同济大学线性代数公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

第三章

矩阵初等变换与线性方程组10/10/1§1矩阵初等变换引例求解线性方程组10/10/2用消元法10/10/310/10/4令代入方程组，得解10/10/5消元法三类变换：（1）对调二个方程次序；（2）以非零数k乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程k倍．因为三类变换都是可逆，所以变换前方程组与变换后是同解．10/10/6定义1：下面三类变换称为矩阵初等行变换:一样可定义矩阵初等列变换

(把“r”换成“c”)．初等行变换和初等列变换统称初等变换。10/10/7三类初等变换都是可逆，而且其逆变换是同一类初等变换。10/10/8若矩阵

A经过有限次初等变换变成

B，则称

A与B等价，记作A

～

B.矩阵等价关系满足：

反身性

A

～

A；

对称性

若A

～

B，则B

～

A；

传递性

若A

～

B，B

～

C，则A

～

C。10/10/9(1)增广矩阵线性方程组10/10/1010/10/11行阶梯形10/10/12行最简形令10/10/13等价标准形10/10/14任一m×n矩阵A

都等价于一个以下矩阵

称为A等价标准形。10/10/15§2

初等矩阵定义2：由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵。三类初等变换与三类初等方阵相对应10/10/1610/10/1710/10/1810/10/19三类初等矩阵：其中10/10/20三类初等矩阵都是可逆，而且其逆矩阵、转置矩阵都是同一类初等矩阵。10/10/21定理1：设A为m×n矩阵，则

10/10/2210/10/23方阵A可逆充要条件是A能够表示为若干个初等矩阵乘积。定理2：证实：充分性.必要性.10/10/24方阵A可逆充要条件是A~E推论1：推论2：m×n阵A与B等价充要条件是存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得PAQ=B注意到可逆阵可表示为若干个初等阵乘积。10/10/25例.10/10/26即10/10/27解：例：10/10/2810/10/2910/10/30例：解：初等行变换10/10/3110/10/3210/10/33§3

矩阵秩定义3：在矩阵A中，任取k行、k列所得k2个元素不改变它们相对位置而得k阶行列式，称为A一个k阶子式。A一个2阶子式：10/10/34定义4：矩阵A最高阶非零子式阶数称为A秩，记作R(A)。例4.求矩阵A和B秩,其中10/10/352阶子式3阶子式|A|=03阶子式4阶子式都=0

∴R(A)=2∴

R(B)=310/10/36定理3若A~B,则R(A)=R(B).

实际上，若A经过一次初等变换变为B，A

k阶子式全等于零,则B

k阶子式也全等于零。10/10/37性质1.

若A全部r阶子式(假如有)全等于零，则阶数大于r全部子式全等于零。若A全部k阶子式全等于零,则R(A)<k2.若A有一个k阶子式非零,则R(A)≥

k3.若A为m×n矩阵,则0

≤

R(A)≤

min{m,n}4.10/10/385.R(PAQ)＝R(A),其中P,Q为可逆矩阵。9.

若则6.7.8.10/10/39设,则故10/10/40注意到，从一个矩阵中划去一行或一列，它秩至多降低一。将C1看成一个n阶矩阵划去了n-r1行,n-r2列，于是有10/10/41§3线性方程组解10/10/42化为行最简形矩阵不妨假定10/10/43(#)10/10/44(1)若，则(#)无解。(2)若则(#)有解，而且当时，有唯一解。时，有没有穷多解。10/10/45非齐次性线性方程组解条件

定理4：非齐次线性方程组有解充要当时，有唯一解；当时，有没有穷多解。条件是，而且10/10/46例10：求解线性方程组解：10/10/47可知方程组无解。10/10/48例11：求解线性方程组解：10/10/4910/10/50得令故10/10/5110/10/52齐次性线性方程组解条件

定理6：齐次线性方程组有非零解充要条件是10/10/53例9：求解齐次线性方程组解：10/10/5410/10/5510/10/56矩阵方程有解条