2015考研强化班高数讲义

2010考研强化班高等数学讲义考研强化班高等数学讲义(一至三章)第一章函数、极限、连续数(甲) 内容要点ー、函数的概念.函数的定义 2,分段函数 3.反函数4.隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数.用极限表示的函数J=limfn(x),例/(x)=lim|X\\-xX(sintゝsinr-sinxsinx丿.用变上、下限积分表示的函数y=「ア。)カ 其中y。)连续,则生=/(x)J" dxy=ff(t)dt 其中g(x),め(x)可导，/(r)连续，则孚=ハジ2(初ジ；(幻ー，3(x)w;(x)dx五、函数的几种性质

.有界性:设函数y=/(x)在X内有定义,若存在正数M,使えeX都有|/(x)Km,则称/(x)在X上是有界的。.奇偶性:设区间X关于原点对称,若对xeX,都有/(―x)=-/(x),则称/(x)在X上是奇函数。0 ,当/7为奇函数2(/は)厶,当/1为偶函数若对xeX,都0 ,当/7为奇函数2(/は)厶,当/1为偶函数点对称;偶函数图像关于y轴对称。重要公式「f(x)dx=J-a.単调性:设/(x)在X上有定义,若对任意阳eX,x2eX,<x2都有/(x})<f(x2)［/(阳)>/(尤2)】则称/は)在X上是单调增加的［单调减少的］;若对任意xgX,x2eX,X］<々都有/(xj</(ム)"(ム)2/区)］,则称/(X)在X上是单调不减［单调不增］(注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加;把这里单调不减称为单调增加。)牡六,ハ1,r(x)>。,贝旷(无)单调增加若在(a,b)内, „ „/'(幻<0,则/(幻单调减少.周期性;设/(x)在X上有定义，如果存在常数アxO,使得任意xeX,x+TeX,都有/(x+T)=/(%),则称ノは)是周期函数,称T为/(x)的周期。由此可见,周期函数有无穷多个周期,一般我们把其中最小iE周期称为周期。例fは)=sinAx(A>〇常数)周期T=(乙)典型例题ー、定义域与值域例1设f(x)的定义域为［-6T,。］(Q>0)求/(X2-1)的定义域解:要求一。エズユ-14。,贝リ1ー。エX?V1+。,当。と1时,*.*1-a<0,/.x2<1+a,贝リW《5/1+〃当〇<Q<1时,1—a>0, y/\—~Q4凶く。1+。也即a/1—aVxVVF+。或—y/X+aVxV—y/l—a

3ーギ,x<—2例2求y=/(x)=,5-x,-2<x<2的值域,并求它的反函数。1—(X—2)",x>2解:x<-2,y>3+8=11,x=43-y,-2<x<2,3<y=5-x<7,x=5-y,x>2,y=1-(x-2)2<1,x=2+Jl-y,所以y=/(x)的值域为(-co,1)u[3,7]u(ll,+〇〇)2+yJ\-y,y<1反函数ズ=<5-y,3<y<7、曲-y,y>ll二、求复合函数有关表达式X例1设“幻=フ=マ，求，"(…/(切]=<(X)5+匸 〃重复合解:f2W解:f2W=f[f(x)]=若XVl+2x2ん+i(尤)ん。)=x/L+ザ=x

