新教材高中数学第五章三角函数511任意角课件新人教A版必修第一册

5.1.1任意角5.1.1任意角必备知识·自主学习导思1.体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”是什么意思？2.任意角可以分为哪几类？3.什么是终边相同的角？必备知识·自主学习导思1.体操中“前空翻转体540度”“后1.任意角(1)角的分类类型定义图示正角一条射线绕其端点，按_______方向旋转形成的角

负角一条射线绕其端点，按_______方向旋转形成的角

零角一条射线没有做任何旋转

逆时针顺时针1.任意角类型定义图示正一条射线绕其端点，按_______方(2)本质：将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角.(3)应用：可以定义任意的旋转角.(2)本质：将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到2.象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的_________重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是___________.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角(1)定义：所有与角α终边相同的角，连同角α在内.(2)表示：集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.(3)本质：表示成角α与整数个周角的和.非负半轴第几象限角2.象限角非负半轴第几象限角【思考】反过来，若角α，β满足S={β|β=α+k·360°，k∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角？提示：当角α，β满足S={β|β=α+k·360°，k∈Z}时，表示成角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同.【思考】反过来，若角α，β满足S={β|β=α+k·360°【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)经过1小时，时针转过30°. (

)(2)终边与始边重合的角是零角. (

)(3)第二象限的角是钝角. (

)提示：(1)×，因为是顺时针旋转，所以时针转过-30°.(2)×，终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).(3)×，钝角是第二象限的角，但第二象限角不一定是钝角.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)2.与45°角终边相同的角是 (

)A.-45°

B.225°

C.395°

D.-315°【解析】选D.与45°角终边相同的角可以表示为45°+k·360°，k∈Z，结合四个选项可以发现只有答案D符合题意.2.与45°角终边相同的角是 ()3.(教材二次开发：例题改编)已知0°≤α<360°，且α与600°角终边相同，则α=_______，它是第_______象限角.

【解析】因为600°=360°+240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°<360°，故α=240°，它是第三象限角.答案：240°三3.(教材二次开发：例题改编)已知0°≤α<360°，且α与关键能力·合作学习类型一任意角的概念及应用(数学抽象)【题组训练】

1.(2020·杭州高一检测)下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于90°的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角α的终边经过点M(0，-3)，则角α是第三或第四象限的角，其中错误的是 (

)A.③④⑤

B.①③④

C.①③④⑤

D.②③④⑤关键能力·合作学习类型一任意角的概念及应用(数学抽象)2.给出下列四个命题：①-75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第三象限角；④-310°是第一象限角.其中正确的命题有 (

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是_______.

2.给出下列四个命题：①-75°是第四象限角；②225°是第【解析】1.选C.①终边相同的角必相等错误，如0°与360°终边相同，但不相等；②锐角的范围为(0°，90°)，必是第一象限角，正确；③小于90°的角是锐角错误，如负角；④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120°是第二象限角，390°是第一象限角；⑤若角α的终边经过点M(0，-3)，则角α是终边在y轴负半轴上的角，故⑤错误.其中错误的是①③④⑤.【解析】1.选C.①终边相同的角必相等错误，如0°与360°2.选C.因为-90°<-75°<0°，所以-75°是第四象限角，正确；因为180°<225°<270°，所以225°是第三象限角，正确；因为360°+90°<475°<360°+180°，所以475°是第二象限角，错误；因为-360°<-310°<-270°，所以-310°是第一象限角，正确.所以这四个命题中有3个是正确的.3.分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了-120°.答案：-120°2.选C.因为-90°<-75°<0°，所以-75°是第四象【解题策略】根据角的概念解题的关键(1)准确理解各个象限内角的特点，逐个判断所在的象限.(2)钟表的旋转方向都是顺时针方向，所以所得的角应该是负角.【解题策略】【补偿训练】已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，则下面关系正确的是 (

