小学数学讲义暑假六年级超常第2讲韩信点兵

第二讲第二讲韩信点兵知识站牌的最值级暑期的计数

六年级暑期信点兵级春季总结利用逐步满足法解决问题的相关技巧漫画释义第11级上超常体系教师版 课堂引入（又称“物不知数题”）编写而成的．原来的题目是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？”通俗的说就是：3个；七个七个地数，也会剩下2个．这些物品的数量至少是多少个？在我们的“数海拾贝”版块中，“版块中，但至于怎么算的，无法考究，不过学完本讲，你会发现解此题的最好最快的方法，你也会理解韩信说出另一个答案的真正道理．那就进入我们今天要学的课程吧．教学目标1.理解“物不知数”这类题目的实质2.灵活运用逐步满足法解决“物不知数”这类题目的相关技巧经典精讲“求这个数这样的问题有人称为韩信点兵．它形成了一类问题的方法是由中国人，“解决这一类问题的时候我们有四大绝招把余数问题转化为整除问题绝招一：减同余．例如AaBbd,则有Nd[A,B]n，而N的最小值是N[A,B]d;绝招二：加同补．例如：AaBbe;则有Ne[A,B]n，而N的最小值是N[A,B]e;绝招三：中国剩余定理．绝招四：逐步满足法．2第11级上超常体系教师版第二讲例题思路模块一：除数为两个的韩信点兵问题模块二：除数为三个的韩信点兵问题模块三：除数为三个以上的韩信点兵问题例8.除数与余数的差或和无关系例1()【分析】[4,7]331，[4,7]2359，[4,7]3387，例2【分析】根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于11813103，可知这个数加上3后就能同时被11和13整除，而11,13143，这个数又要在200以内，所以这个数是1433140．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外例3 以满足前两个条件的自然数为a835m，下一步只需要a除以9余4，35938，只需88m除以9余4，只需8m除以9余5，最小的m4，因此满足所有条件的最小自然数为8354148第11级上超常体系教师版 例4按10块一份来分，最后剩下4块．这堆糖至少有 块．（学案对应：带号2）知数《》“”：有物不知其数三三数之剩二五五数之剩三七七数之剩二问物几何即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数．宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》做出了完整的解答．孙子歌三人同行七十稀，五树梅花廿一支七子团圆正半月，百零五使得知倒数21，3和5的最小公倍数15相对于7的数论倒数15．然后702213152233便是可例5一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．（学案对应：超常3）【分析】方法一：我们先找出被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，…；2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，…；3，10，17，24，31，38，45，52，…；和1200之间．结果是10510521102．4第11级上超常体系教师版第二讲与52，所以满足前面两个条件的a15m7(m为自然数)，只需15m7除以7余3，即15m除以7余3，而15721，只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为315752，那么这个数在1000和1200之间，应该是10510521102．例6（2008年“奥数网杯”六年级试题）9 【分析】如果以这三个连续的自然数中的某一个为基础，比如以中间的那个数为基础，那么另外的4也可以采用中国剩余定理来解．方法一：逐步满足法．除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，；除以9余8的数有：8，17，26，．可见同时满足这两条的数最小为17， 经尝试n4可见同时满足这两条17那么满足除以4余1且除以9余8的数为1736n，要求1736n能被7整除的最最小为1613483．方法二：代数表示法．根据题意，设这三个数分别为7k1、7k、7k1（k是整数），那么7k1是4的倍数，7k1是9的倍数，由于7k18kk1，7k19k2k1，所以k1是4的倍数，2k1是9的倍数，由k1是4的倍数知2k2是8的倍数，相应地k最小为23，那么这三个自然数的和最小为7233483．方法三：用不定方程来解．设这三个数分别为4a，7b，9c，那么由⑴得

b

由⑵得

7b1

bb1

是整数，b为5，14，23，32，．可见b最小为23，那么所求的三个自然数的和最小为7233483．方法四：中国剩余定理．一个数除以4余1，除以9余8，除以7余0，由于能被4、9整除且除以7余1以4 余1的数最小为[7,9]3189，根据中国剩余定理，所以413252161是满足条件的最小数，那么所求的三个自然数的和最小为1613483．第11级上超常体系教师版 例7最小为 【分析

n加上1后变成116的公倍数，所以n1最小为169571113720720，n最小为720719．例8（学案对应：带号4）【分析】法一：3、5、7公倍数被11除余5，由此可知77069316510502678是符合条件的一个值，但不是最小值，3由于3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以267811552368是符合条件的最小值．法二：对于这种题目，也可以先求满足其中3个余数条件的，比如先求满足除以3、5、7的余数余数条件的，从而其中最小的是263105253；由于53除以11的余数为9，105除以11的余数为6，可知96327除以11的余数为5，所以531053368是满足条件的最小数．5、7的余数都是1，所以满足前三个条件的数最小为(3571)253，后面的步骤与上面的解法相同．秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信率领1500名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营．当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来．只见远方尘土飞扬，杀声震天．汉军本来已十分疲惫，6第11级上超常体系教师版第二讲附加题1. 少？【分析】法一：仔细分析可以发现321527，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，3,5,11165，所以这个数最小是1657172．法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，在7的基础上加上3，5，2. 【分析】设最小的偶数为x,则有：x4a0(x2)9b0(x4)14c0

