平行四边形及特殊平行四边形例题

一、参考例题［例1］如下图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC,设MN交NBCA的平分线于点E，交NBCA的外角平分线于点F.A(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论.分析：⑴要证明OE=OF,可借助第三条线段OC,即证：OE=OC,OF=OC,这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证△OEC、△OCF是等腰三角形，由已知条件即可证明.(2)假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.由已知可得到：NECF=90°,由⑴可证得OE=OF,所以要使四边形AECF是矩形，只需OA=OC.［例2］如下图，已知矩形ABCD的对角线AC>BD相交于O,OF±AD于F,OF=3cm,AE±BD于E,且BE:ED=1：3,求AC的长.分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE,进而得出AB=AO,即得出BE=OF=3cm,求出BD的长，即AC的长.二、参考练习.如图，有一矩形纸片ABCD,AB=6cm,BC=8cm,将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长.4g_z）.当平行四边形ABCD满足条件时，它成为矩形（填上你认为正确的一个条件即可）.典型例题例1如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且且B="，求:（1）口BC的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积.分析（1）由E为AB的中点，□£，上£?,可知DE是AB的垂直平分线，从而且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出.（2）而用^£&$°二℃,利用勾股定理可以求出aq（3）由菱形的S=1_74c-BD对角线互相垂直，可知2'例2已知：如图，在菱形ABCD中，于昆口于f.求证：d五二工尸.分析要证明』总=』因，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明三SCF,从而可以证得本题的结论.例3已知:如图，菱形ABCD中例,F分别是BC,CD上的一点,，。=/期尸=60°,/如E=1配，求的度数.例4如图，已知四边形』BC9和四边形BED产都是矩形，且求证：GW垂直平分.分析由已知条件可证明四边形在是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明台石垂直平分.在直线上，且例5如图，匚7口中，用2）二2力F,在直线上，且求证：BE_1_工尸.分析要证BW_L<F,关键是要证明四边形上FNG是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．典型例题例1一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数．例2已知：如图，,ABCD的周长为60cm,对角线AC、BD相交于点0,的周长比的周长多8cm,求这个平行四边形各边的长.分析由平行四边形对边相等，可知从£+后仃=平行四边形周长的一半=30cm,又由人!。£的周长比的周长多8cm,可知cm，由此两式，可求得各边的长．交于点。，过。点作EF交AB、CD交于点。，过。点作EF交AB、CD于E、F,那么OE、OF是否相等，说明理由.例4已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且白且二盘口月尸,门口，垂足为F。求证：AF=DC.分析观察图形，山4尸口与"E都是直角三角形，且锐角斜边53二白自，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE,则与h4产卫全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。例5。是口ABCD对角线的交点，△。£亡的周长为59,则上。=，若&。BC与的周长之差为1