对数函数及性质教学课件

2.2.2对数函数及其性质2.2.2对数函数及其性质问题

北京青年报曾报道：潮白河底挖出冰冻古树可能是山杨，专家经过检测可推断树的埋藏时间

．

你知道专家是根据什么推断数的埋藏时间的吗？问题北京青年报曾报道：潮白河底挖出冰冻古树可能是山杨问题

湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76．7％．试推算马王堆古墓的年代．问题湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原

人们经过长期实践，获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系：问题

考古学家一般通过提取附着在出土文物．古遗址上死亡生物体的残留物，利用（*）式估算出土文物或古遗址的年代．

由指数与对数的关系，此指数式写成对数式是：（*）

现在，你能推算出马王堆古墓的年代吗？（P=76．7％）（t=2193）人们经过长期实践，获得了生物体内碳14含量P概念碳14的含量P0.50.30.10.010.001生物死亡年数t

如果碳14的含量是下表中的数值，根据关系：试用计算器填写下表．

根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系，都有一个确定的年代t与它对应，所以，t是P的函数．57309953190353806957104概念碳14的含量P0.50.30.10.010.001生物死概念

一般地，把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是．

思考：（1）为什么规定？（2）为什么对数函数的定义域是？概念一般地，把函数概念例1：求下列函数的定义域：定义域：定义域：概念例1：求下列函数的定义域：定义域：定义域：图象画函数图像的步骤是：列表描点连线图象画函数图像的步骤是：列表描点连线图象画出函数与的图像．问：（1）这两个函数的图像有什么关系？

（2）可否利用的图象画出的图象？图象画出函数与图象011

（1）在同一坐标系中画出：

的图象.

（2）你能否猜测与分别与哪个图象相似.xy图象011（1）在同一坐标系中画出：性质

选取底数a（）的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．性质选取底数a（性质

问题：观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？有什么不同特征？性质问题：观察图象，你能发现它们有哪些共同特性质

问题：观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？有什么不同特征？性质问题：观察图象，你能发现它们有哪些共同特yxy=logaxy=logax图象性质a>10<a<1xy1oa11a1o

定义域:(0,+x=1时y=0；0<x<1时,y<0x>1时,y>00<x<1时,y>0x>1时,y<0在(0,+上是增函数

在(0,+上是减函数值域：R三.对数函数的性质:例2小结图象特征

（1）完全分布在在y轴右侧；

（2）向上下无限延伸并无限向y轴靠近，但永不相交；

（3）过定点（1，0）;

（4）在直线x=1两侧的两部分分别位于x轴的上方、下方；

（5）从左至右观察图象,a＞1时呈上升趋势，0＜

a＜1时呈下降趋势。yxy=logaxy=logax图象性质a>10<a<1xy例题例2：比较下列各题中两个值的大小：（1）；（2）；（3）．＞＜？左＜右左＞右例题例2：比较下列各题中两个值的大小：（1）例9:溶液酸碱度的测量.

溶液酸碱度是通过PH刻画的.PH的计算公式为PH=(1)根据对数函数的性质及上述PH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度这间的变化关系;(2)已知纯净水中氢离子的浓度为例9:溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过PH刻画的.PH的小结

通过本节的学习，你对对数函数有什么认识？你能概括一下吗？对数函数概念数形结合图象性质小结通过本节的学习，你对对数函数有什两直线的位置关系

两直线的位置关系

直线与直线的位置关系：（1）有斜率的两直线l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2

①l1∥l2k1=k2且b1≠b2；②l1⊥l2k1·k2=-1；③l1与l2相交k1≠k2④l1与l2重合k1=k2且b1=b2。

(2)一般式的直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0①l1∥l2A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0②l1⊥l2A1A2+B1B2=0③l1与l2相交A1B2-A2B1≠0④l1与l2重合A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0。

直线与直线的位置关系：

到角与夹角：两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不大于直角的角，简称夹角.到角的公式是，夹角公式是

