第二课时等差数列的性质与应用 课件-高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第二课时等差数列的性质与应用学习目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质,并能运用这些性质简化运算.提升学生的数学抽象和逻辑推理素养.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.提升学生的数学建模和数学运算素养.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究[问题1]在等差数列{an}中,任意两项an与am有怎样的关系?能否用它们求公差?(其中n>m,m,n∈N*).知识探究1.等差数列通项公式的推广及几何意义(1)an=am+(n-m)d(m,n∈N*).[做一做1]在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=

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答案:0[问题2]若数列{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q为常数)是等差数列吗?提示:由(pan+1+qbn+1)-(pan+qbn)=p(an+1-an)+q(bn+1-bn)=pd+qd′可知,数列{pan+qbn}(p,q为常数)是公差为pd+qd′的等差数列.2.若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则有数列结论{c+an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an+an+k}公差为2d的等差数列(k为常数,k∈N*){pan+qbn}公差为pd+qd′的等差数列(p,q为常数)[思考1]等差数列去掉前面若干项后,剩下的项是否还构成等差数列?提示:是.改变了首项,公差不变.[思考2]等差数列中的奇数项、偶数项是否分别构成等差数列?提示:是.公差为原来的2倍.C解析:{a3n}为等差数列,公差为原来的3倍.故选C.[问题3]若数列{an}是等差数列,公差为d,m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am,an,ap,aq这四项之间有什么样的关系?提示:由等差数列的定义可知,am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d,ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,容易发现am+an=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因为m+n=p+q,故有am+an=ap+aq.3.等差数列“下标和”的性质在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则

.特别的,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则有

.4.等差数列的项的对称性在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….am+an=ap+aqam+an=2ap解析:(1)因为2a7=a8+5=a6+a8,因此,a6=5.故选A.[做一做3](1)(2021·四川成都高三月考)在等差数列{an}中,2a7=a8+5,则a6等于(

)A.5 B.10 C.55 D.60答案:(1)A解析:(2)由a2+a8=a4+a6,得a6=-1.(2)在等差数列{an}中,若a2+a8=-3,a4=-2,则a6=

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答案:(2)-1师生互动·合作探究[例1](1)在等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求a4+a8的值;探究点一等差数列的性质解:(2)法一设等差数列的公差为d,则a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=37,所以a2+a4+a6+a8=4a1+16d=2(2a1+8d)=74.法二由等差数列的性质可知,a3+a7=a4+a6=a2+a8,所以a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=2×37=74.(2)在等差数列{an}中,a3+a7=37,求a2+a4+a6+a8的值.方法总结等差数列运算的两条常用思路(1)基本方法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.(2)巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar.[针对训练](1)在等差数列{an}中,a1+a8+a15=72,则a2+a14的值为(

)A.6 B.12 C.24 D.48解析:(1)由等差数列的性质知,2a8=a1+a15=a2+a14,由a1+a8+a15=72,所以a8=24,即a2+a14=2a8=48.故选D.(2)《周髀算经》中有这样一个问题,从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则冬至的日影子长为(

)A.4 B.8.5 C.12.5 D.15.5探究点二等差数列的综合应用(1)判断数列{cn}是否为等差数列,并说明理由;(2)如果a1+a3+…+a25=130,a2+a4+…+a26=117,试求数列{an}的公差d及通项公式.解:(2)因为a1+a3+…+a25=130,a2+a4+…+a26=117,所以两式相减得13d=-13,所以d=-1.因为a1+a3+…+a25=130,所以13a13=130⇒a13=10⇒a1+12d=a1-12=10,所以a1=22,所以an=22+(n-1)×(-1)=23-n.方法总结解决等差数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.(3)利用函数或不等式的有关方法解决.[针对训练]已知{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(1)求数列{an}的通项公式;[针对训练]已知{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(2)若从数列{an}中,依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求出{bn}的通项公式.解:(2)a2=4,a4=8,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.当n>1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.所以{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列.所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.[例3]某公司经销一种数码产品,第1年获利200万元,从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?探究点三等差数列的实际应用解:由题意可知,设第1年获利为a1,第n年获利为an,则an-an-1=-20(n≥2,n∈N*),每年获利构成等差数列{an},且首项a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.若an<0,则该公司经销这一产品将亏损,由an=-20n+220<0,解得n>11,即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损.方法总结(1)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.[针对训练]某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费?解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1=11.2,表示4km处的车费,公差d=1.2,那么当出租车行至14km处时,n=11,此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).即需要支付车费23.2元.备用例题[例1]在两个等差数列2,5,8,…,197与2,7,12,…,197中,求它们的相同项构成数列的通项公式及相同项的个数.[例2]在通常情况下,从地面到10km高空,高度每增加1km,气温就下降某一个固定数值.如果1km高度的气温是8.5℃,5km高度的气温是-17.5℃,求2km,4km,8km高度的气温.解:用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列,则a1=8.5,a5=-17.5,由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5,解得d=-6.5,所以an=15-6.5n.所以a2=2,a4=-11,a8=-37,即2km,4km,8km高度的气温分别为2℃,-11℃,-37℃.学海拾贝等差数列的函数特性——单调性若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d=nd+(a1-d).当d=0时,an=a1,an是n的常数函数.当d≠0时,an是n的一次函数.此时点(n,an)落在直线y=dx+(a1-d)(d≠0)上,这些点的横坐标每增加1,函数值增加d.当d>0时,数列{an}是递增数列;当d<0时,数列{an}是递减数列.当d=0时,数列{an}是常数列.从函数角度研究等差数列可培养逻辑推理与数学运算的核心素养.典例探究:已知在数列{an}中,a1=32,a17=-32,通项公式是项数n的一次函数.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)由题意知,数列{an}为等差数列,可设an=an+b,则a1=a+b=32,①a17=17a+b=-32.②由①②得a=-4,b=36.故an=-4n+36(n∈N*).解:(2)令-4n+36=-88,得n=31.故-88是数列{an}中的项.典例探究:已知在数列{an}中,a1=32,a17=-32,通项公式是项数n的一次函数.(2)-88是不是数列{an}中的项?(3)该数列从第几项起开始为负?解:(3)令-4n+36<0,则n>9.故数列{an}从第10项起为负.当堂检测D1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,且2+a5=a6+a3,则a4等于(

)A.28 B.14 C.7 D.2解析:由等差数列{an}的性质可得a4+a5=a6+a3,又2+a5=a6+a3,则a4=2.故选D.2.(2022·浙江镇海中学高二期中)在等差数列{an}中,a1+a3+a