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文档简介

2023年高考数学模拟试卷请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上,则的取值范围是()A. B. C. D.2.已知定义在上函数的图象关于原点对称,且,若,则()A.0 B.1 C.673 D.6743.如图是函数在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将的图象上的所有的点()A.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变B.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变C.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变D.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变4.已知抛物线y2=4x的焦点为F,抛物线上任意一点P,且PQ⊥y轴交y轴于点Q,则的最小值为()A. B. C.l D.15.已知是双曲线的左右焦点,过的直线与双曲线的两支分别交于两点(A在右支,B在左支)若为等边三角形,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.6.单位正方体ABCD-,黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥,黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥,它们都遵循如下规则:所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(iN*).设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白两蚂蚁的距离是()A.1 B. C. D.07.已知双曲线的一个焦点为,点是的一条渐近线上关于原点对称的两点,以为直径的圆过且交的左支于两点,若,的面积为8,则的渐近线方程为()A. B.C. D.8.若为虚数单位,则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知(i为虚数单位,),则ab等于()A.2 B.-2 C. D.10.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷200个点,己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是()A. B. C.10 D.11.抛物线C:y2=2px的焦点F是双曲线C2:x2m-y21-m=1A.2+1 B.22+3 C.12.已知函数,则不等式的解集为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球,从中随机取出4个,则取出球的编号互不相同的概率为_______________.14.在平面直角坐标系中,点在单位圆上,设,且.若,则的值为________________.15.某校为了解学生学习的情况,采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中,抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为,那么高三被抽取的人数为_______.16.设数列的前n项和为,且,若,则______________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,.(1)当时,证明:;(2)设直线是函数在点处的切线,若直线也与相切,求正整数的值.18.(12分)设函数.(1)当时,解不等式;(2)若的解集为,,求证:.19.(12分)已知抛物线,直线与交于,两点,且.(1)求的值;(2)如图,过原点的直线与抛物线交于点,与直线交于点,过点作轴的垂线交抛物线于点,证明:直线过定点.20.(12分)第十四届全国冬季运动会召开期间,某校举行了“冰上运动知识竞赛”,为了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数,满分100分)进行统计,请根据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题:(1)求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率;(2)若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动,并指定2名负责人,求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.组号分组频数频率第1组150.15第2组350.35第3组b0.20第4组20第5组100.1合计1.0021.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若函数的定义域为,求实数的取值范围.22.(10分)设抛物线过点.(1)求抛物线C的方程;(2)F是抛物线C的焦点,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】

根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点;利用导数研究的单调性从而得到的图象;由直线恒过定点,通过数形结合的方式可确定;利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和,进而得到结果.【详解】关于直线对称的直线方程为:原题等价于与有且仅有四个不同的交点由可知,直线恒过点当时,在上单调递减;在上单调递增由此可得图象如下图所示:其中、为过点的曲线的两条切线,切点分别为由图象可知,当时,与有且仅有四个不同的交点设,,则,解得:设,,则,解得:,则本题正确选项:【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题;涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题;解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题,通过确定直线恒过的定点,采用数形结合的方式来进行求解.2.B【解析】

由题知为奇函数,且可得函数的周期为3,分别求出知函数在一个周期内的和是0,利用函数周期性对所求式子进行化简可得.【详解】因为为奇函数,故;因为,故,可知函数的周期为3;在中,令,故,故函数在一个周期内的函数值和为0,故.故选:B.【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性综合问题.其解题思路:函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.3.A【解析】

由函数的最大值求出,根据周期求出,由五点画法中的点坐标求出,进而求出的解析式,与对比结合坐标变换关系,即可求出结论.【详解】由图可知,,又,,又,,,为了得到这个函数的图象,只需将的图象上的所有向左平移个长度单位,得到的图象,再将的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)即可.故选:A【点睛】本题考查函数的图象求解析式,考查函数图象间的变换关系,属于中档题.4.A【解析】

设点,则点,,利用向量数量积的坐标运算可得,利用二次函数的性质可得最值.【详解】解:设点,则点,,,,当时,取最小值,最小值为.故选:A.【点睛】本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算,考查学生的计算能力,是基础题.5.D【解析】

根据双曲线的定义可得的边长为,然后在中应用余弦定理得的等式,从而求得离心率.【详解】由题意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故选:D.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是应用双曲线的定义把到两焦点距离用表示,然后用余弦定理建立关系式.6.B【解析】

根据规则,观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点,得到每爬1步回到起点,周期为1.计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点,即可计算出它们的距离.【详解】由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即过1段后又回到起点,可以看作以1为周期,由,白蚂蚁爬完2020段后到回到C点;同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点,所以它们此时的距离为.故选B.【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题,考查空间想象与推理能力,属于中等题.7.B【解析】

由双曲线的对称性可得即,又,从而可得的渐近线方程.【详解】设双曲线的另一个焦点为,由双曲线的对称性,四边形是矩形,所以,即,由,得:,所以,所以,所以,,所以,的渐近线方程为.故选B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,考查直线与圆的位置关系,考查数形结合思想与计算能力,属于中档题.8.B【解析】