，以上公式适用于两直线斜率都存在，且k1k2≠-1，若不存在，由数形结合法处理.到角与夹角：两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶点与直线的位置关系：设点P（x0，y0）,直线L：Ax+By+C=0上，则有（1）点在直线上：Ax0+By0+C=0；（2）点不在直线上，则有Ax0+By0+C≠0（3）点到直线的距离为：（4）.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离为：点与直线的位置关系：设点P（x0，y0）,直线L：Ax+By注意：1、两直线的位置关系判断时，要注意斜率不存在的情况2、注意“到角”与“夹角”的区分。3、在运用公式求平行直线间的距离

时，一定要把x、y前面的系数化成相等。

注意：2.若直线l1：mx+2y+6=0和直线l2:x+(m-1)y+m2-1=0平行但不重合，则m的值是______.1.已知点P(1，2)，直线l:2x+y-1=0，则

(1)过点P且与直线l平行的直线方程为__________，

(2)过点P且与直线l垂直的直线方程为___________；

(3)过点P且直线l夹角为45°的直线方程为________；(4)点P到直线L的距离为____，(5)直线L与直线4x+2y-3=0的距离为_________课前热身2x+y-4=0x-2y+3=03x+y-5=0或x+3y-7=0-12.若直线l1：mx+2y+6=0和直线l2:x+(m-1)能力·思维·方法1.已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0.试确定m、n的值，使①l1与l2相交于点P(m,-1)；②l1∥l2；③l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1.【解题回顾】若直线l1、l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，则l1∥l2的必要条件是A1B2-A2B1=0，而l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0.解题中为避免讨论，常依据上面结论去操作.类型之一两条直线位置关系的判定与运用能力·思维·方法1.已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。

解:若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别是A1（3，-4）和B1（3，-9），截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意。类型之二两条直线所成的角及交点B1A1AxPBOθyl1l2(3,1)例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。

若直线l的斜率存在，则设l的方程为y=k(x-3)+1，解方程组y=k（x-3）+1x+y+1=0得A（）解方程组y=k（x-3）+1x+y+6=0得B（，）由|AB|=5得解之，得k=0，即所求的直线方程为y=1综上可知，所求l的方程为x=3或y=1B1A1AxPBOθyl1l2(3,1)例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。

〖解二〗由题意，直线l1、l2之间的距离为d=且直线l被直线l1、l2所截的线段AB的长为5，设直线l与l1的夹角为θ，则

故θ=450

由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为1350，知直线l的倾斜角为00或900，又由直线l过点P（3，1），故所求l的方程为x=3或y=1。B1A1AxPBOθyl1l2(3,1)例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。

〖解三〗设直线l与l1、l2分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0。两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5①

又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25②联立①②，可得x1-x2=5或x1-x2=0y1-y2=0

y1-y2=5由上可知，直线l的倾斜角为00或900，又由直线l过点P（3，1），故所求l的方程为x=3或y=1。

〖思维点拨〗；要求直线方程只要有：点和斜率（可有倾斜角算，也可以先找两点）。

B1A1AxPBOθyl1l2(3,1)例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+例3、点关于直线的对称点是（）对称问题A（－6，8）B(－8，－6)C（6，8)D（－6，－8）解：设点关于直线的对称点为由轴对称概念的中点在对称轴上且与对称轴垂直，则有解得点评：对称问题可化为点关于点对称，点关于直线对称的问题D例3、点关于直线对称问题对数函数及性质教学课件对数函数及性质教学课件课前热身1、过点A(3，0)，且平行于直线的直线方程是_________2、两直线与的夹角是___________3、两平行直线和间的距离是__________课前热身1、过点A(3，0)，且平行于直线2、两直线3、过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ∈R）(除l2外)。1、与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为

Ax+By+m=02、与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为Bx-Ay+m=03、过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2【例题选讲】

例1、(优化设计P105例2)已知两条直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时,l1与l2（１）相交；（２）平行；（３）重合。〖思维点拨〗

先讨论ｘ、ｙ系数为０的情况。

【例题选讲】〖思维点拨〗先讨论ｘ、ｙ系数为０的情况。例2、(优化设计P105例1)等腰三角形一腰所在直线的方程是，底边所在直线的方程是，点（-2，0）在另一腰上，求该腰所在直线的方程。〖评述〗本题根据条件作出=的结论，而后利用到角公式，最后利用点斜式求出的方程。例2、(优化设计P105例1)等腰三角形一腰所在直线例3(优化设计P105例3)已知点P（2，-1），求：（1）

