微积分第四版微分方程与差分方程简介课件

第九章微分方程与差分方程简介第九章微分方程与1第一节微分方程的一般概念在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学与管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关系.在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身，而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才有可能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程.在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念，还要学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法以及它们的简单应用.第一节微分方程的一般概念在工程技术，力学与物理学等自2定义含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程.定义出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数，称为微分方程的阶.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本书中只讨论常微分方程，如下例：一阶二阶一阶定义含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数的若干阶导数3定义使方程成为恒等式的函数称微分方程的解。微分方程的解的分类：(1)通解：微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同。(2)特解：不含任意常数的解。定解条件：用来确定任意常数的条件。定义使方程成为恒等式的函数称微分方程的解。微分方程的解的4初始条件：规定微分方程中的未知函数及其若干阶导数在某一点处的取值。过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。初始条件：规定微分方程中的未知函数及其若干阶导数在某一点处的5解例设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。设曲线方程为根据题意知(1,3)解例设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率6第二节一阶微分方程引例微分方程两边积分即可。分离变量，改写成两边积分，通解为(一)可分离变量的一阶微分方程第二节一阶微分方程引例微分方程两边积分即可。分离变量，改7(一)可分离变量的一阶微分方程为微分方程的通解。两边积分,为可分离变量的方程。称则第二节一阶微分方程(一)可分离变量的一阶微分方程为微分方程的通解。两边积分,为8可分离的微分方程的解法

(1)分离变量

g(y)dyf(x)dx

(2)两边同时积分

其中c是任意常数

这就是可分离变量微分方程的通解

可分离的微分方程的解法其中c是任意常数这就是可分离变量9解例解例10解可简写为：例解可简写为：例11解练习解练习12解例解例13为所求通解.解例为所求通解.解例14解例分离变量，两边积分通解为

所求特解为数学建模解例分离变量，两边积分通解为所求特解为数学建模15(二)齐次方程的微分方程称为齐次方程。形如例如可化为可化为(二)齐次方程的微分方程称为齐次方程。形如例如可化为可化为16齐次方程的解法

齐次方程的解法17例解此题不能分离变量,

是齐次方程,例解此题不能分离变量,是齐次方程,18例解原方程变形为

例解原方程变形为19微积分第四版微分方程与差分方程简介课件20练习解是齐次方程,原方程变形为

练习解是齐次方程,原方程变形为21微积分第四版微分方程与差分方程简介课件22(三)一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:上述方程称为齐次的.上述方程称为非齐次的.例如线性的,非齐次非线性的.(三)一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:上述方程称23齐次方程的通解为1、线性齐次方程一阶线性微分方程的解法：使用分离变量法齐次方程的通解为1、线性齐次方程一阶线性微分方程的解法：使用242、线性非齐次方程常数变易法：作变换积分得所以原方程的通解为:2、线性非齐次方程常数变易法：作变换积分得所以原方程的通解为25解例通解为

解例通解为26解例通解为

解例通解为27解方程改写为所以所求解为

一阶线性方程，例解方程改写为所以所求解为一阶线性方程，例28解这是一阶线性微分方程，通解为

练习解这是一阶线性微分方程，通解为练习29解例解例30数学建模--价格调整模型

设某商品的价格主要取决于市场供求关系，或者说供给量S与需求量D只与该商品的价格p有关。设数学建模--价格调整模型设某商品的价格主要取决于市场供求关31其中k为正的常数，用来反映价格的调整速度。

于是上述价格调整模型的解为其中k为正的常数，用来反映价格的调整速度。于是上述价格32第三节几种二阶微分方程(一)最简单的二阶微分方程解例解法：两边积分两次即可。形如积分一次得再积分一次，得通解为第三节几种二阶微分方程(一)最简单的二阶微分方程解例解法33(二)一阶微分方程解例(二)一阶微分方程解例34解练习这是一阶线性微分方程，通解为

