计量经济学 多元线性回归模型的统计检验

计量经济学多元线性回归模型的统计检验第1页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三说明计量经济学模型是应用数理统计方法建立的一类经济数学模型，所以在模型参数估计出来后，必须检验其估计的可靠程度是否满足数理统计学理论与方法上的要求。

计量经济学模型的统计检验主要包括:拟合优度检验方程的显著性检验变量的显著性检验

第2页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三一、拟合优度检验

(TestingtheSimulationLevel)拟合优度检验：检验模型对样本观测值的拟合程度。在一元回归模型中，拟合优度检验是通过构造一个可以表征拟合程度的统计量R2来实现。在多元回归模型中，也可以用该统计量来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度。第3页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三总离差平方和、回归平方和及残差平方和定义TSS为总离差平方和（TotalSumofSquares），反映被解释变量样本观测值总体离差的大小；ESS为回归平方和（ExplainedSumofSquares），反映被解释变量回归估计值的变差大小，也是模型中的解释变量所解释的那部分离差的大小；RSS为残差平方和（ResidualSumofSquares），反映被解释变量样本观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变量未解释的那部分离差的大小。第4页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三那么，TSS、ESS、RSS之间存在的如下关系：

总离差平方和=

回归平方和+

残差平方和

TSS=ESS+RSS第5页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三关于TSS=ESS+RSS的证明过程（教材P73）证明：将TSS，即总离差平方和进行分解：其中根据正规方程组（见教材P67（）式），有：…第6页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三所以TSS=RSS+ESS

注意：回归平方和反映了总离差平方和中可由样本回归线解释的部分，它越大，残差平方和越小，样本回归线对样本观测值的拟合程度越高。（教材P74）所以，可以用回归平方和占总离差平方和的比重来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度。也即用检验模型的拟合优度。从而R2叫做多重可决系数，也简称为可决系数或判定系数。第7页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三但是在应用过程中人们发现，如果在模型中增加一个解释变量，那么模型的回归平方和随之增大，从而R2也随之增大。这就给人一个错觉：要使模型拟合得好，就必须增加解释变量。

所以，用来检验拟合优度的统计量必须能够防止这种倾向。

毫无疑问，R2越接近于1，模型的拟合优度越高。第8页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三式中，（n-k-1）为残差平方和RSS的自由度，（n-1）为总离差平方和TSS的自由度。（教材P74）

第9页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三在实际应用中，R2达到多大才算模型通过了检验？

答案是：没有绝对的标准。

模型的拟合优度并不是判断模型质量的唯一标准，有时甚至为了追求模型的经济意义，可以牺牲一点拟合优度。

如：H·钱纳里等：《发展的型式1950-1970》，P50-52，经济科学出版社。

第10页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三而在第三版教材P72例的中国内地城镇居民人均消费支出模型（二元回归）中，R2=0.975634，比如，第三版教材P53例中的中国内地城镇居民人均消费支出模型（一元回归）中，R2=0.971419，可见，对于中国内地城镇居民的人均消费支出，二元回归比一元回归的效果更好。（注意：教材P75的表述有问题！）第11页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三可决系数R2

的简捷计算公式：（☆）其中对于一元线性回归：对于多元线性回归：第12页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三*赤池信息准则和施瓦茨准则（教材P75）

为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有:(2)施瓦茨准则（Schwarzcriterion，SC）

这两准则均要求：仅当所增加的解释变量能够减少AIC值或SC值时，才在原模型中增加该解释变量。

(1)赤池信息准则（Akaikeinformationcriterion,AIC）nnknSClnln+¢=ee第13页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三二、方程显著性检验（教材P75）

TestingtheOverallSignificance方程的显著性检验：对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。

直观上看，拟合优度高，则解释变量对被解释变量的解释程度就高，可以推测模型总体线性关系成立；反之，就不成立。但这只是一个模糊的推测，不能给出一个在统计上严格的结论。这就要求进行方程的显著性检验。方程的显著性检验所应用的方法，是数理统计学中的假设检验。第14页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三1.关于假设检验（教材P46）假设检验是统计推断的一个主要方面，它的基本任务是根据样本所提供的信息，对未知总体某些方面（如参数或分布类型）的假设作出合理的判断。假设检验的程序：先根据实际问题的要求提出一个论断，称为统计假设，记为H0

；然后根据样本的有关信息，对H0的真伪进行判断，作出拒绝H0或接受H0的决策。第15页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三假设检验的基本思想是概率性质的反证法。也就是说，为了检验原假设H0是否正确，先假定这个假设是正确的，看由此能推出什么结果。如果导致一个不合理的结果，则表明“假设H0为正确”是错误的，即原假设H0不正确，因此要拒绝原假设H0。如果没有导致一个不合理现象的出现，则不能认为原假设H0不正确，因此不能拒绝原假设H0

