2019浦东数学一模

13上海市浦东新区2019届高三一模数学试卷2018.12一.填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)已知全集U二R，集合A=(—g,l]U[2,+8)，则/=抛物线y2=4x的焦点坐标为logx1不等式f2〉0的解为21已知复数z满足(1+i)•z=4i(i为虚数单位)，则z的模为5.若函数y=f(x)的图像恒过点(0,1)，贝9函数y=f-1(x)+3的图像一定经过定点已知数列｛a｝为等差数列，其前n项和为S.若S=36，则a+a+a=nn9348在△ABC中，角A、B、C对边是a、b、c.若a2=(2+73)•b2，b=c,则A=已知圆锥的体积为当兀，母线与底面所成角为-，则该圆锥的表面积为33已知二项式(\.匚+丄)n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37,则展开式中的第2詁x五项为10.已知函数f(x)=2xIx+aI—1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为a=2，211.已知数列｛a｝满足：na=1007(n一1)a+2018(n+1)a(neN*)，a=2，2nn+2n+1n1若lim=A，则A=nT8anxx>212.已知函数f(x)=<节+16，若对任意的x112.已知函数f(x)=<()|x—a|x<2xe(—8,2)，满足f(x)=f(x)，则实数a的取值范围为.212二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)1“a<”是“一兀二次方程x2—x+a=0有实数解”的()4充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件下列命题正确的是()A.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种A.72B.36C.64D.81/3uuuruuur16.已知点A（l,—2）,B（2,0）,P为曲线y=（；3-4x2上任意一点，则AP•AB的取值范围为（）A.[1,7]B.[—1,7]C.[1,3+D.[—1,3+2品]三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）已知直三棱柱ABC—ABC中，AB=AC=AA=1,ABAC=90。.1111已知函数f（x）=2U3sinxcosx一2sin2x.34（1）若角«的终边与单位圆交于点p（5,5），求f@）的值;兀兀（2）当xe[--，丁]时，求f（x）的单调递增区间和值域.6311)19.某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E（单位：exp）与游玩时间t（小时）满足关系式：E=12+20t+16a；3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累．积．经．验．值．不变）；超过5小时为不健康时间，累．积．经．验．值．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当a=1时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式E二f（t），并求出游玩6小时的累．积．经．验．值．；（2）该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”记作H（t）；若a>0，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.x2y220.已知双曲线r:—=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别是F、F，左、右两顶点a2b212分别是A、A，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段12CD相交于点P（如图）.若d=（2八厅）是r的一条渐近线的一个方向向量，试求厂的两渐近线的夹角o；(2)若IPAI=1，IPBI=5，IPCI=2，IPDI=4，试求双曲线r的方程;（3）在（1）的条件下，且IAAI=4，点C与双曲线的顶点不重合，直线CA和直线CA1212与直线l:x二1分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由21.已知平面直角坐标系xOy,在x轴的正半轴上，依次取点A,A,A丄，A(neN*),123n3并在第一象限内的抛物线y2二三x上依次取点B,B,B丄,B(neN*)，使得AABA2123nk-1kk(keN*)都为等边三角形，其中A0为坐标原点，设第n个三角形的边长为f(n).(1)求f(1)，f(2)，并猜想f(n)；(不要求证明)(2)令a=9f(n)-8，记t为数列｛a｝中落在区间(9m,92m)内的项的个数，设数列｛t｝nmnm的前m项和为S，试问是否存在实数九，使得2X<S对任意meN*恒成立？