所以原方程通解为解练习这是一阶线性微分方程，通解为所以原方程通解为35(三)把y

视为自变量(三)把y视为自变量36解例代入原方程,得

积分得通解为

解例代入原方程,得积分得通解为37积分得通解为

本题还可用下面的简单解法：解例积分得通解为本题还可用下面的简单解法：解例38解练习代入原方程,得

解练习代入原方程,得39微积分第四版微分方程与差分方程简介课件40第四节二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性齐次微分方程其中p,q是常数.二阶常系数线性非齐次微分方程第四节二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性齐次微分方程其41(一)二阶常系数齐次线性方程解的性质及求解法1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；证所以(一)二阶常系数齐次线性方程解的性质及求解法1、方程(1)的422、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解。证所以(一)二阶常系数齐次线性方程解的性质及求解法1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解。证所以(一43也是(1)的解，(称线性无关),则上式为(1)的通解.定理12、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解。(一)二阶常系数齐次线性方程解的性质及求解法1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；也是(1)的解，(称线性无关),则上式为(1)的通解.定理144代数方程(3)称为微分方程(1)的特征方程，它的根称为特征根.

代数方程(3)称为微分方程(1)的特征方程，它的根称为特征根45情形1

则特征方程(3)有两个相异的实根

故它们线性无关,

因此(1)的通解为

情形1则特征方程(3)有两个相异的实根故它们线性无关,46情形2

需要求另一个特解则特征方程(3)有两个相等的实根

于是(1)的通解为

情形2需要求另一个特解则特征方程(3)有两个相等的实根于47由欧拉公式知，情形3

则特征方程(3)有一对共轭复根

仍然是(1)的解,

且线性无关,

所以方程(1)的通解为

由叠加原理,

由欧拉公式知，情形348二阶常系数线性齐次微分方程的解法：特征方程特征根的情况通解的表达式二阶常系数线性齐次微分方程的解法：特征方程特征根的情况通解49解特征方程为故所求通解为例例解特征方程为解得故所求通解为特征根为解特征方程为故所求通解为例例解特征方程为解得故所求通解为特征50解特征方程为故通解为例特征根为解特征方程为故通解为例特征根为51训练：求下列微分方程的通解解解方程通解为特征方程特征根解通解为通解为训练：求下列微分方程的通解解解方程通解为特征方程特征根解通解52(二)二阶常系数非齐次线性方程解的性质及解法1、方程(2)的任意两个解的差是(1)的解；证所以(二)二阶常系数非齐次线性方程解的性质及解法1、方程(2)的532、方程(1)的一个解加上方程(2)的一个解是(2)的解.证所以(二)二阶常系数非齐次线性方程解的性质及解法2、方程(1)的一个解加上方程(2)的一个解是(2)的解.证54对应齐次方程定理2那么方程(2)的通解为问题归结为求方程(2)的一个特解。只讨论

f

(x)的两种类型。用待定系数法求解。二阶常系数非齐次线性方程的解法：对应齐次方程定理2那么方程(2)的通解为问题归结为求方程(255则则56情形1

若λ

不是特征根,

即情形2

若λ

是特征方程的单根,即情形1若λ不是特征根,即情形2若λ是特征方程的单根57情形3

若λ是特征方程的二重根,即情形3若λ是特征方程的二重根,即58综上讨论设特解为其中综上讨论设特解为其中59解对应齐次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得

设特解为解对应齐次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得设特解为60解对应齐次方程通解特征方程特征根练习代入原方程,得

设特解为解对应齐次方程通解特征方程特征根练习代入原方程,得设特解为61例解例解62解对应齐次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得所以设特解为解对应齐次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得所以设特解63注意：现即即得这样比代入原方程要简便得多。解对应齐次方程通解特征方程特征根例所以设特解为注意：现即即得这样比代入原方程要简便得多。解对应齐次方程通解64训练：求下列微分方程的通解解对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得训练：求下列微分方程的通解解对应齐次方程通解特征方程特征根代65解对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得解对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得66解对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得解对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得67可以证明，方程(2)具有如下形式的特解：可以证明，方程(2)具有如下形式的特解：68解例所求通解为

