2020年赤峰市高三数学上期中模拟试题(带答案)

77DD.-4）D.33<2D.-22020年赤峰市高三数学上期中模拟试题（带答案）一、选择题TOC\o"1-5"\h\z1.已知等比数列｛a｝的前n项和为S，且满足2S—2n+i+九，则九的值是（nnnA.4B.2C.-2x+3y<3,设x,y满足约束条件<x-y»1，则z=x+y的最大值为、y>0,A.0B.1C.2p（3-a）（a+6）（—6<a<3）的最大值为（）9A.9B.C.324.已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,现测得ZABC=120°,则A、C两地的距离为（）A.10kmB.kmC.10^5kmD.10*7kmx+2y>05.设2=x+y,其中实数兀、y满足｛x-y<0,若z的最大值为6,z的最小值为（）0<y<kA.0B.-1C.-2D.-36.中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15。的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60。和30°第一排和最后一排的距离为10©米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）/旗彳戢后-卅仝艺/第】排A度应为（米/秒）/旗彳戢后-卅仝艺/第】排A.B.痘23C.D.7.等比数列｛a｝中，化=,q=2，则。4与a8的等比中项是（n1848A.±4B.4A.±4B.4C.土4D.8．A．当xG(8．A．当xG(1,2)时(-3,+8)，不等式x2+mx+2>0恒成立，则m的取值范围是()B．(2迈,+8C.[-3,+8)D.-2^/2,+8)3x-y<6x—y+2>09.x，y满足约束条件[，若目标函数z二ax+by(a>0,b>0)的最大值为x>0y>02312,则—■—的最小值为()abc.fc.fD.5A.B.25610.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示VABC的面积，若则ZB=ccosB+bcosC=asinA,S=三(b2+a2—则ZB=4A.900B.600C.450D.30011.已知等比数列｛a｝的前n项和为s，a=1，且满足S,S,S1成等差数列，则a3nn1nn+2n+13等于()A.B.A.B.C.D.那么a+a2+^+°7=()12.如果等差数列那么a+a2+^+°7=()TOC\o"1-5"\h\zn345D.35s-3.其中meD.35s-3.其中meN*且m+1二、填空题13.设等差数列｛a｝的前n项和为s，s=-2，s=0nnm-1mm>2，则m二x+y-3<014.若直线y二2x上存在点(x,y)满足约束条件”-2y-3<°，则实数m的取值范围为x>m已知数列｛a｝是等差数列，TOC\o"1-5"\h\zn4710a+a+a+L+a+a+a=77，且a=13则k=456121314k某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为元．如图所示，在平面四边形ABCD中，AB二，BC二J3，AB丄AD，AC丄CD，AD=3AC，则AC二.18.在AABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知a,b,c成等比数列，且a2一a2一c2=ac-bc,cbsinB的值为.兀19.在厶ABC中，bc=2，Ac=77，B=3，则AB=；△ABC的面积是20.已知数列的通项an=+1+jn，则其前15项的和等于三、解答题21.已知等差数列｛a｝满足a+a+a=9，a+a+a=12，等比数列｛b｝公比n135246nq>1，且b+b=a，b=a242038求数列｛a｝、｛b｝的通项公式；nn若数列｛c｝，满足c=4n-b，且数列｛c｝的前n项和为B，求证：数列］的nnnnnBn3前n项和T<*.n222.如图，游客从某旅游景区的景点A处下上至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路130m/min，山路AC长为1260m经测量cosA=13,cosC=1235⑴求数列｛an｝,｛bn｝的通项公式；(2)设cn=abn，求数列｛cn｝的前n项和T”.24.在VABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且v'3acosC=Jb—f3c丿cosA(I)求角A的大小;(II)若a=2，求VABC面积的最大值.25.且a=3,S=24.14已知数列｛a｝的前n项和S=pn2+qn(p,qeR25.且a=3,S=24.14n求数列｛a｝的通项公式；n设b=2an，求数列｛b｝的前n项和T.nnn26.数列｛a｝26.数列｛a｝中,n当n>2时,其前n项和S满足S2nn=a-(Snn(1)求S的表达式；n⑵设b=匚，求数列｛b｝的前n项和T.n2n+1nn【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】利用S先求出a，然后计算出结果.nn【详解】4+九根据题意，当n=1时，2S]=2ai=4+九ai=—,故当n>2时，a=S一S=2n-1,nnn—1Q数列｛a｝是等比数列，n4+X则a1=1，故=1,解得九=一2,故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列前n项和S的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较n为基础.2．D解析：D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z=x+y经过A(3,0)时z取得最大值，故z二3+0二3，故选D.max的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围.3.B解析：B【解析】【分析】根据3-a+a+6=9是常数，可利用用均值不等式来求最大值.【详解】因为-6<a<3，所以3-a>0,a+6>0由均值不等式可得：(3—a)(a+6)<当且仅当3—a=a+6，即a=—3时，等号成立,故选B.【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.4.D解析：D解析】分析】直接利用余弦定理求出A,C两地的距离即可.【详解】因为A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km，现测得ZABC=120°,则A,C两地的距离为：AC2=AB2+CB2-2AB・BCcosZABC=102+202-(1)2x1Ox20x―歼=700.k2丿所以AC=10\；'7km.故选D.【点睛】本题考查余弦定理的实际应用,考查计算能力.5.D解析：D【解析】作出不等式对应的平面区域,由z=x+y,得y=-x+z,平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大,此时z最大为6.即x+y=6.经过点B时，直线y=-x+z的截距最小，此时z最小.x+y=6由{得A(3,3),x—y二0•・•直线y=k过A,.°.k=3.y二k=3由{x+2y二0'解得W此时z的最小值为z=-6+3=-3本题选择D选项.点睛：求二元一次函数z=ax+by(ab^0)的最值，将函数z=ax+by转化为直线的斜截式:bzzy二-一x+〒，通过求直线的截距〒的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边界取abb得.

