数学九年级上：二次函数的图象 知识技能解答

二次函数的图象知识技能一、填空题：1．抛物线经过两点，则这条抛物线的解析式为◆答案：◆解：把代入得把代入得解方程组得抛物线解析式为2．函数是函数，它的图象是，对称轴是，顶点坐标是。时，开口向，时，开口向◆答案：二次；抛物线；y轴；(0，o)；上；下3．抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得新抛物线的解析式为◆答案：◆解析：把配方，得平移后的抛物线解析式为：整理，得化成一般式为：4．抛物线的顶点坐标是，对称轴是当，y有最值是．◆答案：；大；25．(2004·锦州市)若点A(2，优)在函数的图象上，则点A关于2轴的对称点的坐标是◆答案：◆解析：．．‘点A(2，m)在图象上点关于x轴的对称点坐标为6．抛物线的顶点是(1，5)，则◆答案：4；3◆解析：根据题意，得解得7．已知抛物线的顶点在X轴上，则k的值是．◆答案：3或◆解析：根据题意解得8．抛物线的顶点坐标为在Y轴上的截距是．◆答案：◆解析：令时，抛物线与X轴的交点为(1，0)，(2，0)，．‘．对称轴是当时，顶点坐标为抛物线在Y轴上的截距是4．9．若二次函数的对称轴是并且在z轴上截得的线段长为10，则函数的解析式为．◆答案：◆解析：’．。抛物线的对称轴为且在x轴上截得的线段长为10，把代入得即10．已知函数当时，图象是直线；当时，图象是抛物线．◆答案：◆解析：当时，图象是直线，解得当时，解得时图象是抛物线．11．二次函数与x轴的一个交点坐标是(2，0)，则与X轴的另一个交点坐标为，且◆答案：◆解析：把代入解析式，得函数解析式为解得与X轴的另一个交点为(1，0)．12．若的图象与x轴有两个交点，则k=，若图象与x轴有唯一交点，则k=，若图象与x轴无交点，则k=．◆答案：◆解析：时，当时，图象与z轴有两个交点；时，当时，图象与z轴有唯一交点；时，当时，图象与x轴无交点．13．(2004·兰州市)已知二次函数的图象如图则点（a,b）关于原点的对称点在第象限．◆答案：二◆解析：‘．‘图象开口向上且．‘．点(a，b)在第四象限．．．．点(n，b)关于原点的对称点在第二象限．则点二、选择题：14．抛物线有()A．最高点B．最高点C．最低点D．最低点◆答案：D◆解析：‘开口向上，．‘．图象有最低点，因此排除了．最低点的坐标为(一1，2)，排除C，故D正确．15．若则函数的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第--$陲tD．第四象限◆答案：D◆解析：．函数的图象的顶点在第四象限，故D正确．16．如果直线不经过第三象限，那么抛物线的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限◆答案：A◆解析：‘．‘直线不经过第三象限．。．抛物线的顶点在第一象限，故A正确．17．二次函数的图象如图则下列关于口、b、C间的关系判断正确的是()。◆答案：D18．二次函数当m取不同数值时，图象的顶点在()的图象上的图象上C．X轴上D．Y轴上◆答案：B◆解析：由解析式知图象顶点为顶点在的图象上‘，故B正确．19．抛物线的顶点坐标和对称轴分别是()◆答案：D◆解析：顶点坐标为对称轴为故D正确．20．如图抛物线与x轴相交于点A、B，与Y轴交于点C那么b的值为()答案：c解析：令x=0,y=c,∴C(0,c),∵∴B(C,0),A(-2C,0),∴抛物线解析式可化为y=a(x-c)(x+2c),即y=ax2+acx-2ac2又∵抛物线解析式，∴∵c>0,∴由②得a=-③,把③代人①，b=c(-),∴b=,故c正确。三、解答题：21．(2004·南京市)(1)如果二次函数的图象过点(1，2)，求这个二次函数的解析式，并写出该函数图象的对称轴；(2)图象的对称轴是Y轴的二次函数有无数个，试写出两个不同的二次函数解析式，使这两个函数图象的对称轴都是y轴．(1)(2)设则由于当时，y随z的增大而增大且当时，9的值均小于0，当可知投产后该企业在第4年就能收回投资．22·(2004‘安徽省)某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可刨利33万元．该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=aX2+bx，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元．