任意角的概念 省优获奖课件

1.1.1任意角的概念1.1.1任意角的概念11、角的概念初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.

这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0º,360º)，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.1、角的概念初中是如何定义角的？2

生活中很多实例不在该范围。体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º；经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？这些例子不仅不在范围[0º,360º)，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？关键是用运动的观点来看待角的变化。生活中很多实例不在该范围。32．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．2．角的概念的推广⑴“旋转”形成角4⑵．“正角”与“负角”、“0º角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，⑵．“正角”与“负角”、“0º角”5

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0º）．角的记法：角α或可以简记成∠α.特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认6⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了①角有正负之分;如：=210,

=150,

=660.②角可以任意大;

实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③还有零角,一条射线，没有旋转.⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩7

角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角8用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；（1）旋转中心：作为角的顶点.用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量9（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º.于是就会出现720º，－540º等角度.（3）旋转量：103．“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，

300、60是第Ⅳ象限角，

585、1300是第Ⅲ象限角，

135

、2000是第Ⅱ象限角等3．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直114．终边相同的角

⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(k∈Z)个周角的和：

390=30+360(k=1),

330=30360

(k=－1)

30=30+0×360(k=0),1470=30+4×360(k=4)

1770=305×360(k=－5)4．终边相同的角⑴观察：390，330角，它们的12⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β|β=α+k·360º}(k∈Z)

即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和⑶结论：13⑷注意以下四点：①k∈Z；②

是任意角；③k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成k·360º+(－30º)；④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.⑷注意以下四点：14例1.在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)－120º；(2)640º；(3)－950º12′.解：⑴∵－120º=－360º+240º，∴240º的角与－120º的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640º=360º+280º，∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．例1.在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角15⑶∵－950º12’=－3×360º+129º48’，∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同，它是第二象限角．⑶∵－950º12’=－3×360º+129º48’，16例2.写出终边在y轴上的角的集合.例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，

并把S中适合不等式－360º≤β≤720º的

元素β写出来.例2.写出终边在y轴上的角的集合.例3.写出终边在直17课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间(0º,90º)内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐角．课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？182．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420º，(2)－75º，(3)855º，(4)－510º．答：(1)第一象限角；

(2)第四象限角，

(3)第二象限角，

(4)第三象限角.2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作193、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（）

Ax轴的非负半轴上By轴的非负半轴上

Cx轴的非正半轴上Dy轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是（）

A{β|β=k·360º(k∈Z)}B{β|β=k·180º(k∈Z)}C{β|β=k·90º(k∈Z)}D{β|β=k·180º+90º(k∈Z)}C3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（205、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角

C第一、三象限角D第一、四象限角C6、若α是第四象限角，则180º－α是（）

A第一象限角B第二象限角

C第三象限角D第四象限角C5、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是(217、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（）

A.β=α+90o

Bβ=α±90oCβ=k·360o+90o+α,k∈ZDβ=k·360o±90o+α,k∈ZD8、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是__________，α+β的范围是___________;(0º,45º)(180º,270º)7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关229、若β的终边与60º角的终边相同，那么在[0º,360º]范围内，终边与角的终边相同的角为______________;解：β=k·360º+60º，k∈Z.所以=k·120º+20º，k∈Z.当k=0时，得角为20º，当k=1时，得角为140º，当k=2时，得角为260º.9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在[0º,360º]23作业课本P9A组第1、2、3题

P10A组第5题作业课本P9A组第1、2、3题

P10A组第24第二章有理数及其运算有理数的加减混合运算第二章有理数的加减混合运算25问题：下图是一条河流在枯水期的水位图.此时小康桥面距水面的高度为多少米?