若存在，mm求出九的取值范围；若不存在，说明理由；J2⑶已知数列｛bn｝满足：匕七,J2⑶已知数列｛bn｝满足：匕七,-1—b2，数列｛c｝满足:nnbn+1c11，v'1+C2—1c=nn+1c兀求证：b<f()<c.n2n+1n参考答案12.解：当x1gb,+8)时,(1)若a>2，则f(x)12.解：当x1gb,+8)时,(1)若a>2，则f(x)=—x—4x2+161f11lx-af1、、2丿g|0,—I.当xI16丨当2g(-o),2)时,在(-8,2)上是单调递增函数，所以f(X2)Gff11a-2I°，f2丿.若满足题目要求，则(1]ff11a-210,I匸0,I丿I16J12J，所以a-21>=16a-2<4,a<6.又a>2，所以ag[2,6).(、f11X-al(2)若a<2，则f(x)=-f1112丿f1、12丿a-x,x<a,，f(x)在(-8,a)上是单调递增x-a,a<x<2.函数，此时f(x)G(0,l)；f(x)在[a,2)上是单调递减函数，此时f(x)gff11212丿-a一.填空题1.(1,2)2.(1,0)3.(4,+8)4.2迈5兀8.3兀5.(1,3)6.127.69.35X10.(-8，-再11.100912.[-2,6)2-2-aa>-2，又a<2，所以ag[-2,2).若满足题目要求，则丄＜16综上，ag[-2,6).选择题13.A14.D15.B16.A解答题17.解：(1)在直三棱柱ABC-ABC中，AA丄AB，1111AA丄AC,AB=AC=AA=1,ZBAC=90。11所以，AB=AC=BC=v22分11因为，BC//BC，所以，ZABC为异面直线AB与BC所成的角或补角4分111111在AABC中，因为，AB=AC=BC=空2，111兀所以，异面直线A]B与Be所成角为7分(2)设点B到平面ABC的距离为h，11由(1)得S=—XJ2X\,；2-sinZ=上-,AA1BC23211=—x1x1=—，229分SAAPB因为，11分所以，V=V，…………B1-A1BCC-A1B1B，_1S-h=1S-CA解得h=上33AA1BC3AA1B1B，解得，312分所以，点B1到平面A1BC的距离为亍14分或者用空间向量：y9分1（1）设异面直线AB与BC所成角为9,如图建系，则AB=6,0，—1）,则n丄BC,n丄Ab.又BC=(—1,1,0),AB=(1,0,-1),1所以，由In-BC=0I-u+v=0()\门，得n=口,1,1丿.n-AB=0Iu-w=0i1112分所以，点B1到平面A1BC的距离d=B1B—F--nn14分18.解：（1）T角a的终边与单位圆交于点P（5,扌）,43sina=5,cosa=52分f(a)=^3sinacosa-2sin2a=2忑x—x-一2x(4)2=24^-—32...4分55525(2)f(x)=2\：3sinxcosx-2sin2x=\；3sin2x+cos2x一16分=2sin(2x+6)-1..…兀兀…兀，兀，兀由2k兀一<2x+<2k兀+得，k兀一<x<k兀+—26236兀兀KK又xg［一，丁］，所以f(x)的单调递增区间是xg［一，7］；6366KKKK5K*.*xg［—,—］，.:一——<2x+<6361K一一<sin(2x+)<1，2666f(x)的值域是［—2,1］.8分10分12分14分19.解：(1)E二f(t)二12+20t+16,0<t<385,3<t<5335一50t,t>5写对一段得1分，共3分）t=6时，E(6)二356分）(2)0<t<3时，H(t)=t+空+20tH(t)>24nt+16a>4t8分）0<4\；'a<3沐a>4nag［i,-9-］41610分）4\［a>316a3+>43nag(2,+s)1612分）(2)设P(x,y)，则由条件知：PPxp-2(|PB\-|pA|)+|pA|二1(|PB\+|pA|)二3,yp-2(1PC|+|PD|)-|PC|-2(1PD|-|PC|)-1，即P(3,1).6分所以A(2,1),C(3,3),7分所以A(2,1),C(3,3),7分丄=1代入双曲线方程知：a2b29分b210分（3）因为|A]A?|_4，所以a_2，由（1）知，b_J3，所以r的方程为：——^3_1,令C（xe，ye），所以x2—e—4ca:y_y1(x+2),令x_1，所以M（1,斗）,eCA:y_—yo(x-2),2x一2

e令x_1，所以N(1,0x一2

e注)(y故以MN为直径的圆的方程为：（x-1）2+（y-ye3yQy丄x+2x2—4ee亠y-4_e,y即(x—1)2+y2+(e—x—2x+2ee若以MN为直径的圆恒经过定点(x,y)y_0于是＜x_1土32y_e51所以圆过x轴上两个定点（2,0）和（-,e）0,12分-壬)_0,x—2e14分16分21.解：(1)f(1)_1，f(2)_2(2分)猜想f(n)_n(2分)(2)a=9n-8n5分）88由9m<9n—8<92m9m-1+<n<92m-1+99n=9m-1+1,9m-1+2,,92m—16分）t=92m-1—9m-1m7分）S=(9-1)+(93-9)+(95-92)+•••+(9