)A.A=B=C

B.A⊆CC.A∩C=B D.B∪C⊆C【解析】选D.由已知得B⊆C，所以B∪C=C，故D正确.【补偿训练】已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={类型二终边相同的角的表示及应用(直观想象)【典例】写出终边落在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.类型二终边相同的角的表示及应用(直观想象)四步内容理解题意条件：角的终边在直线y=x上.结论：①求角的集合；②求适合-360°≤β<720°的角.思路探求①在0°～360°内找到终边在y=x上的角；②推广到任意角；③找出-360°≤β<720°内的角.四步内容理解条件：角的终边在直线y=x上.思路①在0°～36四步内容书写表达直线y=x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°，225°.①因此，终边在直线y=x上的角的集合：S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°，k∈Z}={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°，k∈Z}={β|β=45°+n·180°，n∈Z}.②所以S中适合-360°≤β<720°的元素是：45°-2×180°=-315°；45°-1×180°=-135°；45°+0×180°=45°；45°+1×180°=225°；45°+2×180°=405°；45°+3×180°=585°.注意解题过程的规范性：①终边在直线y=x上注意讨论两种情况.②这种形式的两个集合取并集时合并为一个集合.四步内容书写直线y=x与x轴的夹角是45°，在0°～360°四步内容题后反思在0°～360°范围内，终边在y=x上的角有两个，这是同学们容易忽视的地方；最后在-360°～720°求角时，要适当选取k的值.四步内容题后在0°～360°范围内，终边在y=x上的角有两个【解题策略】(1)一般地，可以将所给的角β化成k·360°+α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.特别提醒：表示终边相同的角时，k∈Z这一条件不能省略.【解题策略】【跟踪训练】

1.(2020·济南高一检测)下列各角中，与角30°终边相同的角是 (

)A.-390°

B.-330°C.330°

D.570°【解析】选B.与角30°终边相同的角的集合为{α|α=30°+k·360°，k∈Z}，取k=-1，可得α=-330°，所以与角30°终边相同的角是-330°.【跟踪训练】2.写出终边落在x轴上的角的集合S.【解析】S={α|α=k·360°，k∈Z}∪{α|α=k·360°+180°，k∈Z}={α|α=2k·180°，k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°，k∈Z}={α|α=n·180°，n∈Z}.2.写出终边落在x轴上的角的集合S.【拓展延伸】运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°+α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)k·360°与α之间用“+”连接，如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍.【拓展延伸】运用终边相同的角的注意点【拓展训练】写出与α=-1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.【拓展训练】【解析】与α=-1910°终边相同的角的集合为{β|β=k·360°-1910°，k∈Z}.因为-720°≤β<360°，即-720°≤k·360°-1910°<360°(k∈Z)，所以3≤k<6(k∈Z)，故取k=4，5，6.k=4时，β=4×360°-1910°=-470°；k=5时，β=5×360°-1910°=-110°；k=6时，β=6×360°-1910°=250°.【解析】与α=-1910°终边相同的角的集合为类型三象限角及其应用(直观想象)角度1用不等式组表示角的集合

【典例】如图所示.(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【思路导引】(1)根据题目给出的角度分别写出OA，OB表示的角.(2)根据阴影部分写出不等式，注意两个角的先后顺序.类型三象限角及其应用(直观想象)【解析】(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°，k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°，k∈Z}.(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°，k∈Z}.【解析】(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·3【变式探究】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.

【变式探究】【解析】设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.①{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°，k∈Z}.②{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°，k∈Z}.所以角α的集合应当是集合①与②的并集，即S={α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°，k∈Z}【解析】设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°，k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°，k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°，k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°，k∈Z}={α|n·180°+30°≤α<n·180°+105°，n∈Z}.∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°，角度2

nα或所在象限的判定

【典例】若α是第二象限角，则2α，分别是第几象限的角？【思路导引】根据已知条件，用不等式表示出α的范围，再求出nα或的范围，然后判定所在象限即可.角度2nα或所在象限的判定

【解析】(1)因为α是第二象限角，所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，所以180°+k·720°<2α<360°+k·720°，所以2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.【解析】(1)因为α是第二象限角，(2)因为α是第二象限角，所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，所以45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z).①当k=2n(n∈Z)时，45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z)，即是第一象限角；②当k=2n+1(n∈Z)时，225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z)，即是第三象限角.故是第一或第三象限角.(2)因为α是第二象限角，【解题策略】关于角nα或象限的确定(1)由α的范围，表示出nα，的范围，由n的取值确定象限.(2)特别地，求所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按顺序标记一，二，三，四，找到原象限数字即可.【解题策略】关于角nα或象限的确定【题组训练】1.角α=-60°+k·180°(k∈Z)的终边落在 (

)A.第四象限 B.第一、二象限C.第一象限 D.第二、四象限【解析】选D.令k=0，α=-60°，在第四象限；再令k=1，α=-60°+180°=120°，在第二象限.【题组训练】2.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_______.

【解析】观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°，k∈Z}.答案：{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°，k∈Z}2.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么3.若角α是第一象限角，则(1)-α是第_______象限角；

(2)是第_______象限角.