过P点与原点距离为2的直线的方程；（2）

过P点与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？（3）

是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。〖评述〗求直线方程时一定要注意斜率不存在的情况

例3(优化设计P105例3)已知点P（2，-1），求：〖评述例5、已知A（0，3），B（-1，0），

C（3，0）求D点的坐标，使四边形ABCD是等腰梯形。-1BOCAD2D1备用题：

〖思维点拨〗；利用等腰三角形性质“两底平行且两腰相等”，用斜率相等及两点间距离公式。-1OCAD2D1备用题：〖思维点拨〗；利用等腰三角形性质【课堂小结】1．要认清直线平行、垂直的充要条件，应特别注意x、y的系数中一个为零的情况的讨论。2．在运用一条直线到另一条直线的角的公式时要注意无斜率的情况及两直线垂直的情况。点到直线的距离公式是一个基本公式，它涉及绝对值、点在线上、最小值等内容。

【布置作业】优化设计P105、P106【课堂小结】【布置作业】2.2.2对数函数及其性质2.2.2对数函数及其性质问题

北京青年报曾报道：潮白河底挖出冰冻古树可能是山杨，专家经过检测可推断树的埋藏时间

．

你知道专家是根据什么推断数的埋藏时间的吗？问题北京青年报曾报道：潮白河底挖出冰冻古树可能是山杨问题

湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76．7％．试推算马王堆古墓的年代．问题湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原

人们经过长期实践，获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系：问题

考古学家一般通过提取附着在出土文物．古遗址上死亡生物体的残留物，利用（*）式估算出土文物或古遗址的年代．

由指数与对数的关系，此指数式写成对数式是：（*）

现在，你能推算出马王堆古墓的年代吗？（P=76．7％）（t=2193）人们经过长期实践，获得了生物体内碳14含量P概念碳14的含量P0.50.30.10.010.001生物死亡年数t

如果碳14的含量是下表中的数值，根据关系：试用计算器填写下表．

根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系，都有一个确定的年代t与它对应，所以，t是P的函数．57309953190353806957104概念碳14的含量P0.50.30.10.010.001生物死概念

一般地，把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是．

思考：（1）为什么规定？（2）为什么对数函数的定义域是？概念一般地，把函数概念例1：求下列函数的定义域：定义域：定义域：概念例1：求下列函数的定义域：定义域：定义域：图象画函数图像的步骤是：列表描点连线图象画函数图像的步骤是：列表描点连线图象画出函数与的图像．问：（1）这两个函数的图像有什么关系？

（2）可否利用的图象画出的图象？图象画出函数与图象011

（1）在同一坐标系中画出：

的图象.

（2）你能否猜测与分别与哪个图象相似.xy图象011（1）在同一坐标系中画出：性质

选取底数a（）的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．性质选取底数a（性质

问题：观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？有什么不同特征？性质问题：观察图象，你能发现它们有哪些共同特性质

问题：观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？有什么不同特征？性质问题：观察图象，你能发现它们有哪些共同特yxy=logaxy=logax图象性质a>10<a<1xy1oa11a1o

定义域:(0,+x=1时y=0；0<x<1时,y<0x>1时,y>00<x<1时,y>0x>1时,y<0在(0,+上是增函数

在(0,+上是减函数值域：R三.对数函数的性质:例2小结图象特征

（1）完全分布在在y轴右侧；

（2）向上下无限延伸并无限向y轴靠近，但永不相交；

（3）过定点（1，0）;

（4）在直线x=1两侧的两部分分别位于x轴的上方、下方；

（5）从左至右观察图象,a＞1时呈上升趋势，0＜

a＜1时呈下降趋势。yxy=logaxy=logax图象性质a>10<a<1xy例题例2：比较下列各题中两个值的大小：（1）；（2）；（3）．＞＜？左＜右左＞右例题例2：比较下列各题中两个值的大小：（1）例9:溶液酸碱度的测量.