g"(x)y1}+kx2V\+kx2qi+伏ん+i(尤)根据数学归纳法可知,对正整数〃,fn(x)=-j-V1+HX2例2已知:己、)=xe-*,且，(1)=0,求『(x)解:令优=r,x=\nt,因此ア'(グ)=/«)=乎，rainr1 0x1/W-/(l)=fi-dt=-\n2ti=-\n2x•.•川)=0, /(x)=1ln2x三、有关四种性质例1设ド’(X)=f(x),则下列结论正确的是(A)若/(幻为奇函数,则ド(x)为偶函数(B)若/(x)为偶函数,则ド(x)为奇函数(C)若/(尤)为周期函数，则ド(x)为周期函数(D)若，は)为单调函数，则ド(x)为单调函数例2求/=J'x[x5+(ex-e-x)ln(x+y/x2+1)]dx解か(ス)="ーズ”是奇函数，・・・fx(-x)=e^x-ex=-fx(x)f2(x)=ln(x+Jx2+1)是奇函数,*/f2(-x)=ln(-x4-\lx2+1)=In /ヽX+y1X~+1=Ini-ln(x+イデ+1)=-f2(x)因此ス("ーダ")1。(。+厶2+D是奇函数于是z=fx6dx4-0=2fx6dx=—TOC\o"1-5"\h\zj-i Jo7例3设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数,且例(x)g(x)-)(x)g'(x)<0,则当a<x<b时,下列结论成立的是 [](A)，(x)g(b)>f(b)g(x) (B)/(x)g(a)>/(a)g(x)(C)/(x)g(x)>/S)g(b) (D)/(x)g(x)>/(a)g(a)思考题:两个周期函数之和是否为周期函数Y X例1./(x)=sin—4-cos—例2./(x)=sin7TX4-sin2x四、函数方程例1.设/(X)在〔0,+〇〇)上可导，/(0)=0,反函数为g(尤)，且「ス⑺ヵ=ドグ，求f(x)〇解:两边对x求导得g"(x)]，'(x)=2xe*+x2e”,于是ザ'(x)=x(2+x)e*,故/'(x)=(x+2)げ,/(x)=(x+l)e，+C,由/(0)=0,得。=一1,则〃x)=(x+l)e，-1。例2设ル）满足3寸（めー轲宿x）ハ,求ル）解:令g（x）=sinf（x）,则g（x）一;g（；x）=x,1,1、1/1、IFg(FX)一§7g(，?x)=ク2m-1)x，各式相加,得g(x)-('・x)=xU+[+…+，ゴv|g(x)|<l,lirn^g(^x)=OTOC\o"1-5"\h\zrl1 1n1 9hm[l+—+・・・+——-1= =-…i9 9"t .181—

9因此g(x)=—x,于是89 - 9 ム/(%)=arcsin—x+2え乃或(2k+1)乃一。セsin—x(k为整数)思考题设わ〉。均为常数,求方程sin(x+/?)ln[(x+b)+&x+b)2+1]-sin(x+a)ln[(x+a)+^/(x-l-a)^+1]=0的ー个解。§1.2极限（甲）内容要点ー、极限的概念与基本性质.极限的概念(1)数列的极限limx“=An—>oo(2)函数的极限lim/(x)=A；Jimf(x)=A；lim/(x)=Alimf(x)=A；limf(x)=A；limf(x)=A.极限的基本性质定理1 (极限的唯一性)设lim/(x)=A,limf(x)=B,贝リA=B定理2(极限的不等式性质)设lim〃x)=A,limg(x)=B若x变化一定以后,总有/(无)Ngは),则AN8反之,A>B,则x变化一定以后,有人x)>g(x)(注:当g(x)三〇,8=0情形也称为极限的保号性)定理3 (极限的局部有界性)设lim”x)=A则当无变化一定以后,/(x)是有界的。定理4设lim/(x)=A,limg(x)=B则(1)lim[/(x)+g(x)]=A+Blim[/(x)-g(x)]=A-Blim[/(x)•g(x)]=A-Blim^^=-(BhO)g(x)Blim"(x)『")=Ab(A>0)二、无穷小量.无穷小量定义:若lim/(x)=0,则称/(x)为无穷小(注:无穷小与x的变化过程有关，lim丄=0,当x->〇〇时丄为无穷小，而xfX。或其它时，丄不是无穷小)XTSX X X.无穷大量定义：任给M>0,当x变化一定以后,总有|/(x)|>M,则称/(x)为无穷大,记以lim/(X)=〇〇〇