(1)求y的解析式；(2)投产后，这个企业在第几年能收回投资?解：由题意得，x=1时，y=2,x=2时分别代入y=aX2+bx，得解得23．已知二次函数的图象经过一次函数的图象与x轴，y轴交点，且经过点(1，1)，(1)求这个二次函数的解析式；(2)用配方法把解析式化成的形式◆解：(1)令时，一次函数的图象与y轴交点为(0，3)令时，一次函数的图象与2轴交点为(2，0)，由二次象经过得解这个方程组，得．‘．二次函数解析式为次函数的解析式化成的形式是：24．(2004·甘肃省)已知抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B，求过A直线的解析式．◆解：由顶点坐标公式得：所以点A的坐标为(1，-3)又当时，所以点B的坐标为设过A、B两点的直线的解析式为将两点的坐标分代入解析式，得{解得：所以直线的解析式为25．已知二次函数的图象与x轴两交点的横坐标为最小值是求二次函数的解析式.◆解：∵二次函数的图象与X轴两交点的横坐标为对称轴为∵最小值为设二次函数的解析式为∵函数图象经过点．‘．二次函数解析武为即26．阅读以下材料并完成后面的问题．将直线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．解：在直线上任取两点由题意知：点A向右平移3个单位得；再向上平移l个单位得A，，(4，0)．点B向右平移3个单位得再向上平移1个单位得设平移后的直线的解析式为由点在该直线上，可解得所以平移后的直线的解析式为根据以上信息解答下面问题：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式．(平移后抛物线的形状不变)◆解：方法一：在抛物线上任意取两点A(0，3)、B(1，4)，由题意知：点A向左平移l个单位得；再向下平移2个单位得点B向左平移l个单位得；再向下平移2个单位得设平移后的抛物线的解析式为则点在抛物线上，可得解得所以平移后的抛物线的解析式为方法二：由题意知：抛物线顶点为A(1，4)，则点A向左平移一个单位得；再向下平移2个单位得这是平移后的抛物线的顶点坐标，故平移后的抛物线的解析式为27．已知二次函数当时，图象与Y轴交于(0，9)，求二次函数的解析式．◆解：根据题意知：二次函数图象与X轴的交点为和(1，0)，∴设二次函数的解析式为∵函数图象经过点∴二次函数解析武为即28．(2004·天津市)已知抛物线与X轴只有一个交点，且交点为A(2，O)．(1)求b、c的值；(2)若抛物线与Y轴的交点为B，坐标原点为0，求的周长(答案可带根号)．◆解：抛物线与x轴只有一个交点，方程有两个相等的实数根，即①又交点A的坐标为②由得(2)由(1)得，抛物线的解析式为当时，苠B的坐标为(0，4)．在中，由得的周长为综合运用一、填空题：29、QUOTEy=的最小值是．◆答案：3QUOTE是二次函数，则◆答案：◆解：根据题意，得由①，得，土1；由②，得，或31．二次函数的图象与的图象关于x轴对称，则◆答案：◆解析：根据题意，得=．32．如图和Rt△BF0关于直线成轴对称，抛物线经过和B两点，则以a为自变量的b的函数解析◆答案：和Rt△BF0关于直线成轴对称，．。．点B与点是关于直线的轴对称点，．‘．点8的坐标为∵抛物线经过点A和B，和代入其解析式，得并整理，得33．二次函数的图象与2轴交于A、B两点，与Y轴交于点C，若的面积为10则◆答案：±3◆解析：设则解得±3．二、选择题：34．二次函数中，如果那么它的图象一定过点()◆答案：C解析：把代入中，得不对．把(1，-1)代入中，得1=（-1）2-m+n.∴-m+n=0.即m-n=0.把(1，1)代入中，得1=12+m+n.∴m+n=0.故c正确。35．如图四个二次函数的图象中，分别对应的是②QUOTEy=bx2y=bx2③y=cx2QUOTEy=cx2④y=dx2则a、b、c、d的大小关系为()◆答案：A◆解析：开口向上图象开口向下在x轴正半轴取一相同点，对应X的y值有36．设关于x的方程有两个不等的实数根Xl、X2，那么a的取值范围是()◆答案：D◆解析：∵关于x的方程有两个不等的实数根．。．原方程可化为设当时，解得故D正确．37．一次函数和二次函数在同一坐标系内的图象是()ABCD ◆答案：D三、解答题：38．