【解析】因为α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z).(1)-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z)，所以-α所在区域与(-90°，0°)范围相同，故-α是第四象限角.3.若角α是第一象限角，则(2)方法一(分类讨论)：k·120°<<k·120°+30°(k∈Z).当k=3n(n∈Z)时，n·360°<<n·360°+30°，所以是第一象限角；当k=3n+1(n∈Z)时，n·360°+120°<<n·360°+150°，(2)方法一(分类讨论)：k·120°<<k·120°所以是第二象限角；当k=3n+2(n∈Z)时，n·360°+240°<<n·360°+270°，所以是第三象限角.综上可知，是第一或第二或第三象限角.所以是第二象限角；方法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上1，2，3，4，则标有1的区域即为角的终边落在的区域，故为第一或第二或第三象限角.答案：(1)四(2)一或二或三方法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的正向【补偿训练】已知α为第一象限角，求180°-是第_______象限角.

【解析】因为α为第一象限角，所以k·360°<α<k·360°+90°，k∈Z，所以k·180°<<k·180°+45°，k∈Z，所以-45°-k·180°<-<-k·180°，k∈Z，所以135°-k·180°<180°-<180°-k·180°，k∈Z.【补偿训练】已知α为第一象限角，求180°-当k=2n(n∈Z)时，135°-n·360°<180°-<180°-n·360°，为第二象限角；当k=2n+1(n∈Z)时，-45°-n·360°<180°-<-n·360°，为第四象限角.所以180°-是第二或第四象限角.答案：二或四当k=2n(n∈Z)时，135°-n·360°<180°-课堂检测·素养达标1.在下列说法中，正确的是 (

)①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④-2000°是第二象限角.A.①②

B.③④

C.①③

D.②④课堂检测·素养达标1.在下列说法中，正确的是 ()【解析】选D.①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为-60°，所以①不正确.②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确.③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确.④-2000°=-6×360°+160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确.【解析】选D.①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°2.179°角是 (

)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】选B.179°是第二象限角.2.179°角是 ()3.(教材二次开发：练习改编)与-457°角终边相同的角的集合是 (

)A.{α|α=k·360°+457°，k∈Z}B.{α|α=k·360°+97°，k∈Z}C.{α|α=k·360°+263°，k∈Z}D.{α|α=k·360°-263°，k∈Z}【解析】选C.-457°=-2×360°+263°，所以与-457°角终边相同的角的集合是{α|α=k·360°+263°，k∈Z}.3.(教材二次开发：练习改编)与-457°角终边相同的角的集4.若角α=m·360°+60°，β=k·360°+120°(m，k∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是 (

)A.重合 B.关于原点对称C.关于x轴对称 D.关于y轴对称【解析】选D.角α的终边和60°角的终边相同，角β的终边与120°角终边相同，因为180°-120°=60°，所以角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称.4.若角α=m·360°+60°，β=k·360°+120°5.2021°角是第_______象限角.

【解析】因为2021°=5×360°+221°，因为221°角在第三象限，所以2021°是第三象限角.答案：三5.2021°角是第_______象限角.

任意角核心知识方法总结易错提醒核心素养角的概念、表示及分类象限角终边相同的角象限角的两种判断方法：（1）化成终边相同角的表示形式；（2）在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置求在给定范围内终边相同角的方法：写出终边相同的角的表示，根据给定范围建立关于k的不等式，解出k,根据k确定角终边相同的角中必须保证k是整数数学抽象：通过具体实例抽象出象限角、终边相同角的概念，培养数学抽象的核心素养任意角核心知识方法总结易错提醒核心素养角的概念、表示及分5.1.1任意角5.1.1任意角必备知识·自主学习导思1.体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”是什么意思？2.任意角可以分为哪几类？3.什么是终边相同的角？必备知识·自主学习导思1.体操中“前空翻转体540度”“后1.任意角(1)角的分类类型定义图示正角一条射线绕其端点，按_______方向旋转形成的角

负角一条射线绕其端点，按_______方向旋转形成的角

零角一条射线没有做任何旋转

逆时针顺时针1.任意角类型定义图示正一条射线绕其端点，按_______方(2)本质：将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角.(3)应用：可以定义任意的旋转角.(2)本质：将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到2.象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的_________重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是___________.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角(1)定义：所有与角α终边相同的角，连同角α在内.(2)表示：集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.(3)本质：表示成角α与整数个周角的和.非负半轴第几象限角2.象限角非负半轴第几象限角【思考】反过来，若角α，β满足S={β|β=α+k·360°，k∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角？提示：当角α，β满足S={β|β=α+k·360°，k∈Z}时，表示成角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同.【思考】反过来，若角α，β满足S={β|β=α+k·360°【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)经过1小时，时针转过30°. (