.无穷小量与无穷大量的关系:在x的同一个变化过程中,若/(幻为无穷大量,则丄为无穷小量,“X)若/(x)为无穷小量，且/(x)xO，则ー丄ー为无穷大量。/(x).无穷小量与极限的关系:lim/(尤)=A<=>f(x)=A+a(x),其中lima(x)=0.两个无穷小量的比较设lim/(x)=O,limg(x)=0,且lim=Ig(x)1=0,称/(x)是比g(x)高阶的无穷小量，记以/(x)=o[g(x)]称g(x)是比/(无)低阶的无穷小量，ナ〇,称/(x)与g(x)是同阶无穷小量。1=1,称/(x)与g(x)是等阶无穷小量，记以，(x)〜g(x).常见的等价无穷小量,当xf0时.1。sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,1—cosx~—x,e'—I-x,2ln(l+x)~x,(l+x)“-l〜ax。.无穷小量的重要性质有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。三、求极限的方法1.2.3.利用极1.2.3.准则1：单调有界数列极限一定存在(1)若X"M4x"(〃为正整数)又x“>m(〃为正整数)，则limx“=A存在，且ANmrt—⑵若x〃+|Nx“(〃为正整数)又X,, (〃为正整数)，则limx“=A存在，且ASM准则2：夹逼定理设g(x)W/(x)W/i(x)。若!img(x)=A,limA(x)=A,则lim/(x)=A两个重要公式ハー,sinx公式1：hm =1XTOx公式2：lim(l+-)"=e；lim(l+-)u=e；lim(l+v).用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换.用泰勒公式(比用等价无穷小量更深刻)x X当x->0时,靖=l+x+—+・・-+—+o(x")2! nlx2 r3 ,ex-1 -+o(x)例:lim ノ^=lim——— 3!"6.x3x5.ハ“

sinx=x +—+•••(-1)3!5!x2n+\

(2/2+1)!+o(x2n+l)cosx=l-—+- +(-1)"2!4!(2〃)!+。(バ")ln(l+x)=x——+— (―1),,+| \・〇(xn)2 3 nv3 v5 工2〃+】arctanx=x F +(-l)w \-o(x2n+,)3 5 2n+lハ 、a1a(a-l)(1+X)=1+CtXd 2!2 a(a—1)…[a—(〃ー1)]nnx+•••+- -x+o(x)n\6.洛必达法则第一层次,直接用洛必达法则法则1：(°型)设(1)lim/(x)=0,limg(x)=O(2)x变化过程中,f'(x),g'(x)皆存在(3)limヽ(*)=A(或〇〇)

g'(x)则lim/G2=A(或〇〇)

g(x)(注:如果limエ史不存在且不是无穷大量情形,则不能得出!im/単不存在且不是无穷S(幻 g(x)大量情形)法则2：(—型)设(1)lim/(x)=oo,limg(x)=ooX变化过程中,/'(x),g'(x)皆存在lim"め=A(或〇〇)g'(x)则lim/^=A(或〇〇)

g(x)第二层次,间接用洛必达法则"0•0〇”型和"8-8”型例limxInx和lim( )…〇・ …〇xex第三层次:间接再间接用洛必达法则"ピ"型、"0〇"型、"〇〇。"型lim[/(x)lgW=limグ"*：&(か"").利用导数定义求极限基本公式:limハニ+人「ー/(/)=/(%)[如果存在].利用定积分定义求极限基本公式lim丄ナハエ)=['f(x)dx【如果存在]力n771nノ°.其它综合方法.求极限的反问题有关方法例：已知lim~ター=3,求。和b上旬sin(x-1)(乙)典型例题ー、有关无穷小量ギ+ゼ+1例1.lim; :~~~(sinx+cosx)=XT*302*+X例2.设当スf0时,(1一cosx)ln(l+x2)是比xsinx"高阶的无穷小量,而えsinx"又是比(げ2-1)高阶的无穷小量,则〃等于()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、通过各种基本技巧化简后直接求出极限例1设。用エ〇,2。0,求lim-'一ぜ，•••。ぜ+。0-クd〃+2ーピ日+…ムス+%解.Hm%ノ+4加バ +…4]•丫+4()^00hnxn+6〃_1ス〃t+・・・+ムx+%xm-n[am+am,x-'+---+a.x'~m+&尸]