(2004·乌鲁木齐市)已知抛物线与x轴交于点与y轴交于点C，且点A关于y轴的对称点为D．(1)确定A、B、C三点的坐标；(2)求过B、C、D三点的抛物线的解析式；(3)若与(2)小题中所求抛物线交于M、N，以MN为一边，抛物线上任意一点P(x,y)为顶点作平行四边形．若平行四边形面积为S，写出S与P点纵坐标Y的函数关系式；(4)当时，(3)中平行四边形的面积是否有最大值?若有，请求出；若无，请说明理由．◆解：(1)由题意得解得当时，不满足舍去；当时即：(2)D(4，O)，设过三点的抛物线为则∴抛物线的解析式是抛物线与直线相交，．而抛物线顶点为当时，当时，(4)使以MN为一边，P(x，y)为顶点且的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离最大．所以满足条件的平行四边形面积有最大值是16．39．(2004·无锡市)已知直线与z轴交于点A，与Y轴交于点8，一抛物线的解析式为(1)若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解析式；(2)过点B作直线交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线b的解析式．◆解：(1)直线与x轴的交点为与Y轴的交点为B(0，6)．∵抛物线过点又抛物线的顶点在直线上，解得或∴所求抛物线的解析式为和(2)若则点分别在z轴和Y轴的正半轴上最C在z轴的负半轴上．但由知：此时抛物线的对称轴不可能经过点C，故不成立，当时，则点分别在X轴和Y轴的负半轴上，点C在x轴上．设即于C点，且40．如图已知抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴负半轴与点C,且求的外接圆的面积．由题意，得所求直线的解析式为图8—30◆解：设由已知：又点C在Y轴的负半轴上由一元二次方程的根与系数的关系知即又即(舍去)，Y=X2的外接圆半径为的外接圆面积为41．(2006·广安市)如图在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在Y轴的负半轴和2轴的正半轴上，抛物线经过点A、B，且(1)求抛物线的解析式；(2)如果点P由A开始沿AB边以的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以的速度向点C移动．动开始后第t秒时，设试写出S与t之间的函数关系式，并写出写出t的取值范围；②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四形?如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．◆解：(1)根据题意可知点在抛物线上由知抛物线的对称轴为即∴抛物线的解析式为由图象知即②假设存在点R，可构成以为顶点的平行四边形当时，S取得最小值这时分情况讨论：i)假设R在BQ的右边，这时则R的横坐标为2．4，纵坐标为即）代入左右两边相等．∴这时存在满足题意假设R在BQ的左边，这时则R的横坐标为1．6，纵坐标为即代入左右两边不相等，R不在抛物线上假设R在PB的下方，这时则R的横坐标为1．6，纵坐标为即代入左右两边不相等，R不在抛物线上综上所述，存在一点满足题意．42．(2006·湖北省宜昌市)如图点0是坐标原点，点A(n，o)是X轴上一动点以A0为一边作矩形AOBC，使点C在第二象限，将矩形AOBC绕点A逆时针旋转900得矩形AGDE.过点A的直线Y=KX+M(K=0)交Y轴于点F，AB=FA.抛物线Y=ax+bx+c过点E.F.G且和直线AF交于点H.过点H作X轴的垂线，垂足为点M.⑴求K的值；⑵点A的位置改变时，△的面积和矩形AOBC的面积比是否改变?说明你的理由．◆解：(1)根据题意得到当时，点F坐标为(0，m)，而∴在中，又化简得对于过点(或抛物线过点E(3n，0)、点点解得抛物线为解方程组得的坐标是(5n，3n)，而不随着点A的位置的改变43．(2004·海南省)如图在平面直角坐标系xOy中，⊙A的半径为3，点A的坐标为分别为⊙与Y轴轴的交点，过C点作的切线BC交x轴于点B(1)求直线BC的解析式；(2)若抛物线经过B、A两点，且顶点在直线BC上，求此抛物线的顶点坐标；(3)在X轴上是否存在点P，使和相似，若存在，请你求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．