《线段的垂直平分线的性质和判定》课件(2套)

13．1轴对称13．1.2线段的垂直平分线的性质(2课时)第1课时线段的垂直平分线的性质与判定13．1轴对称13．1.2线段的垂直平分线的性质(2课时教学目标掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．教学目标掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂重点线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．难点灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．重点和难点重点重点和难点教学设计一、问题导入我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它．二、探究新知(一)线段的垂直平分线的性质教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？教学设计一、问题导入如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．性质的证明：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PA＝PB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：PA＝PB.证明：在△APC和△BPC中，∵PC＝PC(公共边)，∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，AC＝BC(已知)，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任(二)线段的垂直平分线的判定你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论．原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．(二)线段的垂直平分线的判定此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．学生给出了如下的四种证法．已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证：P点在AB的垂直平分线上．此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距证法一过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．证法一过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝证法三过P点作∠APB的平分线．∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P点在AB的垂直平分线上．证法三过P点作∠APB的平分线．证法四过P作线段AB的垂直平分线PC.∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分线上．四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂．”证法四过P作线段AB的垂直平分线PC.四种证法由学生表述后师生共析：如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.这说明一般情况下，“过P作AB的垂直平分线”是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的．师生共析：如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定．要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB外一点C.(如下图)求作：AB的垂线，使它经过点C.例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？请与同伴进行交流．生：从作法的第(2)(3)步可知CD＝CE，DF＝EF，∴C，F都在AB的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)．∴CF就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)．师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点．师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的三、课堂练习教材第62页练习第1，2题．四、课堂小结本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线．五、布置作业1．教材习题13.1第6题．三、课堂练习2．补充题：(1)下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA＝PB，PO⊥AB，则必有AO＝BO，为什么？(2)如左下图，△ABC中，AC＝16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm.求BC的长．(3)有A，B，C三个村庄(如右上图)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．2．补充题：(2)如左下图，△ABC中，AC＝16cm，D本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线．在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等．教学反思本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中知识点1：线段的垂直平分线的性质1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为()A．6B．5C．4D．3B2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是()A．8B．9C．10D．11C知识点1：线段的垂直平分线的性质B2．如图，△ABC中，AB3．(习题6变式)如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，若△ABD的周长是22cm，则AE的长为()A．2cm

B．3cm

C．4cm

D．5cmC4．如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点M恰好在AC上，且AC＝16cm，则点B到点M的距离为_______．8cm3．(习题6变式)如图，△ABC的周长为30cm，把△AB5．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长．解：∵BD＝CD，∴BC＝2BD＝6cm，又∵AD⊥BC，∴AB＝AC＝5cm.∵点C在AE的垂直平分线上，∴CE＝AC＝5cm，∴BE＝BC＋CE＝11cm5．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．知识点2：线段的垂直平分线的判定6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB7．在锐角△ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC()A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边中线的交点AA知识点2：线段的垂直平分线的判定AA8．如图，点D在三角形ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在____的垂直平分线上．AC9．如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由．解：连接BC，∵AB＝AC，DB＝DC，∴A，D都在线段BC的垂直平分线上，即AD垂直平分BC，∴BE＝CE8．如图，点D在三角形ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，10．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是()A．AB＝ADB．CA平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DECC11．如图，∠MON内有一点P，PP1，PP2分别被OM，ON垂直平分，P1P2与OM，ON分别交于点A，B.若P1P2＝10cm，则△PAB的周长为()A．6cm

B．8cm

C．10cm

D．12cmC10．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下12．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE＝3cm，则P点到直线AB的距离是____cm.312．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交B13．如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．解：∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，∴△ACD的周长＝AD＋AC＋CD＝AB＋AC＝14cm，又∵AB－AC＝2cm，可得AB＝8cm，AC＝6cm13．如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，AD为∠BAC的平分线．求证：点D在线段AB的垂直平分线上．证明：过D作DE⊥AB于E，由AAS可证△ACD≌△AED，∴AC＝AE.∵AB＝2AC＝BE＋AE，∴BE＝AE＝AC，∴DE是线段AB的垂直平分线，即点D在线段AB的垂直平分线上14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，A15．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M.求证：BN＝CM.证明：连接PB，PC，由角平分线的性质证PN＝PM，由线段垂直平分线的性质证PB＝PC，从而由HL证Rt△PNB≌Rt△PMC，∴BN＝CM15．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D，E，F分别在三边上，且BE＝CD，BD＝CF，G为EF的中点．求证：DG垂直平分EF.证明：连接DE，DF，由SAS证△BED≌△CDF，∴DE＝DF，又∵GE＝GF，GD＝GD，∴△GED≌△GFD(SSS)，∴∠EGD＝∠FGD＝90°，即DG⊥EF，∴DG垂直平分EF16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D，E，F分别在三边方法技能：1．利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等，应用时要注意：一是点必须在垂直平分线上，二是距离指的是点到线段两端点的距离．2．利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段相等关系．易错提示：对线段垂直平分线的判定理解不透而出错．方法技能：13.1.2线段的垂直平分线的性质13.1.2线段的垂直平分线的性质ABL活动一

