不等式恒成立八种解法

不等式恒成立的八种解法探析不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点.考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口.这里对这一类问题的求解策略作一些探讨.1最值法例L已知函数/0）=n4加工十—仪工＞0）在工=1处取得极值—3—。，其中金瓦匕为常数.⑴;试确定编分的值』an讨论函数汽灯的里调区侬（W）.若对于任意工二九不等式FE）之T小恒成立，求二的取值范围.分析、不等式F3＞―如恒成立,可以转化为F（x）阵＞-2c2解：m烝过程略）口=12,3=—3.（口"过程略）函数八工）的单调减区间为（01）,函数的单调增区间为a+K）.cm）由UI）可知〉函数了（＞）在工=1处取得极小值/①=—C■:，此极小值也是最小■值.要使f（x）之一21（工＞0＞,恒成立工.只需一3—二之一射，解得仁之三或。三一1.3所以心的取值范围为（-x-l]w[-:+x）.评注：最值法是我们这里最常用的方法./（X）＞口恒成立=人也f0）式口恒成立力.高中数学解题研究会史汕"妇2分离参数法例？.已知函数/>）=瓯31+月-三W求函数，住）的单调区间f（口）若不等式*总对于任意kew*都成立（其中它是自然对数的底数），求女的最大值.分析：对于.01）不等式q十-ra<e中只有指数含有口，故可以将函数进行分离考虑.解：U"；过程略汇国数了（》的空调增区间为（-L。）?：4冷的里调减区间为也+砌（ID不等式（1+3*立=电等彷■于不等式5+。）山（1+工）乂1，由于知（瞠+口）既1+3工10口工——一一一旌*设爪»=XE（O[]>.贝I]理底]+与皿1+X）Xn二11二…小…--gI—（l+jt）b2（l+x）百■储0+工）山工（1+为:二高中数学解题讲究会叫捌44媚由；口）知，也气1+工）———工。，.即Q十工）由二1十力一/W（h于是，gr（x）<0工曰（0』九即宫（X）在区间（0刀上为减函数.故式©在（0刀上的最小值为g⑴=：1-L所以门的最大值为七T.:诬主3不等式in成立问题中*常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解.3数形结合法例3.已知当工仁a词时，不等式（无—1）:三iogq*恒成立,则实数"的取值范围是.分析'本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数/（X）=（X-1尸与凶数鼠工）=1冤点工在工七。蜀上的图索，借助图形可以直.观」简捷求解.解：在同一平面直角坐标系内保出函数/（x）=（X-1）1与函数g（x）=1霓&X在注E（UI上的

图象（如右）.，从图象中容易知道：当。且工七。用时♦函额ra＞的图象恒在图数烈幻上方,•不合题意3当仃：＞i目工£（承]时，欲使图数/•（㈤的图象恒在因数双划下方或部分点重合，就必须满足1罔"2Lj即1M口W2.故所求的口的取值范围为（1,2].・评注：谢不等式两边巧妙构造曲数,数形结合;:直现形象翁是解决不等式।颤立问题的一种快捷方去4变更主元法例4.对于满足不等式—1石犷Ml的一切实数。，函数？=广4缶―4K+（4—%）的值恒大于贝i1实数上的取值范围是.耕用若亩题不清”:按习惯以工为主元，贝除解将非常烦琐.应诲注意到1•函数值大于。对一定取值范围的建恒成立，则谑就是主元.解.汽殳/俗）二（元―2纭+（/—4工卜43也E[-1=+1],则原问题转化为f3）＞口恒成立故应我有解得或工故应我有解得或工＞3Oo所以实数X的取值范围是（一以1）2（3广⑼.国*吻确・灌嘲素浏3国*吻确・灌嘲素浏5特殊优法悯5-设%是常数，且?=广】—物1T【打EN*L⑴证明：对于任意也21」/《舒+㈠产-方+（-1）-2%.（ID假设对于任意用之1何%^^1，求4的取值范围.分析：常规志蹈：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意片之1有外＞口皿求出K的取值范围，思路很自然，但计算量大.可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明.解：⑴递推式可以化归为枭=-a狷）斗储="1熠*卜所以数列｛果—3是等比数列，可以求得对于任意月之1，4=1甲+（-1严一2£]+（-19.24.＜；■得印到字解寇册法•为欤"旧空$一CJ“=1一弘＞0（II1假设对于任意"31有/A&取打=1工就有」「工.解得%一?