6．B解析：B【解析】【分析】如解析中图形，可在AHAB中，利用正弦定理求出HB，然后在RtAHBO中求出直角边HO即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意/HAB=45。,ZHBA=105。，.・.ZAHB=30。，HB_20．HB_AB

sinZHAB_HB_20．O・•・OH_HBsinZHBO_O・•・OH_HBsinZHBO_20sin60。_10*3,v_4623米/秒）．故选B．【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．7．A解析：A【解析】【分析】利用等比数列｛a｝的性质可得a2=aa，即可得出.n648【详解】设a与a的等比中项是x.48由等比数列｛a｝的性质可得a2=aa，Ax_±a.n6486a与a的等比中项x_±a_±lx25_±4.4868故选A.【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题.8.D解析：D解析】由xG(1,2)由xG(1,2)时,(2)—

m>―x+—，Q当x=^2时,Lvx丿」(2)x+—取得最大值-2J2,m\x丿>-2^2,m的取值范围是一2©,+8），故选D.maxx2+mx+2>0恒成立得m>-fx+-］对任意x£（1,2）恒成立，即

Ix丿【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用>或<时等号能否同时成立）.9．A解析：A【解析】【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数z二ax+by（a>o,b>0）何时取最大23123值，进而找到a，b之间的关系式2a+3b—6,然后可得—+T~~Z（—+）（2a+3b），化ab6ab简变形用基本不等式即可求解。简变形用基本不等式即可求解。6a6b、25z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,所以4a+6b=12,即2a+3b6a6b、25所以2+1=6(2+1)(2a+3b)=6(13+铝+竺)>6(13+2ab6ab6ba6.ba6a6bTOC\o"1-5"\h\z――=—.6当且仅当］ba即a二b二-时，上式取“=”号。2a+3b=65所以当a二b二6时，2+3取最小值丰。5ab6故选A。【点睛】