bn+bn_xxAH 1•仇x+%厂"0,b.当〃7V〃时,当〃?二〃时〇〇,当初>〃时例2设〃エ〇,レI<1,求lim(a+ar+…+aア〃T)1_rn解:lim(a+ar Far解:lim(a+ar Far“f°01-r 1-r特例（1）求lim——”一>82解:例2解:例2中取a=—3可知原式=―支テ(2)lim(2)lim+…(2)"2~32解:分子、分母用3"除之,3-(-r原式=lim———=3〃+1（注:主要用当吋<1时,limr"=0）例4设ノ是正整数,求lim>〃ー*k(k+l)解:ソ——-111k(k+l)Ikk+ln+lk(k+1)l\_2n+lTOC\o"1-5"\h\z因此原式=—(14 1 1--)I2I特例:(1)lim> =1Z8金乂女+i)(2)lim> =-(1+-)=- (/=2)…伏+2)2 2 4用两个重要公式解:XX X求limcos—cos cos——2n当ズ=0,原式=1当xwO时,原式=lim2"sin二

2"cos—cos 解:XX X求limcos—cos cos——2n当ズ=0,原式=1当xwO时,原式=lim2"sin二

2"cos—cos cos—2 42"sin—T2nT~-lim——COS—COS COS——r2 4 2”t2"sin上

2”.X•sm——-

2n~],・sinxrsinx=lim =lim •X-X2sin2n求lim(一)“

XT8X+12ハ.x

sinrsinx解ー:lim()A=lim(x-l)/x

(x+l)/x=lim(1ー丄ジ(1+ルeX解二:x—1lim(—)xXT8X+1=lim1+(-2争ぎ2=e~2COSX Ilim(cosx)81r=lim(l-sin2x)x^O x^Oュイバx=lirn[llim(cosx)81r=lim(l-sin2x)x^O x^O四、用夹逼定理求极限例1.求limに」・己解:令x=一,一,—•n2462n-l2/22/2—12/?2/z则〇（ム<yn,2/2+112n+l由夹逼定理可知:limx；=0,于是原极限为〇例2求limX—^—〃T8狙〃ノ+n+k行1+2+…+/2ぐ^k1+2+…+/2解:ラ <X- <—— /224-/24-/2 啓/2~+/2+攵 /2-+/2+1,,.l+2+,,.l+2+・・・+/2而lim 〃T8 /2-4-2/2=lim丄〃(〃+1)./2(/24-2) 2「1+2「1+2+…+/2lim—— =lim-4-/24-11 , ハ—n(/24-1)]n24-/24-1 2山夹逼定理可知lim山夹逼定理可知limA=lガ+〃+攵例3求lim解:・・1|sint\dt=£Tsintdt=2解:设〃万<x<(〃+1)乃,则2/2=/卜int\lt<Jjsint\dt<匸!sint\dt=2(/24-1)于是,2n(/24-l)7V-ルsinイカ,〇v2(〃+1)

nTtVlim—2 1.2(/24-1) 2=—,lim =—nT0°(/2+l)17T〃t0°n7T71由夹逼定理可知,lim-flsindJr=—xJoI1冗五、用定积分定义求数列的极限例1.求limf——-

"廿k=\分析:如果还想用夹逼定理中的方法来考虑n2<±n<n2n2+n2~ttn2+k2-n2+12〃2 1..n2而hm- =—,lim-=1+n2«->««-+12由此可见,无法再用夹逼定理,因此我们改用定积分定义来考虑解:limV- -=lim—V 18y〃.+k 18〃芻]+(ち2ridxridxーL1+x714714=arctanx0nSin求lim1nSin求lim1—卜