=□£?；,＞［）联与十下面只要证明当。V/M；时，就有对任意正.M.有4-门-＞0由通项公式得又名—门管）=2Abi+，（T产亵咒+（回立一琰一源久词当修=2比一1tkwN*'时，5M-=1）=＞广1+3-2宜—15-2鹏-的〉＞广―PLi—5-2内=0当浮=%（正e.M*）,时，5（4—口『］）二＞举3-丁-1+15-21-/、2-3『1-3-2鹏:0,可见总有%＞".故』的取值范围是（03）；评女:特殊化思想不仅可以有效解答选择题而且是解决但成立问题的一种重要方法.6分段讨论法源高中鬻辱解题吩囱三汩孙田兆3例讥已知『3二小-同―乙若当我［。』时j恒有『（£KO,求实数目的取值范围.解”（。：当尤二口时，显然f（X）do成立，此时，0曰於（m）.当先w（。』时，由『（元）＜?，.可得工＜口代工+二』XX令g（x）=x—'--.（xe（01］上网工）二工+二（工e（OJ］）J；^X则/⑴=L十，g㈤是单调递增，可知恒（切n1sl=虱1）=-1"在）=1—•＜口，:双力是单调递减，可知［网招］1n也=辄1）=3此时日的范围是％—1,5）掠合工」得:口的范围是C—，3）.例7.若不等式/一皿+3＞0对于工E［一；*］恒成立，求口的取值范围.解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对工进行分段讨论，当x=0时，不等式恒成立，所以，此时口七,'''……当xe（0」］时，不等式就化为。《工+■■■■■,此时工+-的最小值为--，所以出父生,2X大可高中徵学解趣胡究言论生两磔的当览E◎时，不等式就化为口,工+：；此时工十二的最大值为-二、;所以a>-—由于对上面工的三个范围要求同时满足」则所求的©的范围应该是上三个口的范围的交集即区间（—葭:日）说明：这里对变里工进行分段来处理，那么斫求的口对三段的X要同时成立乙斫次，用求交隼的结果就是所求的结果.评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时:，应该用分类或分册讨论方法来处理，分类杂分段.£讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素;:为问题解决提供新的条件，但是最后琮合时要注意搞港楚各段的结果应该是并集还是别的关系.7单调拄法例8.若定义在也+K）的函数f（幻满足二期+f（y）=汽豆>鎏且工>1时不等式/（x）<。成立、若不等式穴方十底）<二历）十」S）对于任意x：ve电母）恒成立，则实数口的取值范围是.解：役。m再y,则,>1,有f^}<0,这样"：高中那硝裨题济究豹加用潮75）-fg=f（--x1）~人巧）=八三）+-4巧）=，户》<0♦则/W巧f（x2）</X）,函数F3在（Q+4为减函数.因此八』八/）Mf（Jxy'）+/（«）O/（卜+『）<f3区）口+/之展后=》M-而近算［之（当且仅当工=>时取等号），又口>0,J个J呼J灯所以口的取值范围是（。;及］.评注：当不等式两边为同一困数在相同区间内的两个困数值时•'：可以巧妙利用此画数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小美系，则问题可以迎刃而解.8判别式法例g.若不等式+以+i>。对于任意工七五恒成立.则实数□的取值范围是.分析:此不等式是否为一元二次不等式，应修宪进行分类讨论.一元二次不等式任意xeR恒成立，可以选择判别式法」「=.解：当口=0时，不等式化为1>0,显然对-切实数血婷产源唇诩皿后卬小烟当口时，要使不等式/+——切实数恒成工须有八°,,力解得0c&c4.综上可知，所求的实数□的取值范围是［。月).不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析&要因题而异，如下例.例0关于工的不等式丁+25十k-5/性奴在工已［1"上痘成立，求实麴口的取值范围.通注解：用变量与参数分离的方法，然后对娈量进行分段处理」.「he［U2］,，不等式可以化为了+”+|/—之明下面只要求了我)=工+至+*—5］在工w［U?］时的最小值即可，分段处理如下.当*e［L习时，/(x)=-x2+6x+—,/'(X)=-2x+6--=—^-----—,XX再令f\8=—&+6，-25,工&)=—6/+12x=0;它的根为025所以在区间［1:2)±^f1\x)>0,八工)递增e在区间(工司上有工’(#M0,*>)递减，则就有f\(x)=S+6/—25在工E［15］的最大值是工(2)=T7c0；这样就有