2022年秋高中数学第五章一元函数的导数及其应用综合训练新人教A版选择性必修第二册

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14.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元,每年最大规模的种植量是10万斤,每种植1斤藕,成本增加1元.销售额y(单位:万元)与莲藕种植量x(单位:万斤)满足y=-16x3+ax2+x(a为常数),若种植3万斤,利润是232万元,则要使销售利润最大,每年需种植莲藕万斤15.(2021江苏连云港检测)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对任意x>0,有f(x)+xf'(x)>0成立且f(1)=2,则不等式f(x)<2x的解集为.16.已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1,当x∈[2,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是.

四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数f(x)=12ex(cosx+sinx)0≤x≤π2.(1)求函数f(x)的导数f'(x);(2)求函数f(x)的值域.18.设函数f(x)=alnx+12x+32x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值.19.(2021甘肃兰州一中高二月考)已知函数f(x)=x+alnx+1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为-a+1,求实数a的值.20.已知函数f(x)=lnx-4ax,g(x)=xf(x).(1)若a=18,求g(x)的单调区间(2)若a>0,求证:f(x)≤14a-21.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.22.设函数f(x)=lnx-1-(1)求证:当x>1时,f(x)>0;(2)若关于x的不等式lnxx<a(x-1)对任意x∈(1,+∞)恒成立,求实数a参考答案第五章综合训练1.D由题意f'(x)=1x+3x2,所以f'(1)=1+3=所以limΔx→0f(1+2Δx)-f(12.C因为f'(x)=2+3f'(0)·ex,所以f'(0)=2+3f'(0),所以f'(0)=-1,所以f'(x)=2-3ex,所以f'(1)=2-3e.故选C.3.C依题意令f'(x)=3x2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(-1)=-4,故点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4),故选C.4.A函数定义域为(0,+∞),且f'(x)=6x+1x-2=6x2-2x+1x,令6x2-2x+1=0,则Δ=-20<0,所以f'(x)>0恒成立,即5.B由f'(x)=1x-a=1-axx可知,当a≤0时函数f(x)在(1,2)当a>0时,函数f(x)的极值点为x=1a,若函数f(x)在区间(1,2)上不单调,必有1<1a<2,解得12<a<1.6.A由题意f'(x)=2x+2ax-3且f'(2)=0,解得a=12,则f'(x)=2x+x-3∴当1<x<2时,f'(x)<0;当x<1或x>2时,f'(x)>0.∴在区间13,1,(2,3]上,函数f(x)单调递增;在区间(1,2)上,函数f(x)单调递减.∵f(3)=2ln3-92>f(1)=-52,∴f(x)在13,3上的最大值是2ln3-92.故选7.A构造函数f(x)=xlnx,则f'(x)=lnx-1(lnx)2,当x>e时,f'(x)>0,则f又e<3<π,∴f(e)<f(3)<f(π),即elne<3ln3<πlnπ8.C因为f'(x)=1+1x,故f(x)=x+lnx+C,其中C为常数因f(1)=2,所以C=1,即f(x)=x+lnx+1.不等式f(x)≥(a+1)x+1有解可化为x+lnx+1≥(a+1)x+1,即lnxx≥a在(0,+∞)令g(x)=lnxx,则g'(x)=当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)在(0,e)上单调递增;当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)在(e,+∞)上单调递减.故g(x)max=g(e)=1e,所以0<a≤1e,故选9.ACD对于A,y=cos1x,则y'=-1x2sin1对于B,y=sinx2,则y'=2xcosx2,故正确;对于C,y=cos5x,则y'=-5sin5x,故错误;对于D,y=12xsin2x,则y'=12sin2x+xcos2x,故错误.故选10.CD当x∈(-∞,-2)时,函数f(x)单调递减;当x∈(-2,2)时,函数f(x)单调递增;当x∈(2,4)时,函数f(x)单调递减;当x∈(4,+∞)时,函数f(x)单调递增.因此当x=-2时,函数f(x)取极小值,当x=2时,函数f(x)取极大值;当x=4时,函数f(x)取极小值.结合选项易知,A,B错误,C,D正确,故选CD.11.BCf(x)=x3-3lnx-1的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x2-3x=3x(x令f'(x)=3x(x3-1)=0,得x=1当x变化时,f(x),f'(x)变化情况如下表:x(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增所以f(x)的极小值也是最小值,最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C正确,A,D错误;对于B,由f(1)=0及f'(1)=0,得y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B正确.故选BC.12.ACDA项,因为y'2=3x2,当x=0时,y'2=0,所以l:y1=0是曲线C:y2=x3在点P(0,0)处的切线.当x<0时,y2<0;当x>0时,y2>0.所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.B项,y'2=1x,当x=1时,y'2=1,在P(1,0)处的切线为l:y1=x-1令h(x)=x-1-lnx,则h'(x)=1-1x=x当x>1时,h'(x)>0;当0<x<1时,h'(x)<0,所以h(x)min=h(1)=0.