小学数学讲义秋季五年级超常第8讲排列组合进阶超常体系

第8讲第八讲排列组合进阶站牌级秋季数进阶级春季级暑假级秋季合进阶级春季合初步法进阶介绍捆绑法，插板法，插空法等计数方法释义第9级下超常体系教师版 引入有10个年轻人到一家饭馆去吃饭,为座位该如何安排的问题发生了争吵.饭馆的老板给他们提“再也不会有新的次序出现的时候，从那天起，我免费供应你们最好的午餐.”但一连过了几个月，新的次序还没有排完，这些年轻人仔细一算，才知道，要这样吃下去根本吃不到免费的午餐.为什么？答案：10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3628800种3628800/365≈9942年如果要想排到不再有新的次序，需要轮上差不多9942年.所以根本吃不到免费午餐.目标1.熟悉排列组合常用的几种方法2.灵活运用排列组合的特点用对应的方法解决对应的题目.精讲排列组合公式：1. 2. 3. 组合数公式

n(n1)(n2)(nm!4. 关于组合数的几个重要结论： 排列组合常用的方法：1.优限法（特殊位置/元素优先考虑）2.捆绑法（相邻问题）3.插空法（不相邻问题）4.大除法（有相同元素排列，圆圈排列，平均分组等问题）5.插板法（相同元素分组问题）6.排除法（正难则反）7.对应法（化归策略）2第9级下超常体系教师版第8讲点回顾1.已知：

Anmn(n1)(n2)(nm1)

，如

A25420.试计算下面几题：A3

____

A2

A3

____

A32.已知：

A33216.试计算下面几题：4!___；5!____；6!____；7!___.3.已知：

Am n(n1)(n2)(nmCnmn m! m!

A2 54C5252!

.试计算下面几题C42___；C53___；C72____；C63____.4.已知：

C2C3.试计算下面几题：

C4

C98【分析】1. 61021 思路例8：排列组合综合14名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：⑴甲不在中间也不在两端；甲；⑶男、女生分别排在一起；⑷男女相间．【分析】⑴先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人乘法原理，共有640320241920(种)排法．第9级下超常体系教师版 ⑵甲、乙先排，有A22212(种)排法；剩下的7个人随意排，有A776543215040

(种)排法．由乘法原理，共有2504010080(种)排法．⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有

A2212(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有A4432124(种)和A554321120(种)排法．4 由乘法原理，共有2241205760(种)排法．⑷先排4名男生，有A4432124(种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有A554321120(种)排法．由乘法原理，一共有241202880(种)排法．2的排法;如果要求2个女生紧挨着排在正中间有____种不同的排法.【分析】⑴4男2女6人站成一排相当于6个人站成一排的方法，可以分为六步来进行，第一步，6排列第三个位置的人，有4种选择，依此类推，第六步，最后一个位置只有一种选择．根据乘法原理，一共有654321720种排法．⑵法1：分为三步：第一步：4个男的先排，一共有432124种不同的排法；第二步：2个女的排次序一共有2种方法；第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共有5个位置可插．根据乘法原理，一共有2425240种排法．5.（3）根据题意分为两步来排列．第一步，先排4个男生，一共有432124种不同的排法；第二步，将2个女生安排完次序后再插到中间一共有2种方法．根据乘法原理，一共有24248种排法．在一起，一共有多少种不同的停车方案?【分析】把4个空车位看成一个整体，与8辆车一块进行排列，这样相当于9个元素的全排列，所以

A9880，多少种不同的排列方法？【分析】法1:七人排成一列，其中B要与C相邻，分两种情况进行考虑．BA

21A5

种不同的站法．若B站在中间，B有五种选择，B无论在中间何处，C都有两种选择．另五人的排列共有A5种，所以这种情况共有52A551200种不同的站法．所以共有24012001440种不同的站法．法2:由于B与C必须相邻，可以把B与C当作一个整体来考虑，这样相当于6个元素的全排列，另外注意B、C内部有2种不同的站法，

A6同的站法．4第9级下超常体系教师版第8讲与双阶乘阶乘(factorial)是基斯顿·卡曼(ChristianKramp,1760～1826)于1808年发明的运算.如：n!n(n1)(n2)21另外，数学家定义，0！=1.通常我们所说的阶乘是定义在自然数范围里的，小数没有阶.双阶乘用“m!!”表示..如：(2n1)!!135(2n1)36名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排.（1）若A、B两人必须相邻，一共有____种不同的站法；（2）若A、B两人不能相邻，一共有____种不同的站法；（3）若A、B、C三人不能相邻，一共有____种不同的站法.（学案对应：带号1）【分析】（1）若A、B两人必须站在一起，那么可以用“捆绑”的思想考虑，甲和乙两个人占据一个位置，但在这个位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左．因此站法总数为A2A5=2×120=240（种）2 （2）法1：排除法.A、B两个人不能相邻与A、B两个人必须相邻是互补的事件，因为不加任何条件的站法总数为

A6=720（种），所以A、B两个人不能相邻的站法总数为.（3）注：此题若用排除法，需要排除三人相邻及任意两人相邻的情况，不是特别简单.插空法.

3!A3624144【巩固】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有____种不同的放法.

543

4

3某次比赛后他们站成一排照相：如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？【分析】要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里．因为有3名女第9级下超常体系教师版 生，考虑到两端也可以放人，所以一共有四个空位．则站法总数为：A33A446241444（1）6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排.若

（2）6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一圈，共有____种站法.（旋转后相同算一种）（3）6名小朋友A、B、C、D、E、F平均分成三组，每组两个人，共有___种分法.（组与组不做区分）（学案对应：超常1）（1）A在B前面，可认为全排列后，除去AB之间的排列方式，即6! 【分析】 2! 种.A，B，C定序时，可需要在全排列的基础上，除去ABC之间的排列方式，即6!1203! 5（3）法1：6人中先选2人作为第一组，再剩下4人中选2人作为第二组，最后的2人作

C2C2C26 4 2 可以互换，因此共有

6!