对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

解例所求通解为对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得69解例所求通解为

对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

解例所求通解为对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得70训练解对应齐次方程的通解为

所以设特解为训练解对应齐次方程的通解为所以设特解为71第五节差分方程的一般概念微分方程刻划了自变量

x是连续变化的过程中变量

y的变化率，在现代科学技术和经济领域中，有些自变量往往不是连续变化的，而是取一系列离散的值,例如按年、月、日等，此时要描述这种自变量是离散的变化关系就是本节要介绍的差分方程。显然微分方程和差分方程是两类不同的方程，但它们有许多共同点，因此与微分方程对照，采用类比的方法是学习差分方程有效的方法。第五节差分方程的一般概念微分方程刻划了自变量x是72(一)差分概念

一阶差分：三阶差分：(一)差分概念一阶差分：三阶差分：73一般地，k

阶差分定义为例1一般地，k阶差分定义为例174(二)差分方程的一般概念

定义(二)差分方程的一般概念定义75差分方程的解：定义若一个函数代入差分方程后，方程两边恒等，则称此函数为该差分方程的解。若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个数恰好等于差分方程的阶数，则称该解为差分方程的通解。差分方程满足初始条件的解称为该问题的特解。差分方程的解：定义若一个函数代入差分方程后，方程两边恒76第六节一阶和二阶常系数线性差分方程(一)一阶常系数线性差分方程标准形式时有定义。为一阶常系数齐次线性差分方程，否则，称为一阶常系数非齐次线性差分方程。(1)(2)(2)称为(1)对应的齐次线性差分方程。第六节一阶和二阶常系数线性差分方程(一)一阶常系数线性差分77(1)(2)不难证明，(2)的通解为C为任意常数.可以证明,一阶常系数线性差分方程的通解与一阶线性微分方程有相同的结构，即有定理(一阶常系数线性差分方程通解的结构)一阶常系数线性差分方程(1)的通解可表示为(1)(2)不难证明，(2)的通解为C为任意常数.78当

f(x)是多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和差或乘积时，一般可用待定系数法求(2)的一个特解.讨论三种情形：情形1情形2情形3当f(x)是多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以79例1的通解.解代入方程得得特解为从而通解为C为任意常数.例1的通解.解代入方程得得特解为从而通解为C为任意常数.80代入方程得例2的通解.解没有这样的特解。代入方程得例2的通解.解没有这样的特解。81例2的通解.解代入方程得得特解为从而通解为C为任意常数.例2的通解.解代入方程得得特解为从而通解为C为任意常数.82系数

a

的取值系数a的取值83代入方程得例3解得特解为从而通解为C为任意常数.代入方程得例3解得特解为从而通解为C为任意常数.84代入方程得不存在这样的特解。例4解代入方程得不存在这样的特解。例4解85代入方程得例4解得特解为从而通解为C为任意常数.代入方程得例4解得特解为从而通解为C为任意常数.86d与系数

a

的关系d与系数a的关系87代入方程得例5解得特解为通解为C为任意常数。代入方程得例5解得特解为通解为C为任意常数。88如果所给差分方程不是标准形式的，必须首先把它化为标准形式才能应用上面给出的通解公式和选取特解的有关结论.如果所给差分方程不是标准形式的，必须首先把它化为标准89(二)二阶常系数线性差分方程标准形式时有定义.为二阶常系数齐次线性差分方程，否则，称为二阶常系数非齐次线性差分方程.(1)(2)(2)称为(1)对应的齐次线性差分方程.(二)二阶常系数线性差分方程标准形式时有定义.为二阶常90二阶常系数齐次差分线性方程解的性质1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；也是(2)的解.(称线性无关),则上式为(2)的通解.定理1(2)二阶常系数齐次差分线性方程解的性质1、方程(2)的任意两个解91对应齐次方程二阶常系数非齐次线性差分方程解的性质1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解；2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解

。定理2那么方程(1)的通解为(1)(2)对应齐次方程二阶常系数非齐次线性差分方程解的性质1、方程(192二阶常系数齐次线性差分方程的解法代数方程(3)称为差分方程(2)的特征方程,它的根称为特征根(或特征值).