，即

x4a0x9b17

，满足前两个条件的所有数是1636n，只需

(28n)14c10，因此n1，所以最小的偶数是52，1623. 有连续的三个自然数a、a1、a2，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少【分析】法一：由a1是8的倍数，得到a被8除余7，由a2是7的倍数，得到a被7除余5，现在相当也可以7和89的公倍数，可知45277898495是满足各个余数条件的最小值，所以a至少是495．a27也分别是9、8、7的倍数，即a9是9、8、7的公倍数，那么a9的最小值是987504，即a至少是5049495．第11级上超常体系教师版 4. 有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数【分析】设三个连续自然数中最小的一个为n，则其余两个自然数分别为n1，n2．依题意可知：15|n，17|n，19|n2，根据整除的性质对这三个算式进行变换：15|n 15|2n

[15,17,19]|2n15从上面可以发现2n15应为15、17、19的公倍数．由于[15,17,19]4845，所以2n1548452k1(因为2n15是奇数)，可得n4845k2415．当k1时n2430，n12431，n22432，所以其中的一组自然数为2430、2431、2432．

有5000多根牙签，可按六种规格分成小包．如果10根一包，那么最后还剩9根；如果9 【分析】设原有牙签x根，如果添加1根牙签，那么按六种规格分成小包时都恰好每包装满且无剩余，即(x1)是5、6、7、8、9、10的公倍数．于是(x1)是5、6、7、8、9、10的最小[5,6,7,8,9,10]22233572520．又已知x大于5000且小于6000，即5000＜x＜6000，因此x1252025040．所以x5039．6. 它除以2余数为1．请问满足上述条件的n的最小值是多少？【分析】n加上1后变成210的公倍数，所以n1最小为[10,8,9,7]2520，n最小为2519．知识点总结我们在解决类似“物不知其数”题，也就是出现一个数N除以A余a,除以B余b,除以C余c这一类问题的时候有“四大绝招”把余数问题转化为整除问题绝招一：减同余．绝招二：加同补．绝招三：中国剩余定理．绝招四：逐步满足法．8第11级上超常体系教师版第二讲家庭作业1. 【分析】2，[3,7]223，[3,7]2345，[3,7]3366，[3,7]43872. 赵老师有30多张积分卡，如果平均分给5个同学，最后剩余3张；如果平均分给6个同学，最后剩余2张，那么赵老师有多少张积分卡？【分析】因为5362，所以赵老师共有8[5,6]38张积分卡．3. 下1个；如果每次取7个，最后剩下3个．这个布袋中至少有 个玻璃弹子③除以7余3．我们先找到满足条件①、②的数76m，只需让76m满足条件③，即6m除以7余3，最小的m4，那么这个黑布袋中至少有31个玻璃弹子．4. 【分析】因为11113310，所以满足前两个条件的自然数是[11,13]10133，结果133恰5. 即28适合前两个条件．再用28依次加上30的倍数，由于28是7的倍数，30除以7的数是83541486. 【分析】设最小的偶数为x,则有：x5a0(x2)7b0(x4)11c0

，即

x5a0x7b15

，满足前两个条件的所有数是535n，只(535n)11c4，即

(52n)11c4，因此n1，所以最小的偶数是40，因此这三个偶数最小为40,42,447. 最后剩下1级；如果你每步跨3级，最后剩下2级；如果你每步跨5级，最后剩下4级；如果每步跨6级，最后剩下5级；只有当你每步跨7级时，最后正好走完，1级不剩．这条阶梯最少有 级．1这样的数是：29，59，89，119，149，179，…，在这其中满足条件(5)的最小数字是119，第11级上超常体系教师版 8. 知符合条件的最小偶数是368，所以只要将368加上35711就能求得符合条件的最小奇数，这个数是368357111523．超常班学案【分析】三位数中最小的是[4,7]43115，最大的三位数是[4,7]353983，因此共有354132个【超常班学案2】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为 【分析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718，这样我们可5数．而5,7,9315，所以这个数最小为3158323． 【分析】法一：逐步构造符合条件的最小自然数，只需(1835m)3a2，即(02m)3a2，因此m1，所以所求的最小自然数就是53.余定理”，步骤如下：7的公倍数，分别是：15、21、70；因此符合条件的数是1542137022637的最小公倍数的若干倍，使结果小于最小公倍数．所以答案为：263105253．所以x(1051)253.【超常班学案4】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．【分析】由于这个数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6后能被7，8，9整除，而7,8,9504，所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7，8，9除的三10第11级上超常体系教师版第二讲而504分别除以7、8、9所得的商之和是897879191，由于5731913，所以这个数加上6等于504的3倍，则这个数是504361506．123班学案【123班学案1】已知自然数A除以11余5，除以9余7，除以13余3，这个数最小是多少？的数．比较麻烦．实际上，观察可知1159713316，也就是说这个数减去16后是11、9、13的公倍数，那么