你知道小颖和小明分别是怎么想的吗?他们的结果为什么相同?减法可以转化为加法问题：下图是一条河流在枯水期的水位图.此时小康桥面你26议一议:一架飞机作特技表演,起飞后的高度变化如下表:高度变化记作上升4.5米+4.5千米下降3.2米－3.2千米上升1.1米+1.1千米下降1.4米－1.4千米此时,飞机比起飞点高了多少千米?比较以上两种解法，你发现了什么？议一议:一架飞机作特技表演,起飞后的高度变化如下表:高度变27议一议:一架飞机作特技表演,起飞后的高度变化如下表:高度变化记作上升4.5米+4.5千米下降3.2米－3.2千米上升1.1米+1.1千米下降1.4米－1.4千米此时,飞机比起飞点高了多少千米?)4.1(1.1)2.3(5.4-++-+4.11.12.35.4-+-?议一议:一架飞机作特技表演,起飞后的高度变化如下表:高度变28议一议:一架飞机作特技表演,起飞后的高度变化如下表:高度变化记作上升4.5米+4.5米下降3.2米－3.2米上升1.1米+1.1米下降1.4米－1.4米此时,飞机比起飞点高了多少千米?)4.1(1.1)2.3(5.4-++-+4.11.12.35.4-+-省略了加号和括号把4.5－3.2＋1.1－1.4看作为4.5，－3.2，1.1，－1.4的和，也叫“代数和”．议一议:一架飞机作特技表演,起飞后的高度变化如下表:高度变29例题解析：例1计算：;

717271

)72(71

)1(

=+-=---解：说明：将加减统一成加法并写成省略

加号和括号的和的形式.例题解析：例1计算：;717271)72(71)1(30例题解析：例1计算：.

565452545153)54(51)53(

)2(

-=--=-+-=-++-第（2）题还可以怎样计算？.

56515453545153)54(51)53(

-=+--=-+-=-++-解:解:说明：把正数与负数分别相加，可使运算简便．但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．例题解析：例1计算：.565452545153)54(51311．有理数的加减法可统一成加法．2．因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便．但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．课堂小结：1．有理数的加减法可统一成加法．课堂小结：32随堂练习1．计算：(1)3-8；

(2)-4+7；

(3)-6-9；

(4)8-12；(5)-15+7；

(6)0-2；

(7)-5-9+3；

(8)10-17+8；(9)-3-4+19-11；

(10)-8+12-16-23．2．计算：(1)-4.2+5.7-8.4+10；

(2)6.1-3.7-4.9+1.8；3．计算：(1)-216-157+348+512-678；

(2)81.26-293.8+8.74+111；作业示例演练P47—50随堂练习1．计算：作业示例演练P47—5033随堂练习4．计算：(1)12-(-18)+(-7)-15；

(2)-40-28-(-19)+(-24)-(-32)；5．计算：(1)(+12)-(-18)+(-7)-(+15)；(2)(-40)-(+28)-(-19)+(-24)-(32)；(3)(+4.7)-(-8.9)-(+7.5)+(-6)；作业P66—68习题2.7随堂练习4．计算：作业P66—68习题2.7341.1.1任意角的概念1.1.1任意角的概念351、角的概念初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.

这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0º,360º)，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.1、角的概念初中是如何定义角的？36

生活中很多实例不在该范围。体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º；经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？这些例子不仅不在范围[0º,360º)，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？关键是用运动的观点来看待角的变化。生活中很多实例不在该范围。372．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．2．角的概念的推广⑴“旋转”形成角38⑵．“正角”与“负角”、“0º角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，⑵．“正角”与“负角”、“0º角”39

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0º）．角的记法：角α或可以简记成∠α.特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认40⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了①角有正负之分;如：=210,

=150,

=660.②角可以任意大;

实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③还有零角,一条射线，没有旋转.⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩41

角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角42用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；（1）旋转中心：作为角的顶点.用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量43（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º.于是就会出现720º，－540º等角度.（3）旋转量：443．“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，

