已知全集U和集合数学测试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集U和集合A，B如图所示，则(∁UA)∩B()A．{5,6}B．{3,5,6}C．{3}D．{0,4,5,6,7,8}解析：选A.由题意知：A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，∁UA＝{0,4,7,8,5,6}，∴(∁UA)∩B＝{5,6}，故选A.2．设集合A＝{(x，y)|eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是()A．4B．3C．2D．1解析：选A.集合A中的元素是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1上的点，集合B中的元素是函数y＝3x的图象上的点．由数形结合，可知A∩B中有2个元素，因此A∩B的子集的个数为4.3．已知M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为()A．1B．－1C．1或－1D．0或1或－1解析：选D.由M∩N＝N得N⊆M.当a＝0时，N＝∅，满足N⊆M；当a≠0时，M＝{a}，N＝{eq\f(1,a)}，由N⊆M得eq\f(1,a)＝a，解得a＝±1，故选D.4.设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是()A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2，或a≥4}C．{a|a≤0，或a≥6}D．{a|2≤a≤4}解析：选C.由集合A得：－1<x－a<1，即a－1<x<a＋1，显然集合A≠∅，若A∩B＝∅，由图可知a＋1≤1或a－1≥5，故a≤0或a≥65．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为()A．0 B．6C．12 D．18解析：选D.当x＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝6；当x＝1，y＝3时，z＝12.故集合A⊙B中的元素有如下3个：0,6,12.所有元素之和为18.6．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”D．命题“若x2>0，则x>1”解析：选A.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，无论y是正数、负数、0都成立，所以选A.7．设全集U＝{x∈N*|x≤a}，集合P＝{1,2,3}，Q＝{4,5,6}，则“a∈[6,7)”是“∁UP＝Q”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.若a∈[6,7)，则U＝{1,2,3,4,5,6}，则∁UP＝Q；若∁UP＝Q，则U＝{1,2,3,4,5,6}，结合数轴可得6≤a<7，故选C8．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数解析：选A.对于选项A，∃m∈R，即当m＝0时，f(x)＝x2＋mx＝x2是偶函数．故A正确．9．已知命题p：∀x∈R，x>sinx，则p的否定形式为()A．∃x0∈R，x0<sinx0 B．∀x∈R，x≤sinxC．∃x0∈R，x0≤sinx0 D．∀x∈R，x<sinx解析：选C.命题中“∀”与“∃”相对，则¬p：∃x0∈R，x0≤sinx0，故选C.10．命题p：x＝π是函数y＝sinx图象的一条对称轴；q：2π是y＝sinx的最小正周期，下列复合命题：①p∨q；②p∧q；③¬p；④¬q，其中真命题有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：选C.由于命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，¬p是真命题，¬q是假命题，因此①②③④中只有①③为真，故选C.题号12345678910答案二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分11．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.解析：∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴m＝－3.答案：－312．设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________解析：∵A∪(∁IA)＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2.∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}．答案：∅、{1}、{2}、{1,2}13．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.解析：∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴m＝－3.答案：－314．已知集合A＝{x|a－3＜x＜a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞2}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．解析：由a－3＜－1且a＋3＞2，解得－1＜a＜2.也可借助数轴来解．答案：(－1,2)15．已知p：x≤1，条件q：eq\f(1,x)＜1，则p是¬q成立的________条件．解析：¬q：0≤x≤1.答案：必要不充分16．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0,Δ＝4a2＋12a≤0))，解得－3≤a＜0，故－3≤a≤0.答案：[－3,0]17．给定下列几个命题：①“x＝eq\f(π,6)”是“sinx＝eq\f(1,2)”的充分不必要条件；②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；③等底等高的三角形是全等三角形的逆命题．其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)解析：①中，若x＝eq\f(π,6)，则sinx＝eq\f(1,2)，但sinx＝eq\f(1,2)时，x＝eq\f(π,6)＋2kπ或eq\f(5π,6)＋2kπ(k∈Z)．故“x＝eq\f(π,6)”是“sinx＝eq\f(1,2)”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p为假命题，q为真命题，有“p∨q”为真命题，而“p∧q”为假命题，故②为假命题；③为真命题．答案：①③三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答18．设全集U＝R，A＝{x|2x－10≥0}，B＝{x|x2－5x≤0，且x≠5}．求(1)∁U(A∪B)；(2)(∁UA)∩(∁UB)．解：A＝{x|x≥5}，B＝{x|0≤x＜5}．(1)A∪B＝{x|x≥0}，于是∁U(A∪B)＝{x|x＜0}．(2)∁UA＝{x|x＜5}，∁UB＝{x|x＜0或x≥5}，于是(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x＜0}．19．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R}．(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．解：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[1,3]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2＝1,m＋2≥3))，得m＝3.(2)∁RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}．∵A⊆∁RB，∴m－2>3或m＋2<－1.∴m>5或m<－3.20．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R}．(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．解：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[1,3]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2＝1,m＋2≥3))，得m＝3.(2)∁RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}．∵A⊆∁RB，∴m－2>3或m＋2<－1.∴m>5或m<－3.21．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝x2－\f(3,2)x＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))))，B＝{x|x＋m2≥1}．命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．解：化简集合A，由y＝x2－eq\f(3,2)x＋1，配方，得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16).∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，∴ymin＝eq\f(7,16)，ymax＝2.∴y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,16)，2)).∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|\f(7,16)≤y≤2)).化简集合B，由x＋m2≥1，得x≥1－m2，