利用基本不等式a+b>2\-ab可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。当a,b都取正值时，（1）若和a+b取定值，则积ab有最大值；（2）若积ab取定值时,则和a+b有最小值。10．D解析：d解析】分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA=1,即A=900,由余弦定理、三角形面积公式可求角C,从而得到B的值.【详解】由正弦定理及ccosB+bcosC=asinA,得sinCcosB+sinBcosC=sin2A,nsin（C+B）=sin2AnsinA=1，因为Oo<A<18Oo，所以A二9Oo；由余弦定理、三角形面积公式及S=由余弦定理、三角形面积公式及S=得—absinC=2■―-2abcosC,4整理得tanC=乜3，又Oo<C<9Oo，所以C=6Oo，故B=3Oo.故选D【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用考查计算能力和转化思想,属于中档题．11．C解析：C【解析】试题分析：由S，S2,S,成等差数列可得，S2―S=S,-S2，即TOC\o"1-5"\h\znn+2n+1n+2nn+1n+2a,+a2=-a2，也就是a=—；a，所以等比数列｛a｝的公比q=一；，从而n+1n+2n+2n+22n+1n211a=aq2=1x（—）2=，故选C.3124考点：1•等差数列的定义；2•等比数列的通项公式及其前n项和.12．C解析：C解析】试题分析：等差数列｛a｝中，a3+a4+q=12n3a4=12二a4=4,7（a+aa+a+L+a=17=—=7a=28127224考点：等差数列的前n项和二、填空题((—01].13．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项解析：5【解析】分析】设等差数列的S二An(n-m)，再由S=-2,S二3，列出关于m的方程组，从而nm—1m+1得到m.【详解】因为S=0，所以设S=An(n一m),mn—2—2S—3，m+1A(m—1)-(—1)=—2,A(m+1)-1二3故答案为：5.【点睛】本题考查等差数列前n项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.14．【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m的取值范围考点：线性规划解析：E]【解析】y=2x试题分析：由题意，由｛30，可求得交点坐标为(1，2)，要使直线y二2x上存在x+y—3=0x+y—3W0,点(x,y)满足约束条件｛x—2y—3<0,，如图所示，可得m<1,则实数m的取值范围x>m,15．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理解析：18【解析】a+a+a二17，观察下标发现4,7,10成等差数列，所以3a二a+a+a二17,TOC\o"1-5"\h\z471074710174a二同理11a=a+a+a+L+a+a+a=77,/.a=72d二,7394561213149322d二a—a=13—7=66十=9/.k=9+9=183k9316．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB两类产品的情况为下表所示:产品设备A类产品（件）Q50）B类产品（件）Q14O解析：2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产：天,乙种设备需要生产：天，该公司所需租赁费为-元，则z=200x+300y,甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示：1产口口设备A类产品（件）（＞50）B类产品（件）（＞140）租赁费（元）甲设备510200

乙设备620300£X+5y>乙设备620300£X+5y>10x+2y>14'x>0,y>0则满足的关系为{10x+20y>140即:{作出不等式表示的平面区域,sx>0,y>0作出不等式表示的平面区域,s6x+—y=10当z=200x+300y对应的直线过两直线｛5的交点（4,5）时，目标函数x+2y=14z=200x+300y取得最低为2300元.17．3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角解析：3【解析】分析：详解：设AC=x,AD=3x，在直角AACD中，得CDAD2-AC2=2迈x，所以sinZCAD=CD=空,*AD3在AABC中，由余弦定理cos在AABC中，由余弦定理cosABAC=AB2+AC2一BC22AB^ACx2一12p'2x'兀由于ABAC+ZCAD=-，所以cosABAC=sinACAD，即即U=空2^2x3整理得3x2-8x-3=0，解得x=3.点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】•・•成等比数列.••又•・•・••在中由余弦定理因.••由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题解析：空33【解析】【分析】利用a,b,c成等比数列得到c2+b2-a2二bc，再利用余弦定理可得A=60。，而根据正弦c1定理和a,b,c成等比数列有二，从而得到所求之值.bsinBsinA【详解】•a,b,c成等比数列，.：b2=ac.又•a2一c2=ac一bc，.:c2+b2一a2=bc.在AABC中，由余弦定理cosA=匚兰上1=，TOC\o"1-5"\h\z2bc2因Aw（0h）,・•・A=60。.csinCsinC由正弦定理得订一=————=，bsinBsinBsinBsin2B因为b2=ac，所以sin2B=sinAsinC，,,sinCsinC12*3故===^sin2BsinAsinCsinA3故答案为空.3【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.19．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式解析：；解析：；3爲

~T【解析】试题分析：由余弦定理得AC2=AB2+BC2—2AB-BCcos600，即117二AB2+4-2AB-2三，得AB2-2AB-3二0,/•AB=3或-1（舍）,S二1AB-BCsin600二1x3x2x叵二痘.2222考点：余弦定理，三角形面积公式.20．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还解析：3【解析】【分析】15项的和.【详解】将an=.n+1+；n通过分母有理化，化简得出vn+15项的和.【详解】<n+1-\n，1（n+1<n+1-\n，利用分母有理化得an二百市二倚设数列｛a｝的前n项的和为S，所以前15项的和为：nnS=a+a+L+a151215二迈-1+爲—迈+L+肩-肩+岳-\1—\'16—1二4—1—3即：S—3.15故答案为：3.【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前n项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.三、解答题21．（1）a—n，b—2n；（2）证明见解析.nn【解析】【分析】厂/Ia—3（1）设等差数列｛a）的公差为d，由等差中项的性质可得出］3.，可计算出a1和dna—414的值，利用等差数列的通项公式可求出a，根据题意得出b与q的方程组，结合条件n1q>1，求出化和q的值，利用等比数列的通项公式可求出bn；(2n+1—2)Gn+1—1)(2)利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出B二，可得出nb_―nb_―n=Bn【详解】(1)Qa1+a3+a5二9，由等差中项的性质得3a3二9，