1J〃+—k例2kTT1ぐ,セ万ぐsin k乃解:・.・ ヽsin—<y 7-<->sin—〃+員川nk=] 1n皿nfin 而lim丄七sin包=fsinバム=2..1ぐ.んだ「/〃、/e•kiヽ2lim /sin——=lim()(—>sin——)=一ハメ0〃+1念n〃-〃+1 〃セnn.k兀〃sin——2由夹逼定理可知,lirnV 9=—"T"七 ,1 71I〃+一六、用洛必达法则求极限.ユ型和——型0〇〇

-sin例1.求lim丄——f”->8 . 31sin一n解:离散型不能直接用洛必达法则,故考虑[.x-sinx^/ヘエ内,小31・スーsinxhm —等价无穷小代换hm——--•iosinx 一°x

..1—cosx..sinx1=lim =lim =一3x—06x6:,原式二丄61e小例2.求lim—-4 1"0" （ゴ・eア（不好办了,分母x的次解:若直接用ヱ型洛必达法则1,则得lim工_—=lim—0 K10x9（不好办了,分母x的次数反而增加）为了避免分子求导数的复杂性,我们先用变量替换,令う=X1于是lim， =lim二・二lim一（ 型）xtOス川I+00广うtf曲ゼ qq5パ 5,=lim—=•<•=lim—=0r—>+aoピ ,t+oo/例3设函数f（x）连续,/（0）#0,求lim- ー。xJ；/（xT）df解:原式=lim解:原式=lim（分母作变量替换スーf=〃=lim\f(t)dt=lim\f(t)dt+xf(x)-xf(x)-- (用洛必达法则,分子、£7(»)jw+vw分母各求导数）（用积分中值定理）lim(ず・►0)lim(ず・►0)ザゼ）ガ（4）+ガ（尤）（自在〇和x之间）/(〇)J

/(0)+/(0)-2

解:ガ原式=lim解:ガ原式=lim—一sirrxcosx2•2

xsinx2 1•2cx——sin2xr4=hm XT。ズ4.2x—sin2えcos2ス=lim い。 4x314/x——sin4%=lim ー。2バl-cos4x=lim ——106尸=lim=limx-»04sin4x12x例2设a〉〇,b>0常数。求limx(レーい)丄［今I凉一bxくーつa'-b'"0"解:原式=limJ』 』limセ」•(ン型)X用洛必达法则=Ina-b1Inb)1o+=Ina—\nb=ln-b3.“ピ”型,“〇〇”型和“0co„型这类都是limげ(x)ド")形式可化为而limg(x)皿，(x)］都是“。•〇〇”型,按2的情形处理例1求limx血リ解:令y=x'"x,Iny=sin2xlnxlimIny=limsin2xlnx=O

:.limy=e°=1x->0+例2设a〉〇,b>0常数,求lim（栃+栃）”\_丄ax+か解:先考虑lim（ド它是“ド”型9丄丄ax-\-bx - -令y=( 尸,Iny=x[ln(ax+/?x)-ln2]丄丄 ス>[“〇”ン型）0... ..ln(a，+か)-ln2、ス’「“〇”ン型）0hmIny=lim ==hm a'\na-^-b1\nh1z,,ハIr-r=lim =—(Ina4-In/?)=In7ab〃'+が2丄丄dX+/?” / 因此,lim( y=ylah12ヽ 2ギ日爪+栃ゝ〃 rr于是,lim( )=Nab28 2七、求分段函数的极限丄例求lim（るく+孙）1。士1x11+ダ丄/2+e*sinxx一1,解:hm( 屋+ )=2-1=1XT。ー- (-X)l+ex4 3..,2ex+exsinズ、ハ,，hm(：+)=0+1=1IO---IXex+1丄「/2+e*sinx、1..lim( r+ )=1ハ。ク!xl\+exハ、用导数定义求极限例1设f\x0)=2,求lim"キ+3パ)7aL29- Ax解:原式=lim"(%+3弱ー/(がー"は。ー2Am)]んto Axai./(x0+3Ax)-/(x0) /(x0-2Ax)-/(x0)=Jlim rzlim a—o 3Ax んー。(-2Ax)=3/(x°)+2八x°)=5r(Xo)=lO例2设曲线y=/(x)与y=sinx在原点相切,求limザ(一)解:由题设可知/(0)=0,ハ0)=(SinX)'レ0=12 /(-)-/(〇)于是limガ(一)=lim2•—よ =2/70)=2Zハ 0n九、递推数列的极限例1设〇<X]<3,xn+1=Jxn(3-xn),证明〃〃x“存在,并求其值。解：,/x,>0,3-X|>0,/.0<x2= (3-X,)<X|+(3-X|)=-(几何平均值〈算术平均值)用数学归纳法可知〃>1时，〇<x“くヨ,二｛x“｝有界。2又当〃>1时，xn+l-x„=ylxn(3-xn)-Xn=爲"(杷"一区)向3_2x“)

