16.设后三个数分别为b,b,bq,则有bbbbq=b3=8000,即b=20,(2)「x,y,z成等比数列,且公比qw1,•1•y=xq,z=xq2,(b—c)logmx+(c—a)logmy+(a—b)logmz=(b—c)logmx+(c—a)logm(xq)+(a—b)logm(xq2)=(b—c)logmx+(c—a)logmx+(c—a)logmq+(a—b)logmx+2(a—b)logmq=(c—a)logmq+2(a—b)logmq=(a+c-2b)logmq=0,.qw1,，logmqw0,，a+c—2b=0,即a,b,c成等差数列.13.解设三个数为"a,a,aq,，a3=—8,即a=—2,q三个数为―—2,-2q.qTOC\o"1-5"\h\z(1)若一2为一2和一2q的等差中项，则2+2q=4,q q，q2—2q+1=0,q=1,与已知矛盾；(2)若—2q为—2与—2的等差中项，则J+1=2q,q qc 1 …2q2-q-1=0,q=—3或q=1(舍去)，，三个数为4,1,—2;(3)若—彳为—2q与—2的等差中项，则q+1^,，这四个数分别为m,16,20,n,q2+q-2=0,..q=—2或q=1(舍去),，三个数为4,1,—2.综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为4,1,-2或-2,1,4.等比数列(二)2.A3.A4.A5.186.-67.(1)由a5=a2q3,一1八

得—2=4q3,8.9. 1所以q=-2.3n=32qn2=4(2)由3335=34,得333435=33=8.解得34=2.又因为3236=3335=34,所以3233343536=a4=25=32.12.解3n=2X2n—1=2n—2或3n=32X10.C11.5由等比数列的性质知31+36=11323136=Q9323136=3334="9,131=3解得3236=33231=Q31a6=3131=3当时q=2,3236=~3 3•-3n=32n12 432 232332+34+9=-,232=-,.•.232,32,34+4成等差数列，.-3n=12n13 9 33231=7当136=c-32+34+8w2a2,3 91一•1'不付合题思，故数列｛an｝的通项公式为3n=32 .313.解设开始的浓度为1,操作一次后溶液浓度31=1—',设操作n次后溶液的浓度为3n.则操作n+1次后溶液的浓度为3n+1=3n(1—1),从而建立了递推关系.3.｛3n｝是以31=1—」为首项，公比为q=1—」的等比数列.3 3_n1_*J,,n一3n=31q=(1-3)，即第n次操作后酒精的浓度是(1—1)n.3, 一，， 1 1当3=2时，由3n=6)nv]o,解得n>4.故至少应操作4次后才能使酒精浓度低于10%.契.5等比数列的前n项和(1.D2.D3.D4.C5.36.107.解当31=3,q=2时，3n=3*2厂1Sn=311—qn

1-q31—2n1-23(2n—1);当31=2,q=3时，3n=2X3n1,Sn=311—qn

1-q21—3n1-3=3n—1.8.解因为S2nW2Sn,所以qw1,由已知得311-qn

1-q=48311—q2n1-q=60②应得1+qn/即qn=；将③代入①得7ax=64,所以&门=型^ q-=64X1—A=63.1-q 49.C10.B11.3.解(1)设数列｛an｝的公比为q,由题意知：2(a3+2)=a2+a4,.•.q3-2q2+q-2=0,即(q—2)(q2+1)=0.•q=2,即an=22n1=2n.(2)bn=n2n,•Sn=12+222+323+•••+n2n. ①2Sn=122+223+324+-+(n-1)2n+n2n+1. ②①一②得一Sn=21+22+23+24+…+2n—n2n+1=-2-(n-1)2n+1.'-Sn=2+(n-1)2n+1..解(1)an=2—n.an(2)设数列2-T的刖n项和为Sn,即Sn=a1+a2'+…+2anT, ①48-解用an表示热二球在第n分钟上升的局度，由题忌，倚an+-an， 4 一因此，数列｛an｝是首项a1=25,公比q=%的等比数歹U.5热气球在前n分钟内上升的总高度为.n25X1-4na11—q 5 /cl、，Sn=a1+a2+…+an= ~ = ■; =125x1-q 1f1—5故这个热气球上升的高度不可能超过 125m.9.A10.D11.1[(1+r)3—1]312.证明.aw0,bw0,awb, 1.a，左端=an+a『1b+an―2b2+…+bn=anSna1a2 an万=万+了+…+/an1-bn+1an+11_-bn+1a所以，当n>1时，①一②得1-baa—b1—[n<125.1+-+-2+…+-aa an+1_bn+1=右端.a—bSna2—a1an—an1an