由共轭复数的定义得到,通过三角函数值的正负,以及复数的几何意义即得解【详解】由题意得,因为,,所以在复平面内对应的点位于第二象限.故选:B【点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义,考查了学生概念理解,数形结合,数学运算的能力,属于基础题.9.A【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件列式求解.【详解】,,得,..故选:.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,是基础题.10.D【解析】

直接根据几何概型公式计算得到答案.【详解】根据几何概型:,故.故选:.【点睛】本题考查了根据几何概型求面积,意在考查学生的计算能力和应用能力.11.A【解析】

先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值,再利用双曲线的定义可求得a的值,即可求得离心率.【详解】由题意知,抛物线焦点F1,0,准线与x轴交点F'(-1,0),双曲线半焦距c=1,设点Q(-1,y)ΔFPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,即PF所以PQ⊥抛物线的准线,从而PF⊥x轴,所以P1,2∴2a=P即a=故双曲线的离心率为e=故选A【点睛】本题考查了圆锥曲线综合,分析题目,画出图像,熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键,属于中档题.12.D【解析】

先判断函数的奇偶性和单调性,得到,且,解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为.因为,所以为上的偶函数,因为函数都是在上单调递减.所以函数在上单调递减.因为,所以,且,解得.故选:D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断,考查函数的奇偶性和单调性的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】试题分析:从编号分别为1,1,3,4,5的5个红球和5个黑球,从中随机取出4个,有种不同的结果,由于是随机取出的,所以每个结果出现的可能性是相等的;设事件为“取出球的编号互不相同”,则事件包含了个基本事件,所以.考点:1.计数原理;1.古典概型.14.【解析】

根据三角函数定义表示出,由同角三角函数关系式结合求得,而,展开后即可由余弦差角公式求得的值.【详解】点在单位圆上,设,由三角函数定义可知,因为,则,所以由同角三角函数关系式可得,所以故答案为:.【点睛】本题考查了三角函数定义,同角三角函数关系式的应用,余弦差角公式的应用,属于中档题.15.【解析】由分层抽样的知识可得,即,所以高三被抽取的人数为,应填答案.16.9【解析】

用换中的n,得,作差可得,从而数列是等比数列,再由即可得到答案.【详解】由,得,两式相减,得,即;又,解得,所以数列为首项为-3、公比为3的等比数列,所以.故答案为:9.【点睛】本题考查已知与的关系求数列通项的问题,要注意n的范围,考查学生运算求解能力,是一道中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)令,求导,可知单调递增,且,,因而在上存在零点,在此取得最小值,再证最小值大于零即可.(2)根据题意得到在点处的切线的方程①,再设直线与相切于点,有,即,再求得在点处的切线直线的方程为②由①②可得,即,根据,转化为,,令,转化为要使得在上存在零点,则只需,求解.【详解】(1)证明:设,则,单调递增,且,,因而在上存在零点,且在上单调递减,在上单调递增,从而的最小值为.所以,即.(2),故,故切线的方程为①设直线与相切于点,注意到,从而切线斜率为,因此,而,从而直线的方程也为②由①②可知,故,由为正整数可知,,所以,,令,则,当时,为单调递增函数,且,从而在上无零点;当时,要使得在上存在零点,则只需,,因为为单调递增函数,,所以;因为为单调递增函数,且,因此;因为为整数,且,所以.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.18.(1);(2)见解析.【解析】

(1)当时,将所求不等式变形为,然后分、、三段解不等式,综合可得出原不等式的解集;(2)先由不等式的解集求得实数,可得出,将代数式变形为,将与相乘,展开后利用基本不等式可求得的最小值,进而可证得结论.【详解】(1)当时,不等式为,且.当时,由得,解得,此时;当时,由得,该不等式不成立,此时;当时,由得,解得,此时.综上所述,不等式的解集为;(2)由,得,即或,不等式的解集为,故,解得,,,,,当且仅当,时取等号,.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解,同时也考查了利用基本不等式证明不等式,考查推理能力与计算能力,属于中等题.19.(1);(2)见解析【解析】

(1)联立直线和抛物线,消去可得,求出,,再代入弦长公式计算即可.(2)由(1)可得,设,计算直线的方程为,代入求出,即可求出,再代入抛物线方程,求出,最后计算直线的斜率,求出直线的方程,化简可得到恒过的定点.【详解】(1)由,消去可得,设,,则,.,解得或(舍去),.(2)证明:由(1)可得,设,所以直线的方程为,当时,,则,代入抛物线方程,可得,,所以直线的斜率,直线的方程为,整理可得,故直线过定点.【点睛】本题第一问考查直线与抛物线相交的弦长问题,需熟记弦长公式.第二问考查直线方程和直线恒过定点问题,需有较强的计算能力,属于难题.20.(1),,,;(2)【解析】

(1)根据第1组的频数和频率求出,根据频数、频率、的关系分别求出,进而求出不低于70分的概率;(2)由(1)得,根据分层抽样原则,分别从抽出2人,2人,1人,并按照所在组对抽出的5人编号,列出所有2名负责人的抽取方法,得出第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的抽法数,由古典概型概率公式,即可求解.【详解】(1),,,由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为:/r/

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