在106国道某段的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？ABL活动一在106国道某段的同侧，有两个工AB线段的垂直平分线PA=PBP1P1A=P1B……命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。PMNC动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？由此你能得到什么规律？AB线段的垂直平分线PA=PBP1P1A=P1B……命题：线命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。线段的垂直平分线ABPlCPA=PB直线l⊥AB,垂足为C,

且AC=CB.已知：如图，点P在l上.求证：证明：∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90º.

在ΔPAC和ΔPBC中，

AC=BC∠PCA=∠PCBPC=PC∴ΔPAC≌ΔPBC.∴PA=PB.命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。线段性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。线段的垂直平分线ABPMNCPA=PB点P在线段AB的垂直平分线上线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。例1：如图，在△ABC中，已知AC=27，DE垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE．∵BE+EC+BC=50，∴AE+EC+BC=50，即AC+BC=50．又AC=27，∴BC=23．例1：如图，在△ABC中，已知AC=27，DE垂直平分AB，ABPC性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上?逆命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。ABPC性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的二、逆定理：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线一、性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等问任何图形都是由点组成的。因此我们可以把图形看成点的集合。由上述定理和逆定理，线段的垂直平分线可以看作符合什么条件的点组成的图形？二、逆定理：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂三、

线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合三、线段的垂直平分线的集合定义：解：是.∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵

MB=MC，∵点M在线段BC的垂直平分线上，∴直线AM是线段BC的垂直平分线．

例2

如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段

BC的垂直平分线吗？并说明理由.ABCDM解：是.∵AB=AC，例2如图，AB=AC，MB在106国道某段的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？在106国道某段的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人本节课你有哪些收获？1.这节课你学到了哪些知识？2.你觉得这些知识在具体的题目中如何运用？3.你还有哪些困惑？本节课你有哪些收获？1.这节课你学到了哪些知识？作业教材习题13.1第6、9题．作业教材习题13.1第6、9题．目标检测设计1．判断下列语句的对错（1）如图直线MN垂直平分线段AB，则AE=AF（）（2）如图线段MN被直线AB垂直平分，则ME=NE（）（3）如图PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线（）目标检测设计1．判断下列语句的对错目标检测设计2．在锐角△ABC内，一点P满足PA=PB=PC，则P是△ABC（）A、三条角平分线的交点

B、三条中线的交点

C、三条高的交点

D、三条边的垂直平分线的交点目标检测设计2．在锐角△ABC内，一点P满足PA=PB=PC目标检测设计3．已知，D是直角△ABC斜边AC的中点，ED垂直AC于点D，∠EAB:∠EAC=2:3，求∠ACB的度数。目标检测设计3．已知，D是直角△ABC斜边AC的中点，ED垂13．1轴对称13．1.2线段的垂直平分线的性质(2课时)第1课时线段的垂直平分线的性质与判定13．1轴对称13．1.2线段的垂直平分线的性质(2课时教学目标掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．教学目标掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂重点线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．难点灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．重点和难点重点重点和难点教学设计一、问题导入我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它．二、探究新知(一)线段的垂直平分线的性质教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？教学设计一、问题导入如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．性质的证明：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PA＝PB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：PA＝PB.证明：在△APC和△BPC中，∵PC＝PC(公共边)，∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，AC＝BC(已知)，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任(二)线段的垂直平分线的判定你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论．原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．(二)线段的垂直平分线的判定此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．学生给出了如下的四种证法．已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证：P点在AB的垂直平分线上．此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距证法一过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．证法一过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝证法三过P点作∠APB的平分线．∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P点在AB的垂直平分线上．证法三过P点作∠APB的平分线．证法四过P作线段AB的垂直平分线PC.∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分线上．四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂．”证法四过P作线段AB的垂直平分线PC.四种证法由学生表述后师生共析：如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.这说明一般情况下，“过P作AB的垂直平分线”是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的．师生共析：如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定．要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB外一点C.(如下图)求作：AB的垂线，使它经过点C.例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？请与同伴进行交流．生：从作法的第(2)(3)步可知CD＝CE，DF＝EF，∴C，F都在AB的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)．∴CF就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)．师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点．师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的三、课堂练习教材第62页练习第1，2题．四、课堂小结本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线．五、布置作业1．教材习题13.1第6题．三、课堂练习2．补充题：(1)下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA＝PB，PO⊥AB，则必有AO＝BO，为什么？(2)如左下图，△ABC中，AC＝16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm.求BC的长．(3)有A，B，C三个村庄(如右上图)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．2．补充题：(2)如左下图，△ABC中，AC＝16cm，D本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线．在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等．教学反思本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中知识点1：线段的垂直平分线的性质1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为()A．6B．5C．4D．3B2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是()A．8B．9C．10D．11C知识点1：线段的垂直平分线的性质B2．如图，△ABC中，AB3．(习题6变式)如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，若△ABD的周长是22cm，则AE的长为()A．2cm