故x-1≥lnx,即当x>0时,曲线C全部位于直线l的下侧(除切点外),结论错误.C项,y'2=cosx,当x=0时,y'2=1,在P(0,0)处的切线为l:y1=x,由正弦函数图象可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.D项,y'2=1cos2x,当x=0时,y'2=1,在P(0,0)处的切线为l:y1=x,由正切函数图象可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.13.-2-12f(x)的定义域为(0,+∞)f'(x)=ax+2bx+3=2因为函数f(x)的极值点为x1=1,x2=2,所以x1=1,x2=2是方程f'(x)=2bx2+3x+ax=0的两个根,即为方程2所以由根与系数的关系知-3214.8设销售利润为g(x),则g(x)=-16x3+ax2+x-2-x=-16x3+ax2-2(0<x≤因为g(3)=-16×33+a×32-2=232,所以则g(x)=-16x3+2x2-2,求导得g'(x)=-12x2+4x=-12x当x∈(0,8)时,g'(x)>0;当x∈(8,10)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,8)上单调递增,在(8,10)上单调递减,则当x=8时,g(x)取得最大值.所以要使销售利润最大,每年需种植莲藕8万斤.15.(0,1)令g(x)=xf(x)-2,x∈(0,+∞),g(1)=f(1)-2=0,∵g'(x)=f(x)+xf'(x)>0,∴g(x)=xf(x)-2在x∈(0,+∞)上单调递增,∴满足不等式g(x)<0=g(1)的解为0<x<1,即不等式f(x)<2x的解集为(0,1)16.-54,+∞当x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,即x3+3ax2+3x+1≥0,即x+3令g(x)=x+3x+1x2,则g'(令h(x)=x3-3x-2,则h'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),易知h'(x)≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,∴h(x)在x∈[2,+∞)内单调递增,∴h(x)≥h(2)=0,也就是x3-3x-2≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,∴g'(x)≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,g(x)在x∈[2,+∞)内单调递增,∴g(x)的最小值为g(2)=154-3a≤g(2)=154,解得a≥-517.解(1)因为f(x)=12ex(cosx+sinx)0≤所以f'(x)=12ex(cosx+sinx)+12ex(-sinx+cosx)=excos故函数f(x)的导数f'(x)=excosx.(2)因为0≤x≤π2,所以f'(x)=excosx≥函数f(x)在0,π所以f(x)min=f(0)=12e0(cos0+sin0)=12,f(x)max=f故函数f(x)的值域为1218.解(1)因为f(x)=alnx+12x+32x+1,故f'(由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-12+32=0,(2)由(1)知f(x)=-lnx+12x+32x+1(x>0),f'(x)=-1x−12x2+32=3x2-2x-12x2=(3x+1)(x-1)2x2,令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-13因x2=-13不在定义域内,舍去,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上单调递减;当x∈19.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+ax当a≥0时,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值;当a<0时,令f'(x)>0,解得x>-a,令f'(x)<0,解得0<x<-a,所以f(x)的单调递增区间为(-a,+∞),单调递减区间为(0,-a),此时f(x)有极小值f(-a)=-a+aln(-a)+1,无极大值.综上,当a≥0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间,无极值;当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-a,+∞),单调递减区间为(0,-a),极小值为f(-a)=-a+aln(-a)+1,无极大值.(2)f'(x)=1+ax=x+ax,x∈[1,e],由f'(x①若a≥-1,则x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上单调递增,∴f(x)min=f(1)=-a+1,即2=-a+1,则a=-1,符合条件;②若a≤-e,则x+a≤0,即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上单调递减,∴f(x)min=f(e)=-a+1,即e+a+1=-a+1,则a=-e2,不符合条件③若-e<a<-1,当1<x<-a时,f'(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上单调递减,当-a<x<e时,f'(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上单调递增,∴f(x)min=f(-a)=-a+1,即-a+aln(-a)+1=-a+1,则a=-1,不符合条件.综上所述,a=-1.20.(1)解由a=18,得g(x)=xlnx-12x2(则g'(x)=lnx-x+1.令h(x)=lnx-x+1,则h'(x)=1-故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,h(x)max=h(1)=0.从而当x>0时,g'(x)≤0恒成立,故g(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间.(2)证明f'(x)=1x-4a=1由a>0,令f'(x)=0,得x=14a,故f(x)在0,14a所以f(x)max=f14a=ln14只需证明ln14a-1≤14令t=14a>0,即证lnt-t+1≤0(*),由(1)易知(*)式成立,21.解(1)∵蓄水池的侧面的建造成本为200πrh元,底面的建造成本为160πr