(3)(2)二阶常系数齐次线性差分方程的解法代数方程(3)称为差93故它们线性无关,

因此(2)的通解为

(3)情形1

故它们线性无关,因此(2)的通解为(3)情形194情形2

则特征方程(3)有两个相等的实根

于是(2)的通解为

情形2则特征方程(3)有两个相等的实根于是(2)的通解为95情形3

可以证明,是(2)的解，且线性无关，所以方程(2)的通解为

则特征方程(3)有一对共轭复根

其中情形3可以证明,是(2)的解，且线性无关，所以方程(2)的96小结特征根的情况通解的表达式实根实根复根小结特征根的情况通解的表达式实根实根复根97解特征方程为故所求通解为例1例2解特征方程为解得故所求通解为特征根为解特征方程为故所求通解为例1例2解特征方程为解得故所求通解为98解特征方程为故所求通解为例3解特征方程为故所求通解为例399二阶常系数非齐次线性差分方程的解法(1)对应齐次方程那么方程(1)的通解为(2)问题归结为求方程(1)的一个特解。用待定系数法求解。二阶常系数非齐次线性差分方程的解法(1)对应齐次方程那么方程100微积分第四版微分方程与差分方程简介课件101解已求出对应齐次方程的通解为故原方程通解为例4代入原差分方程得解已求出对应齐次方程的通解为故原方程通解为例4代入原差分方程102解已求出对应齐次方程的通解为故原方程通解为例5代入原差分方程得解已求出对应齐次方程的通解为故原方程通解为例5代入原差分方程103解所以对应齐次方程的通解为故原方程通解为例6代入原差分方程得特征方程为特征根为解所以对应齐次方程的通解为故原方程通解为例6代入原差分方程得104解所以对应齐次方程的通解为故原方程通解为例7代入原差分方程得特征方程为特征根为解所以对应齐次方程的通解为故原方程通解为例7代入原差分方程得105ENDENDENDEND106第九章微分方程与差分方程简介第九章微分方程与107第一节微分方程的一般概念在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学与管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关系.在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身，而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才有可能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程.在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念，还要学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法以及它们的简单应用.第一节微分方程的一般概念在工程技术，力学与物理学等自108定义含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程.定义出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数，称为微分方程的阶.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本书中只讨论常微分方程，如下例：一阶二阶一阶定义含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数的若干阶导数109定义使方程成为恒等式的函数称微分方程的解。微分方程的解的分类：(1)通解：微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同。(2)特解：不含任意常数的解。定解条件：用来确定任意常数的条件。定义使方程成为恒等式的函数称微分方程的解。微分方程的解的110初始条件：规定微分方程中的未知函数及其若干阶导数在某一点处的取值。过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。初始条件：规定微分方程中的未知函数及其若干阶导数在某一点处的111解例设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。设曲线方程为根据题意知(1,3)解例设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率112第二节一阶微分方程引例微分方程两边积分即可。分离变量，改写成两边积分，通解为(一)可分离变量的一阶微分方程第二节一阶微分方程引例微分方程两边积分即可。分离变量，改113(一)可分离变量的一阶微分方程为微分方程的通解。两边积分,为可分离变量的方程。称则第二节一阶微分方程(一)可分离变量的一阶微分方程为微分方程的通解。两边积分,为114可分离的微分方程的解法

(1)分离变量

g(y)dyf(x)dx

(2)两边同时积分

其中c是任意常数

这就是可分离变量微分方程的通解

可分离的微分方程的解法其中c是任意常数这就是可分离变量115解例解例116解可简写为：例解可简写为：例117解练习解练习118解例解例119为所求通解.解例为所求通解.解例120解例分离变量，两边积分通解为

所求特解为数学建模解例分离变量，两边积分通解为所求特解为数学建模121(二)齐次方程的微分方程称为齐次方程。形如例如可化为可化为(二)齐次方程的微分方程称为齐次方程。形如例如可化为可化为122齐次方程的解法

齐次方程的解法123例解此题不能分离变量,

是齐次方程,例解此题不能分离变量,是齐次方程,124例解原方程变形为

例解原方程变形为125微积分第四版微分方程与差分方程简介课件126练习解是齐次方程,原方程变形为

练习解是齐次方程,原方程变形为127微积分第四版微分方程与差分方程简介课件128(三)一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:上述方程称为齐次的.上述方程称为非齐次的.例如线性的,非齐次非线性的.(三)一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:上述方程称129齐次方程的通解为1、线性齐次方程一阶线性微分方程的解法：使用分离变量法齐次方程的通解为1、线性齐次方程一阶线性微分方程的解法：使用1302、线性非齐次方程常数变易法：作变换积分得所以原方程的通解为:2、线性非齐次方程常数变易法：作变换积分得所以原方程的通解为131解例通解为