B．3cm

C．4cm

D．5cmC4．如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点M恰好在AC上，且AC＝16cm，则点B到点M的距离为_______．8cm3．(习题6变式)如图，△ABC的周长为30cm，把△AB5．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长．解：∵BD＝CD，∴BC＝2BD＝6cm，又∵AD⊥BC，∴AB＝AC＝5cm.∵点C在AE的垂直平分线上，∴CE＝AC＝5cm，∴BE＝BC＋CE＝11cm5．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．知识点2：线段的垂直平分线的判定6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB7．在锐角△ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC()A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边中线的交点AA知识点2：线段的垂直平分线的判定AA8．如图，点D在三角形ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在____的垂直平分线上．AC9．如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由．解：连接BC，∵AB＝AC，DB＝DC，∴A，D都在线段BC的垂直平分线上，即AD垂直平分BC，∴BE＝CE8．如图，点D在三角形ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，10．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是()A．AB＝ADB．CA平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DECC11．如图，∠MON内有一点P，PP1，PP2分别被OM，ON垂直平分，P1P2与OM，ON分别交于点A，B.若P1P2＝10cm，则△PAB的周长为()A．6cm

B．8cm

C．10cm

D．12cmC10．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下12．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE＝3cm，则P点到直线AB的距离是____cm.312．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交B13．如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．解：∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，∴△ACD的周长＝AD＋AC＋CD＝AB＋AC＝14cm，又∵AB－AC＝2cm，可得AB＝8cm，AC＝6cm13．如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，AD为∠BAC的平分线．求证：点D在线段AB的垂直平分线上．证明：过D作DE⊥AB于E，由AAS可证△ACD≌△AED，∴AC＝AE.∵AB＝2AC＝BE＋AE，∴BE＝AE＝AC，∴DE是线段AB的垂直平分线，即点D在线段AB的垂直平分线上14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，A15．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M.求证：BN＝CM.证明：连接PB，PC，由角平分线的性质证PN＝PM，由线段垂直平分线的性质证PB＝PC，从而由HL证Rt△PNB≌Rt△PMC，∴BN＝CM15．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D，E，F分别在三边上，且BE＝CD，BD＝CF，G为EF的中点．求证：DG垂直平分EF.证明：连接DE，DF，由SAS证△BED≌△CDF，∴DE＝DF，又∵GE＝GF，GD＝GD，∴△GED≌△GFD(SSS)，∴∠EGD＝∠FGD＝90°，即DG⊥EF，∴DG垂直平分EF16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D，E，F分别在三边方法技能：1．利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等，应用时要注意：一是点必须在垂直平分线上，二是距离指的是点到线段两端点的距离．2．利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段相等关系．易错提示：对线段垂直平分线的判定理解不透而出错．方法技能：13.1.2线段的垂直平分线的性质13.1.2线段的垂直平分线的性质ABL活动一

在106国道某段的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？ABL活动一在106国道某段的同侧，有两个工AB线段的垂直平分线PA=PBP1P1A=P1B……命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。PMNC动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？由此你能得到什么规律？AB线段的垂直平分线PA=PBP1P1A=P1B……命题：线命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。线段的垂直平分线ABPlCPA=PB直线l⊥AB,垂足为C,

且AC=CB.已知：如图，点P在l上.求证：证明：∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90º.

在ΔPAC和ΔPBC中，

AC=BC∠PCA=∠PCBPC=PC∴ΔPAC≌ΔPBC.∴PA=PB.命题：线段垂直平分线上