)(2)终边与始边重合的角是零角. (

)(3)第二象限的角是钝角. (

)提示：(1)×，因为是顺时针旋转，所以时针转过-30°.(2)×，终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).(3)×，钝角是第二象限的角，但第二象限角不一定是钝角.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)2.与45°角终边相同的角是 (

)A.-45°

B.225°

C.395°

D.-315°【解析】选D.与45°角终边相同的角可以表示为45°+k·360°，k∈Z，结合四个选项可以发现只有答案D符合题意.2.与45°角终边相同的角是 ()3.(教材二次开发：例题改编)已知0°≤α<360°，且α与600°角终边相同，则α=_______，它是第_______象限角.

【解析】因为600°=360°+240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°<360°，故α=240°，它是第三象限角.答案：240°三3.(教材二次开发：例题改编)已知0°≤α<360°，且α与关键能力·合作学习类型一任意角的概念及应用(数学抽象)【题组训练】

1.(2020·杭州高一检测)下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于90°的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角α的终边经过点M(0，-3)，则角α是第三或第四象限的角，其中错误的是 (

)A.③④⑤

B.①③④

C.①③④⑤

D.②③④⑤关键能力·合作学习类型一任意角的概念及应用(数学抽象)2.给出下列四个命题：①-75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第三象限角；④-310°是第一象限角.其中正确的命题有 (

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是_______.

2.给出下列四个命题：①-75°是第四象限角；②225°是第【解析】1.选C.①终边相同的角必相等错误，如0°与360°终边相同，但不相等；②锐角的范围为(0°，90°)，必是第一象限角，正确；③小于90°的角是锐角错误，如负角；④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120°是第二象限角，390°是第一象限角；⑤若角α的终边经过点M(0，-3)，则角α是终边在y轴负半轴上的角，故⑤错误.其中错误的是①③④⑤.【解析】1.选C.①终边相同的角必相等错误，如0°与360°2.选C.因为-90°<-75°<0°，所以-75°是第四象限角，正确；因为180°<225°<270°，所以225°是第三象限角，正确；因为360°+90°<475°<360°+180°，所以475°是第二象限角，错误；因为-360°<-310°<-270°，所以-310°是第一象限角，正确.所以这四个命题中有3个是正确的.3.分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了-120°.答案：-120°2.选C.因为-90°<-75°<0°，所以-75°是第四象【解题策略】根据角的概念解题的关键(1)准确理解各个象限内角的特点，逐个判断所在的象限.(2)钟表的旋转方向都是顺时针方向，所以所得的角应该是负角.【解题策略】【补偿训练】已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，则下面关系正确的是 (

)A.A=B=C

B.A⊆CC.A∩C=B D.B∪C⊆C【解析】选D.由已知得B⊆C，所以B∪C=C，故D正确.【补偿训练】已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={类型二终边相同的角的表示及应用(直观想象)【典例】写出终边落在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.类型二终边相同的角的表示及应用(直观想象)四步内容理解题意条件：角的终边在直线y=x上.结论：①求角的集合；②求适合-360°≤β<720°的角.思路探求①在0°～360°内找到终边在y=x上的角；②推广到任意角；③找出-360°≤β<720°内的角.四步内容理解条件：角的终边在直线y=x上.思路①在0°～36四步内容书写表达直线y=x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°，225°.①因此，终边在直线y=x上的角的集合：S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°，k∈Z}={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°，k∈Z}={β|β=45°+n·180°，n∈Z}.②所以S中适合-360°≤β<720°的元素是：45°-2×180°=-315°；45°-1×180°=-135°；45°+0×180°=45°；45°+1×180°=225°；45°+2×180°=405°；45°+3×180°=585°.注意解题过程的规范性：①终边在直线y=x上注意讨论两种情况.②这种形式的两个集合取并集时合并为一个集合.四步内容书写直线y=x与x轴的夹角是45°，在0°～360°四步内容题后反思在0°～360°范围内，终边在y=x上的角有两个，这是同学们容易忽视的地方；最后在-360°～720°求角时，要适当选取k的值.四步内容题后在0°～360°范围内，终边在y=x上的角有两个【解题策略】(1)一般地，可以将所给的角β化成k·360°+α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.特别提醒：表示终边相同的角时，k∈Z这一条件不能省略.【解题策略】【跟踪训练】