300、60是第Ⅳ象限角，

585、1300是第Ⅲ象限角，

135

、2000是第Ⅱ象限角等3．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直454．终边相同的角

⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(k∈Z)个周角的和：

390=30+360(k=1),

330=30360

(k=－1)

30=30+0×360(k=0),1470=30+4×360(k=4)

1770=305×360(k=－5)4．终边相同的角⑴观察：390，330角，它们的46⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β|β=α+k·360º}(k∈Z)

即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和⑶结论：47⑷注意以下四点：①k∈Z；②

是任意角；③k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成k·360º+(－30º)；④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.⑷注意以下四点：48例1.在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)－120º；(2)640º；(3)－950º12′.解：⑴∵－120º=－360º+240º，∴240º的角与－120º的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640º=360º+280º，∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．例1.在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角49⑶∵－950º12’=－3×360º+129º48’，∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同，它是第二象限角．⑶∵－950º12’=－3×360º+129º48’，50例2.写出终边在y轴上的角的集合.例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，

并把S中适合不等式－360º≤β≤720º的

元素β写出来.例2.写出终边在y轴上的角的集合.例3.写出终边在直51课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间(0º,90º)内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐角．课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？522．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420º，(2)－75º，(3)855º，(4)－510º．答：(1)第一象限角；

(2)第四象限角，

(3)第二象限角，

(4)第三象限角.2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作533、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（）

Ax轴的非负半轴上By轴的非负半轴上

Cx轴的非正半轴上Dy轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是（）

A{β|β=k·360º(k∈Z)}B{β|β=k·180º(k∈Z)}C{β|β=k·90º(k∈Z)}D{β|β=k·180º+90º(k∈Z)}C3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（545、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角

C第一、三象限角D第一、四象限角C6、若α是第四象限角，则180º－α是（）

A第一象限角B第二象限角

C第三象限角D第四象限角C5、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是(557、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（）

A.β=α+90o

Bβ=α±90oCβ=k·360o+90o+α,k∈ZDβ=k·360o±90o+α,k∈ZD8、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是__________，α+β的范围是___________;(0º,45º)(180º,270º)7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关569、若β的终边与60º角的终边相同，那么在[0º,360º]范围内，终边与角的终边相同的角为______________;解：β=k·360º+60º，k∈Z.所以=k·120º+20º，k∈Z.当k=0时，得角为20º，当k=1时，得角为140º，当k=2时，得角为260º.9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在[0º,360º]57作业课本P9A组第1、2、3题

P10A组第5题作业课本P9A组第1、2、3题

P10A组第58第二章有理数及其运算有理数的加减混合运算第二章有理数的加减混合运算59问题：下图是一条河流在枯水期的水位图.此时小康桥面距水面的高度为多少米?

你知道小颖和小明分别是怎么想的吗?他们的结果为什么相同?减法可以转化为加法问题：下图是一条河流在枯水期的水位图.此时小康桥面你60议一议:一架飞机作特技表演,起飞后的高度变化如下表:高度变化记作上升4.5米+4.5千米下降3.2米－3.2千米上升1.1米+1.1千米下降1.4米－1.4千米此时,飞机比起飞点高了多少千米?比较以上两种解法，你发现了什么？议一议:一架飞机作特技表演,起飞后的高度变化如下表:高度变61议一议:一架飞机作特技表演,起飞后的高度变化如下表:高度变化记作上升4.5米+4.5千米下降3.2米－3.2千米上升1.1米+1.1千米下降1.4米－1.4千米此时,飞机比起飞点高了多少千米?)4.1(1.1)2.3(5.4-++-+4.11.12.35.4-+-?议一议:一架飞机作特技表演,起飞后的高度变化如下表:高度变62议一议:一架飞机作特技表演,起飞后的高度变化如下表:高度变化记作上升4.5米+4.5米下降3.2米－3.2米上升1.1米+1.1米下降1.4米－1.4米此时,飞机比起飞点高了多少千米?)4.1(1.1)