溶液酸碱度是通过PH刻画的.PH的计算公式为PH=(1)根据对数函数的性质及上述PH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度这间的变化关系;(2)已知纯净水中氢离子的浓度为例9:溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过PH刻画的.PH的小结

通过本节的学习，你对对数函数有什么认识？你能概括一下吗？对数函数概念数形结合图象性质小结通过本节的学习，你对对数函数有什两直线的位置关系

两直线的位置关系

直线与直线的位置关系：（1）有斜率的两直线l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2

①l1∥l2k1=k2且b1≠b2；②l1⊥l2k1·k2=-1；③l1与l2相交k1≠k2④l1与l2重合k1=k2且b1=b2。

(2)一般式的直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0①l1∥l2A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0②l1⊥l2A1A2+B1B2=0③l1与l2相交A1B2-A2B1≠0④l1与l2重合A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0。

直线与直线的位置关系：

到角与夹角：两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不大于直角的角，简称夹角.到角的公式是，夹角公式是

，以上公式适用于两直线斜率都存在，且k1k2≠-1，若不存在，由数形结合法处理.到角与夹角：两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶点与直线的位置关系：设点P（x0，y0）,直线L：Ax+By+C=0上，则有（1）点在直线上：Ax0+By0+C=0；（2）点不在直线上，则有Ax0+By0+C≠0（3）点到直线的距离为：（4）.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离为：点与直线的位置关系：设点P（x0，y0）,直线L：Ax+By注意：1、两直线的位置关系判断时，要注意斜率不存在的情况2、注意“到角”与“夹角”的区分。3、在运用公式求平行直线间的距离

时，一定要把x、y前面的系数化成相等。

注意：2.若直线l1：mx+2y+6=0和直线l2:x+(m-1)y+m2-1=0平行但不重合，则m的值是______.1.已知点P(1，2)，直线l:2x+y-1=0，则

(1)过点P且与直线l平行的直线方程为__________，

(2)过点P且与直线l垂直的直线方程为___________；

(3)过点P且直线l夹角为45°的直线方程为________；(4)点P到直线L的距离为____，(5)直线L与直线4x+2y-3=0的距离为_________课前热身2x+y-4=0x-2y+3=03x+y-5=0或x+3y-7=0-12.若直线l1：mx+2y+6=0和直线l2:x+(m-1)能力·思维·方法1.已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0.试确定m、n的值，使①l1与l2相交于点P(m,-1)；②l1∥l2；③l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1.【解题回顾】若直线l1、l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，则l1∥l2的必要条件是A1B2-A2B1=0，而l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0.解题中为避免讨论，常依据上面结论去操作.类型之一两条直线位置关系的判定与运用能力·思维·方法1.已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。

解:若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别是A1（3，-4）和B1（3，-9），截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意。类型之二两条直线所成的角及交点B1A1AxPBOθyl1l2(3,1)例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。

若直线l的斜率存在，则设l的方程为y=k(x-3)+1，解方程组y=k（x-3）+1x+y+1=0得A（）解方程组y=k（x-3）+1x+y+6=0得B（，）由|AB|=5得解之，得k=0，即所求的直线方程为y=1综上可知，所求l的方程为x=3或y=1B1A1AxPBOθyl1l2(3,1)例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。

〖解二〗由题意，直线l1、l2之间的距离为d=且直线l被直线l1、l2所截的线段AB的长为5，设直线l与l1的夹角为θ，则

故θ=450

由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为1350，知直线l的倾斜角为00或900，又由直线l过点P（3，1），故所求l的方程为x=3或y=1。B1A1AxPBOθyl1l2(3,1)例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。

〖解三〗设直线l与l1、l2分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0。两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5①

又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25②联立①②，可得x1-x2=5或x1-x2=0y1-y2=0

y1-y2=5由上可知，直线l的倾斜角为00或900，又由直线l过点P（3，1），故所求l的方程为x=3或y=1。

〖思维点拨〗；要求直线方程只要有：点和斜率（可有倾斜角算，也可以先找两点）。

B1A1AxPBOθyl1l2(3,1)例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+例3、点关于直线的对称点是（）对称问题A（－6，8）B(－8，－6)C（6，8)D（－6，－8）解：设点关于直线