=/- 7=^0。ーX.+:.xB+1>xn,则｛x.｝单调增加。根据准则1, limx”=/存在把X用=Jム(3ーム)两边取极限，得，=，(3-/)♦ ■ 3 3I2=3/-Z2,1=0(舍去)得，ニー,工limx„=-2 …M2思考题设/=2,ム=24 , , Xn=24 ,王ス求limx”十、求极限的反问题例1设lim*+プ+”=3,求a和bIsin(f-1)解:由题设可知lim(x2+ax+b)=0,,l+a+b=0,再由洛必达法则得「x2 +b..2x+a2+。-TOC\o"1-5"\h\zlim =lim = =3スー】sin(x~-1)xf2xcos(x-1) 2a=4,/?=-5例2设，(x)在(0,+8)内可导,/(x)>0,lim/(x)=l,且满足lim[/如史0]ス=>,18 ル->0 于(X)求/(X)。.„ rf(x+hx)^ lim1[ln/(x+*x)-ln/(x)]解:hm[厶 -]h=eh^hxf(x)"ノEか""""宀"刈=e川""刈’因此,x[lnf(x)]'=-,[In/(x)T=4-,ln/(x)=--+crX X^ X/(x)=cer»由lim/(x)=l,可知c=l1则/(x)=e'续(甲) 内容要点ー、函数连续的概念.函数在一点连续的概念定义1若lim/(x)=/(无〇),则称/(x)在点与处连续。ス。定义2设函数y=/(x),如果limf(x)=/(%),则称函数/(x)在点/处左连续:如果!imf(x)=/(x0).则称函数f(x)在点/处右连续。如果函数y=/(x)在点七处连续,则/(x)在モ处既是左连续,又是右连续。.函数在区间内(上)连续的定义如果函数y=/(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续,则称/(x)在(a,切内连续。如果y=/(x)在开区间内连续,在区间端点。右连续,在区间端点ル左连续,则称/(尤)在闭区间［スい］上连续。二、函数的间断点及其分类.函数的间断点的定义如果函数y=/(x)在点ム处不连续,则称ム)为/(x)的间断点。.函数的间断点分为两类:(1)第一类间断点设%是函数y=/(x)的间断点,如果/(x)在间断点与处的左、右极限都存在,则称X。是/(X)的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。(2)第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。例如:x=0是バx)=2史的可去间断点，是/(x)=区的跳跃间断点,是/(x)=-X X X的无穷间断点，是/(x)=sin—的振荡间断点。三、初等函数的连续性.在区间I连续的函数的和、差、积及商(分母不为零),在区间I仍是连续的。.由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。.在区间I连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。.基本初等函数在它的定义域内是连续的。.初等函数在它的定义区间内是连续的。四、闭区间上连续函数的性质在闭区间カ］上连续的函数/は)，有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理1(有界定理)如果函数ズx)在闭区间［a,カ上连续，则ズズ)必在［aカ上有界。定理2(最大值和最小值定理)如果函数ズめ在闭区间口,切上连续,则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m.其中最大值M和最小值m的定义如下:定义设y(ム)=知是区间［ス回上某点/处的函数值,如果对于区间［スわ］上的任一点尤,总有人ブく〃,则称M为函数"X)在切上的最大值。同样可以定义最小值机.定理3(介值定理)如果函数"X)在闭区间