◆解：(1)连结AC，根据题意，得点的坐标为(0，)．点的坐标为设直线解析式为：则解之，得直线BC的解析式为：抛物线过点由抛物线的对称性可知此抛物线的对称为又．．．抛物线的顶点在直线上∴当时，抛物线的顶点坐标是(3)存在．解法一：当在x轴上E点右侧时，不存在满足条件的点P，当点P在x轴上E点左侧时(如图①若则点P与B重合，所以②若可证△此时，P点的坐标为③可证其余情况不存在满足条件的点点的坐标为解法二：设与X轴的另一交点为F，可得点F的坐标为(5，0)．当点P与点F关于Y轴对称时，则得：又此时，P点的坐标为其余情况同方法一．44．(2004·徐州市)已知抛物线开口向下，与x轴交于和两点，其中(1)求m的取值范围；(2)若求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系(图中画出这条抛物线；(3)设这条抛物线的顶点为C，延长交y轴于点D．在y轴上是否存在点P，使以P、O、B为顶点的三角形与相似?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．◆解：(1)由题意，得解得m的取值范围是(2)由题意得，∴所求抛物线的解析式为(3)用待定系数法、图象法、全等三角形等方法求出OD=1．(△ABC为等腰直角三角形)．或45．如图已知直线与直线L2交于⊙上点C,⊙经过原点点且与坐标轴交于A(0，2)、B(2，0)．求：的度数及⊙的面积(2)BC的长；(3)过点C引⊙的切线交x轴于P，求PB、PC的长；(4)求过两点，且顶点落在上的抛物线解析式．◆解：连结AB．是⊙的直径，且(2)过点B作垂足为在中，切⊙切点为过点B作垂足为F，则且顶点在z，上，∴顶点坐标为(万，√手)．于是可求出抛物线的解析式是46．(2006·烟台市)如图已知抛物线的图象与x轴交于A、C两点，(1)若抛物线L2与QUOTEl1L1关于X轴对称，求QUOTEl2L2的解析式；(2)若点B是抛物线L1，上的一动点(B不与A、C两点，重合)以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在L2上；(3)探索：当点B分别位于L1，在X轴上、下两部分的图象上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．◆解：(1)如图设QUOTEl2L2的解析式为与x轴的交点顶点坐标是与QUOTEl2L2关于．x轴对称，过顶点坐标是(0，4)．得的解析式为(2)设点B在L1上∵四边形ABCD是平行四边形，关于0对称关于0对称，将的坐标代入左边=右边，∴点D在L2上；(3)设平行四边形ABCD的面积为S，则①当点B在x轴上方时，它是关于Y，的正比例函数且S随Y1的增大而增大，既无最大值也无最小值．②当点B在x轴下方时，它是关于Y1的正比例函数且S随Y1的增大而减小，∴当时，S有最大值l6，但它没有最小值，此时在Y轴上，它的对称点D也在Y轴上．平行四边形ABCD是菱形，此时S最大值47．(2006·河北省)利达经销店某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7．5吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元．设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元?(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗?请说明理由．◆解析：此类二次函数应用题为中考常见题型．分析题中销售量与售价间的关系，从而构建函数模型，利用函数性质，求解利润最大问题．◆解：(吨)；化简得：利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元(4)我认为，小静说的不对．理由；解法一：当月利润最大时，x为210元．而对于月销售额来说，当x为160元时，月销售额w最大．∴当x为210元时，月销售额W不是最大∴小静说的不对．解法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为l7325元；而当x为200元时，月销售额为l8000元．当月利润最大时，月销售额