解例通解为132解例通解为

解例通解为133解方程改写为所以所求解为

一阶线性方程，例解方程改写为所以所求解为一阶线性方程，例134解这是一阶线性微分方程，通解为

练习解这是一阶线性微分方程，通解为练习135解例解例136数学建模--价格调整模型

设某商品的价格主要取决于市场供求关系，或者说供给量S与需求量D只与该商品的价格p有关。设数学建模--价格调整模型设某商品的价格主要取决于市场供求关137其中k为正的常数，用来反映价格的调整速度。

于是上述价格调整模型的解为其中k为正的常数，用来反映价格的调整速度。于是上述价格138第三节几种二阶微分方程(一)最简单的二阶微分方程解例解法：两边积分两次即可。形如积分一次得再积分一次，得通解为第三节几种二阶微分方程(一)最简单的二阶微分方程解例解法139(二)一阶微分方程解例(二)一阶微分方程解例140解练习这是一阶线性微分方程，通解为

所以原方程通解为解练习这是一阶线性微分方程，通解为所以原方程通解为141(三)把y

视为自变量(三)把y视为自变量142解例代入原方程,得

积分得通解为

解例代入原方程,得积分得通解为143积分得通解为

本题还可用下面的简单解法：解例积分得通解为本题还可用下面的简单解法：解例144解练习代入原方程,得

解练习代入原方程,得145微积分第四版微分方程与差分方程简介课件146第四节二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性齐次微分方程其中p,q是常数.二阶常系数线性非齐次微分方程第四节二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性齐次微分方程其147(一)二阶常系数齐次线性方程解的性质及求解法1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；证所以(一)二阶常系数齐次线性方程解的性质及求解法1、方程(1)的1482、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解。证所以(一)二阶常系数齐次线性方程解的性质及求解法1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解。证所以(一149也是(1)的解，(称线性无关),则上式为(1)的通解.定理12、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解。(一)二阶常系数齐次线性方程解的性质及求解法1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；也是(1)的解，(称线性无关),则上式为(1)的通解.定理1150代数方程(3)称为微分方程(1)的特征方程，它的根称为特征根.

代数方程(3)称为微分方程(1)的特征方程，它的根称为特征根151情形1

则特征方程(3)有两个相异的实根

故它们线性无关,

因此(1)的通解为

情形1则特征方程(3)有两个相异的实根故它们线性无关,152情形2

需要求另一个特解则特征方程(3)有两个相等的实根

于是(1)的通解为

情形2需要求另一个特解则特征方程(3)有两个相等的实根于153由欧拉公式知，情形3

则特征方程(3)有一对共轭复根

仍然是(1)的解,

且线性无关,

所以方程(1)的通解为

由叠加原理,

由欧拉公式知，情形3154二阶常系数线性齐次微分方程的解法：特征方程特征根的情况通解的表达式二阶常系数线性齐次微分方程的解法：特征方程特征根的情况通解155解特征方程为故所求通解为例例解特征方程为解得故所求通解为特征根为解特征方程为故所求通解为例例解特征方程为解得故所求通解为特征156解特征方程为故通解为例特征根为解特征方程为故通解为例特征根为157训练：求下列微分方程的通解解解方程通解为特征方程特征根解通解为通解为训练：求下列微分方程的通解解解方程通解为特征方程特征根解通解158(二)二阶常系数非齐次线性方程解的性质及解法1、方程(2)的任意两个解的差是(1)的解；证所以(二)二阶常系数非齐次线性方程解的性质及解法1、方程(2)的1592、方程(1)的一个解加上方程(2)的一个解是(2)的解.证所以(二)二阶常系数非齐次线性方程解的性质及解法2、方程(1)的一个解加上方程(2)的一个解是(2)的解.证160对应齐次方程定理2那么方程(2)的通解为问题归结为求方程(2)的一个特解。只讨论

f

(x)的两种类型。用待定系数法求解。二阶常系数非齐次线性方程的解法：对应齐次方程定理2那么方程(2)的通解为问题归结为求方程(2161则则162情形1

若λ

不是特征根,

即情形2

若λ

是特征方程的单根,即情形1若λ不是特征根,即情形2若λ是特征方程的单根163情形3

若λ是特征方程的二重根,即情形3若λ是特征方程的二重根,即164综上讨论设特解为其中综上讨论设特解为其中165解对应齐次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得