1.(2020·济南高一检测)下列各角中，与角30°终边相同的角是 (

)A.-390°

B.-330°C.330°

D.570°【解析】选B.与角30°终边相同的角的集合为{α|α=30°+k·360°，k∈Z}，取k=-1，可得α=-330°，所以与角30°终边相同的角是-330°.【跟踪训练】2.写出终边落在x轴上的角的集合S.【解析】S={α|α=k·360°，k∈Z}∪{α|α=k·360°+180°，k∈Z}={α|α=2k·180°，k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°，k∈Z}={α|α=n·180°，n∈Z}.2.写出终边落在x轴上的角的集合S.【拓展延伸】运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°+α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)k·360°与α之间用“+”连接，如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍.【拓展延伸】运用终边相同的角的注意点【拓展训练】写出与α=-1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.【拓展训练】【解析】与α=-1910°终边相同的角的集合为{β|β=k·360°-1910°，k∈Z}.因为-720°≤β<360°，即-720°≤k·360°-1910°<360°(k∈Z)，所以3≤k<6(k∈Z)，故取k=4，5，6.k=4时，β=4×360°-1910°=-470°；k=5时，β=5×360°-1910°=-110°；k=6时，β=6×360°-1910°=250°.【解析】与α=-1910°终边相同的角的集合为类型三象限角及其应用(直观想象)角度1用不等式组表示角的集合

【典例】如图所示.(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【思路导引】(1)根据题目给出的角度分别写出OA，OB表示的角.(2)根据阴影部分写出不等式，注意两个角的先后顺序.类型三象限角及其应用(直观想象)【解析】(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°，k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°，k∈Z}.(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°，k∈Z}.【解析】(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·3【变式探究】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.

【变式探究】【解析】设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.①{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°，k∈Z}.②{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°，k∈Z}.所以角α的集合应当是集合①与②的并集，即S={α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°，k∈Z}【解析】设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°，k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°，k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°，k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°，k∈Z}={α|n·180°+30°≤α<n·180°+105°，n∈Z}.∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°，角度2

nα或所在象限的判定

【典例】若α是第二象限角，则2α，分别是第几象限的角？【思路导引】根据已知条件，用不等式表示出α的范围，再求出nα或的范围，然后判定所在象限即可.角度2nα或所在象限的判定

【解析】(1)因为α是第二象限角，所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，所以180°+k·720°<2α<360°+k·720°，所以2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.【解析】(1)因为α是第二象限角，(2)因为α是第二象限角，所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，所以45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z).①当k=2n(n∈Z)时，45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z)，即是第一象限角；②当k=2n+1(n∈Z)时，225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z)，即是第三象限角.故是第一或第三象限角.(2)因为α是第二象限角，【解题策略】关于角nα或象限的确定(1)由α的范围，表示出nα，的范围，由n的取值确定象限.(2)特别地，求所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按顺序标记一，二，三，四，找到原象限数字即可.【解题策略】关于角nα或象限的确定【题组训练】1.角α=-60°+k·180°(k∈Z)的终边落在 (

)A.第四象限 B.第一、二象限C.第一象限 D.第二、四象限【解析】选D.令k=0，α=-60°，在第四象限；再令k=1，α=-60°+180°=120°，在第二象限.【题组训练】2.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_______.

【解析】观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°，k∈Z}.答案：{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°，k∈Z}2.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么3.若角α是第一象限角，则(1)-α是第_______象限角；

(2)是第_______象限角.

【解析】因为α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z).(1)-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z)，所以-α所在区域与(-90°，0°)范围相同，故-α是第四象限角.3.若角α是第一象限角，则(2)方法一(分类讨论)：k·120°<<k·120°+30°(k∈Z).当k=3n(n∈Z)时，n·360°<<n·360°+30°，所以是第一象限角；当k=3n+1(n∈Z)时，n·360°+120°<<n·360°+150°，(2)方法一(分类讨论)：k·120°<<k·120°所以是第二象限角；当k=3n+2(n∈Z)时，n·360°+240°<<n·360°+270°，所以是第三象限角.综上可知，是第一或第二或第三象限角.所以是第二象限角；方法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上1，2，3，4，则标有1的区域即为角的终边落在的区域，故为第一或第二或第三象限角.答案：(1)四(2)一或二或三方法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的正向【补偿训练】已知α