。

第16页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三概率性质的反证法的根据是小概率事件原理。该原理认为“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”。

第17页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三换句话说，这里构造了一个小概率事件（“检验统计量的样本值落入拒绝域”）。如果在一次试验中该事件就发生了，就违背了小概率事件原理，也就意味着导致了一个不合理的结果。第18页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三显著性检验的步骤：(★)

（1）提出原假设H0和备择假设H1；

（2）计算检验统计量的样本值；

（3）确定临界值和拒绝域；

（4）下结论：是否拒绝H0

。

第19页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三检验模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立，也就是要检验模型

2.方程显著性的F检验（注意补充的内容！）（i=1,2,…,n）中的参数是否显著不为0。

（1）按照假设检验的原理与步骤，首先应提出假设：

（注：教材P75有错！）

显然，当H0成立时，即表示模型的线性关系不成立；当H1成立时，即表示模型的线性关系成立。第20页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三（2）并且，RSS与ESS相互独立。

所以，统计量

第21页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三直观上看，回归平方和ESS是解释变量整体对被解释变量Y的线性作用的结果，如果ESS/RSS的比值较大，则解释变量整体对Y的解释程度高，可以认为总体存在线性关系；反之，总体可能不存在线性关系。因此,可以通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。该统计量即为用于方程显著性检验的F统计量。第22页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三（4）（3）第23页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三例在第三版教材P72例的中国内地城镇居民人均消费模型(二元回归)中，k=2,n=31,F=560.565。给定α=0.05,查得Ｆ0.05（2,28)=3.34。所以,该模型的线性关系在95%的置信水平下显著成立。第24页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三⒊关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论

拟合优度检验和方程总体线性的显著性检验是从不同原理出发的两类检验：前者是从已经得到估计的模型出发，检验它对样本观测值的拟合程度；后者是从样本观测值出发检验模型总体线性关系的显著性。但是二者又是关联的：F检验和拟合优度检验都是在总变差TSS分解为回归平方和ESS与残差平方和RSS的基础上构造统计量进行的检验；模型对样本观测值的拟合程度高，模型总体线性关系的显著性就强；两个检验统计量之间存在如下的数量关系：或可见，F与R2同向变化。当R2=0时，F=0；当R2越大时，F也越大；当R2=1时，F→∞。（注：教材P76-77文字有错！）第25页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三多大才算通过拟合优度检验？

重新回到前面的问题：对于第三版教材P72例

，给定显著性水平=0.05时，查F分布表，得到临界值F0.05(2,28)=3.34，即是说，只要F统计量的值大于3.34，模型的线性关系在95%的水平下就是显著成立的。将该数值代入（）式，计算得到对应的调整后的可决系数为第26页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三实际上，有许多著名的模型，R2小于0.5，支持了重要的结论。例：西蒙·库兹涅茨关于收入差距的倒U型规律、H·钱纳里的《发展的型式1950-1970》。如果我们首先得到调整后的可决系数为0.1354，肯定认为该模型的质量不高，殊不知它的总体线性关系的置信水平达到了95%。第27页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三方程显著性检验（F检验）的步骤（★）（1）对多元线性回归模型的参数提出联合假设：（2）在原假设H0的基础上，根据样本数据计算F统计量的样本值：第28页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三1.什么是变量的显著性检验？（教材P77）

对于多元线性回归模型，方程的总体线性关系显著成立，并不能说明每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的。因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。如果某个变量对被解释变量的影响并不显著，应该将它剔除，以建立更为简单的模型。这就是变量显著性检验的任务。变量显著性检验针对的原假设为H0：j=0（j=0,1,2,…,k），而应用最为普遍的是t检验。三、变量显著性检验

TestingtheIndividualSignificance第29页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三2.变量显著性的t检验（1）检验统计量（t统计量）的构造：（对教材P77的补充！）（j=0,1,2,…,k）第30页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三于是因此，可以构造统计量

该统计量即为用于变量显著性检验的t统计量。

第31页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三（2）变量显著性的t检验（思路）计算检验统计量tj的值【模型有几个解释变量，就要计算几个tj

】。（j=0,1,2,…,k）第32页，共36页，2022年，5月20日，7点4分，星期三例：在教材P72例

中国内地城镇居民人均消费支出的二元回归模型中，由Eviews软件计算得到：

变量X1和X2各自的t统计量样本值分别为

tX1=7.378320tX2=2.200791

给定α=0.05,查得临界值t0.025(28)=2.048。

由于tX1、tX2