设特解为解对应齐次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得设特解为166解对应齐次方程通解特征方程特征根练习代入原方程,得

设特解为解对应齐次方程通解特征方程特征根练习代入原方程,得设特解为167例解例解168解对应齐次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得所以设特解为解对应齐次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得所以设特解169注意：现即即得这样比代入原方程要简便得多。解对应齐次方程通解特征方程特征根例所以设特解为注意：现即即得这样比代入原方程要简便得多。解对应齐次方程通解170训练：求下列微分方程的通解解对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得训练：求下列微分方程的通解解对应齐次方程通解特征方程特征根代171解对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得解对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得172解对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得解对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得173可以证明，方程(2)具有如下形式的特解：可以证明，方程(2)具有如下形式的特解：174解例所求通解为

对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

解例所求通解为对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得175解例所求通解为

对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

解例所求通解为对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得176训练解对应齐次方程的通解为

所以设特解为训练解对应齐次方程的通解为所以设特解为177第五节差分方程的一般概念微分方程刻划了自变量

x是连续变化的过程中变量

y的变化率，在现代科学技术和经济领域中，有些自变量往往不是连续变化的，而是取一系列离散的值,例如按年、月、日等，此时要描述这种自变量是离散的变化关系就是本节要介绍的差分方程。显然微分方程和差分方程是两类不同的方程，但它们有许多共同点，因此与微分方程对照，采用类比的方法是学习差分方程有效的方法。第五节差分方程的一般概念微分方程刻划了自变量x是178(一)差分概念

一阶差分：三阶差分：(一)差分概念一阶差分：三阶差分：179一般地，k

阶差分定义为例1一般地，k阶差分定义为例1180(二)差分方程的一般概念

定义(二)差分方程的一般概念定义181差分方程的解：定义若一个函数代入差分方程后，方程两边恒等，则称此函数为该差分方程的解。若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个数恰好等于差分方程的阶数，则称该解为差分方程的通解。差分方程满足初始条件的解称为该问题的特解。差分方程的解：定义若一个函数代入差分方程后，方程两边恒182第六节一阶和二阶常系数线性差分方程(一)一阶常系数线性差分方程标准形式时有定义。为一阶常系数齐次线性差分方程，否则，称为一阶常系数非齐次线性差分方程。(1)(2)(2)称为(1)对应的齐次线性差分方程。第六节一阶和二阶常系数线性差分方程(一)一阶常系数线性差分183(1)(2)不难证明，(2)的通解为C为任意常数.可以证明,一阶常系数线性差分方程的通解与一阶线性微分方程有相同的结构，即有定理(一阶常系数线性差分方程通解的结构)一阶常系数线性差分方程(1)的通解可表示为(1)(2)不难证明，(2)的通解为C为任意常数.184当

f(x)是多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和差或乘积时，一般可用待定系数法求(2)的一个特解.讨论三种情形：情形1情形2情形3当f(x)是多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以185例1的通解.解代入方程得得特解为从而通解为C为任意常数.例1的通解.解代入方程得得特解为从而通解为C为任意常数.186代入方程得例2的通解.解没有这样的特解。代入方程得例2的通解.解没有这样的特解。187例2的通解.解代入方程得得特解为从而通解为C为任意常数.例2的通解.解代入方程得得特解为从而通解为C为任意常数.188系数

a

的取值系数a的取值189代入方程得例3解得特解为从而通解为C为任意常数.代入方程得例3解得特解为从而通解为C为任意常数.190代入方程得不存在这样的特解。例4解代入方程得不存在这样的特解。例4解191代入方程得例4解得特解为从而通解为C为任意常数.代入方程得例4解得特解为从而通解为C为任意常数.192d与系数

a

的关系d与系数a的关系193代入方程得例5解得特解为通解为C为任意常