设等差数列｛a｝的公差为d，二d=a―a=4―3=1,n43二a=a+(n—1)d=1+n—1=n.n1b+b=bq(1+q2)=201+q25241，两个等式相除得一—=恳，整理得b=bq2=8q2313(2乂2n—12n+1—1丿，然后利用裂项法可求出T，即可证明出T<3.n2二a3二3，同理可得a4二4,

a=a—2d=3—2x1=1,132q2—5q+2=0.Qq>1，解得q=2,b=2，因此，b=bqn-1=2x2n—1=2n:1n1(2)Qc=4n—b=4n—2n，QB=(41—21)+(42—22)+L+(4n—2n)()()4(1—4n)2(1—2n)1—2=M-1+42+L+4n丿一^2】+22+L+21—24n+1—3・2n+l+2(2n4n+1—3・2n+l+2，2n2nb/引/、/3\2n、3/2n2nb/引/、/3\2n、3//、…B=(2n+1—2)(2n+1—1)=(2n+1—2)(2n+1—1)=2(2n—1)(2n+1—1)n3(2n+1—1)—(2n—1)=2(2n—1)(23(122n—12n+1—1丿1]22—1丿122—11]23—1丿1]2n+1—1丿1]2n+1—1丿【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与分组求和法，考查计算能力，属于中等题.22．1)AB=1040m22．1)AB=1040m(2)35方⑶［125062543'14](单位：m/min)解析】分析】详解】(1)在AABC中,(1)在AABC中,因为cosA二1213cosC=-5所以sinA=—13sinC=4从而sinB=sinB=sinb-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=5312463X—+X—=-13513565ABACAB=^ACxsinC=1260x4=1040由正弦定理=，得sinB635(m).sinCsinB—65(2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100+50t)m，乙距离A处130tm，x曽x曽=200(37t2-70t+50),d2=(100+50t)2+(130t)2-2X130tX(100+50t)由于0<t<罟，即0<t<8,故当t=35min时，甲、乙两游客距离最短.BCAC⑶由正弦定理砧=砧m)BC=^CxsinA=x丄=m)TOC\o"1-5"\h\z得sinB631365乙从B出发时，甲已走了50x(2+8+1)=550(m)，还需走710m才能到达C.5007101250625设乙步行的速度为vm/min，由题意得—3<―<3，解得<v<v504314所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在「1250625__43'14_(单位：m/min)范围内.考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用.【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.23.(1)a=n,b=2n-1；(2)T=(n—1)・2n+1.nnn【解析】

试题分析：(1)设数列｛a｝的公差为d,(b｝的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式,nn可得d,q的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；(2)求得c二ab=n•2”-1，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简nnn整理即可得到所求的和.试题解析：(1)设数列｛an｝的公差为d，｛bn｝的公比为q，依题意得1依题意得[+十产2+』得d=1，心所以an=1+(n—1)x1=n，bn=1x2n-i=2n-i.⑵由(1)知cn=anbn=n・2n-1,则T=1・2o+2・21+3・22十...+n・2n—1，①n2Tn=2・2o+2・22+...+(n—1)・2n-1+n・2n，②①一②得：一Tn=1+21+22+...+2n-1—n・2n=—n・2n=(1—n)・2n—1,1-2所以Tn=(n—1)・2n+1.24.(I)-；(II)2+J3.6【解析】分析：(1)由正弦定理进行边角互化得＜3sinB=2sinBcosA.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA结合基本不等式进行求解.详解：(I)由正弦定理可得：、；'3sinAcosC=2sinBcosA-j3sinCcosA从而可得：J3sin(A+C)=2sinBcosA，即J^sinB=2sinBcosA又B又B为三角形内角，所以sinB丰0，-又A为三角形内角，所以A=石・(II)由余弦定理：a2(II)由余弦定理：a2=b2+c2一2bccosA得:4=b2+C2-吨'2bc-弘(2+爲),所以S=点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题.25.(I)a=2n/r/