y=a1+—1+…+ 2n-1 —2n1/1.1,q1、2-n=1―(2+4+…+*)--2^1 2—n=1-(1-2nT)--2^=n2n.an+1—^+1an+an1b+an2b2+…+bn=- a-b13.(1)解 由已知，得an=aqn1,因此Si=a,S3=a(1+q+q2),S4=a(1+q+q2+q3).当Si,S3,S4成等差数列时，S4-S3=S3-S1,可得aq3=aq+aq2,化简得q2-q-1=0.所以Sn=2n1.当n=1时也成立.解得q=综上，数列岩的前n项和Sn=2上.8.5等比数列的前n项和(二)1.C2.C3.A4.B5.26.167.解.「S30W3S10,，qw1.S3o=13S10 S10=10由 ，S10+S30=140S30=130・•.q20+q10-12=0..1.q10=3,a11-q20 •l-S20=_1_q=S10(1+q10)=10X(1+3)=40.4 30a11—q=1301-q(2)证明 若q=1,则｛an｝的各项均为a,此时am+k,an+k,al+k显然成等差数列.若qW1,由Sm,Sn,S成等差数列可得Sm+Sl=2Sn,即aqm―1+aq~1=2aqn-1,整理得qm+ql=2qnq-1q-1q-1因此，am+k+al+k=aqk1(qm+ql)=2aqn+k1=2an+k.所以am+k,an+k,al+k成等差数列.习题课数列求和21.B2.C3.B4.A5.-66.一n7.解(1)设等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d.a1+2d=7, a1=3,因为a3=7,a5+a7=26,所以 解得2a1+10d=26, d=2.所以an=3+2(n-1)=2n+1,nn—1 2Sn=3n+—2-x2=n2+2n.所以，an=2n+1,Sn=n2+2n.(2)由⑴知an=2n+1,=23n1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,所以Sn=2(1+3+…+3n1)+[―1+1—1+…+(-1)n](ln2-ln3)+[—1+2—所以当n为偶数时，Sn=2X1z13+gln3=3n+^ln3-1;1—32 2~, 1 1 1 1所以bn=ar^=2n+12—1=4n7zr=所以1 1,11, ,1 1Tn=4(1-+…+n-帝)当n为奇数时，Sn=2x-1—3-(ln2-ln3)+(n^-n)ln3=3n-n^ln3-In2-1.1-3 2 2综上所述，Sn=1 1n4°n+1)—4n+1即数列｛bn｝的前n项和Tn=4.+1.3n+2ln3—1,n为偶数，nn—13—2In3—In2—1,n为奇数.(1)证明 数列｛an｝是等比数列，公比为2,首项为a〔+1=2.(2)解由(1)知｛an+1｝为等比数列，•-an+1=(a1+1)2n1=2n,an=2n—1.,,Sn=a〔+a2+…+an=⑵一1)+(22—1)+(23—1)+ +(2n-1)=(21+22+…+2n)-n21—2-n=2n+1-n-2.1-21,9.C10.A11.14n233 'n=1n>2章末检测1.B2.A3.B4.C5.C6.A7.A8.C9.B10.B11.D12.B13.1.①②④.(1)解设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d,依题意，得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以｛bn｝中的b3,b4,b5依次为7—d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=—13(舍去).故｛bn｝的第3项为5,公比为2.14.1515.2n12.解(1)由已知，当n>1时，an+1=[(an+1—an)+(an—an-1)+…+(a2—a1)]+a1=3(22n-1+22n—3+…+2)+2=22(n+1厂1.而a1=2,符合上式，所以数列｛an｝的通项公式为an=22n1.(2)由bn=nan=n22n1知Sn=12+223+325+…+n22n1, ①从而22Sn=123+225+327+-+n22n+1. ②①—②得(1-22)Sn=2+23+25+--+22n1-n22n+1,即Sn=1[(3n—1)22n+1+2].913.解 (1)an=23n1.(2)因为bn=an+(-1)“lnan=23n1+(—1)nln(23n1)=23n1+(-1)n[in2+(n-1)ln3]由b3=b122,即5=b122,解得b1='.一一 5 5一，所以｛bn｝是以:为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为 bn=：2n1=52■51—2n 5 5(2)证明数列｛bn｝的前n项和Sn=—；一丁=52n2--,即Sn+~=52n2.1—2 4 455所以S1+;=55Sn+1+45Sn+Z52n152n2=2.因此Sn+：是以为首项，2为公比的等比数歹U.18.(1)解 设等差数列｛log2(an—1)｝的公差为d.由a1=3,a3=9,得log2(9-1)=log2(3-1)+2d,则d=1.所以10g2(an—1)=1+(n—1)x1=n,即an=2n+1.、r一， 1 1 1⑵证明因为「；=2—=2- ii i所以F7+F7+..一=；ill, ,i=2^+22+及+…+即=.ii—*1.19.解(1)设数列｛an｝的公比为q.由a2=9a236得a3=9a4,所以q2=1.9由条件可知q>0,故q=1.31由2a1+3a2=1,得2a1+3a1q=1,所以a1=2.31故数列｛an｝的通项公式为an=-n.3(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an(1+2+ +n)=—nn+121

bn=-21-nn+1n工+工+…+b1 b2bncr1 1=-2[1-2+2所以数列£的前n项和为一N^.bn n+1(1)证明由已知an+1=2an+2n,/日। an+12an+2nan付bn+1=2n= 2n =2n1+1=bn+1.•bn+1—bn=1,又b1=a1=1.•｛bn｝是首项为1,公差为1的等差数列.(2)解由(1)知，bn=n,2^1=bn=n.「.an=n2n1/r