【巩固】10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？【分析】法1:大除法．按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个被选中的，可种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情法2:排除法．可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为C2，而被选的两个人相邻的情况有10种，所以共有C210451035(种)．510个相同的球完全分给3个小朋友.（1）若每个小朋友至少得1个，那么共有___种分法.（2）若每个小朋友至少得2个，那么共有___种分法.（3）若可以有小朋友不得，那么共有___种分法.（学案对应：超常2）【分析】（1）题是标准的插板法.只要在10个球的9个间隔中插入2个板就可以达到题目的要求.

98

6第9级下超常体系教师版第8讲就变成7个球完全分给3个小朋友了，答案为C2

21

都至少是1个.而此时相当于13个球分给3个小朋友，每人至少一个了.答案为

121121

【巩固】12个苹果分给4个人，每人至少1个，则共有___种分法.【分析

11109321

【巩固】15个苹果分给4个人，每人至少2个，则共有___种分法.【分析1541

【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？【分析】10块糖有9个空，选6个空放挡板，有C96C9384(种)不同的吃法．【拓展】插板法：1结论：m个相同的物品完全分给n个人（1）若每人至少1个，则共有Cmn1种分法；（2）若每人至少k个，则共有Cnm1n(k1)种分法；C.应用：以下字母均为整数，求下面几式的解的个数1

xyz

10

9821

2

xyz

10 (x,y,z2)

答案：C2

（3）xyzm (x,y,zk) 4

xyz

10 (x,y,z0)

121121

5

a1a2a3anm (aik)

答案：Cn1样的阵型．当然，你也可以排出0，0，10”这样疯狂进攻的阵型（后场中场都不要人了，【分析

C212

666（1）数字和为8，且不含0的三位数有___个；（2）数字和为8，且每个数字不小于2的三位数有___个；（3）数字和为8的三位数有___个；（4）小于1000，且数字和为8的数有___个；（5）数字和为10的三位数有___个.第9级下超常体系教师版 【分析】插板法的应用.（1）相当于将8个球分给3个人，每人至少1个，共有C7221个（2）相当于将8个球分给3个人，每人至少2个，共有C426个.（3）相当于将8个球分给3个人，可以有人不得，但第1个人必须得至少1个，因此共有C8231136个.（4）相当于将8个球分给3个人，可以有人不得，共有C245个.注：这种算法若第107顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形；只包含红点(蓝点)的多边))多少个？【分析】从任意一个双色的N边形出发(N5时)，在去掉这个双色多边形中的红色顶点与蓝色顶点后，将得到一个无色的N2边形；另一方面，对于一个任意的无色的M边形，如果加上红色顶点和蓝色顶点，就得到一个双色的M2边形，所以无色多边形与双色多边形中的五边形以上的图形是一一对应的关系，所以双色多边形的个数比较多，多的是双色三角形

C245个，所以双色多边形比无色多边形多104555个．⑶有49个相同的苹果，小明要用7天吃完，且每天必须吃奇数个，问有多少种不同的吃法？⑷有49个不同的苹果，小明要用7天吃完，问有多少种不同的吃法(同一天所吃的苹果之间不考虑顺序)？序)？【分析】⑴49个苹果分在7天，每天至少一个，因此有C6种不同的吃法.⑵题目没有规定每天都必须吃一个，也就是允许有些天吃的数目为0，因此有C71 种不同的吃法.⑶这个问题不同于我们前面所说的三种基本类型，我们就得想办法把不会解决的类型转化成我们熟悉的三种类型之一，我们来看看要求的不同：题目要求我们每天都吃奇数个苹果，也就是说可以吃1，3，5，7，……插板法要求我们每天吃的个数为正整数就可以了，也就是说吃1，2，3，4，……怎样把奇数变成正整数而且保持一一对应的关系呢？我们发现，我们把奇数加上1然后除以2，就可以变成对应的正整数了（因为奇数都可以所以我们把苹果的总数加上7然后除以2，相当于(497)228个苹果，同样分成7天，每天至少吃1个，这种情况与原来情况下的吃法是一一对应的关系.8第9级下超常体系教师版第8讲天数 第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天总数实际 a2 对应

a1

a1

a

a

a

a

497

个一个扔到筐里，有多少种扔的方法，就有多少种吃的方法，因为每个苹果都有可能扔进7个筐中的任意一个，因此吃法的总数应该是749种.⑸如果是49个相同的苹果，我们在第⑵问中已经解决过了，一共有C6种不同的吃法，也55就是说把所有的苹果排成一排，有C556种插板的方法.但是如果苹果不同，就会产生不同的排列，在每一种排列下都会出现C556种插板的方法，而49个苹果排列的种数为A49，因此一共有

A49C6种不同的吃法.49 8须相邻，满足要求的站法一共有多少种？【分析】法1：冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的就一定要留给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇．和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数为：同时满足第一、三个条件，并且满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：因此同时满足三个条件的站法总数为：3；最后由插空法放入小慧和大智，共A2种方法。综上，共有

种站法.已知：n!n(n1)(n2)21，并特殊规定：0!1，那么，你能否在1 1 1 1 0 0 0 0 第9级下超常体系教师版 点总结排列组合公式：1. 2. 3. 组合数公式

n(n1)(n2)(nm!4. 关于组合数的几个重要结论：C0Cn

CmCnm 作业1.5个人站成一排，小明不在两端的排法共有____种.【分析】小明有3种位置可以排，其他4人无所谓，共有34!72种排法.2.四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有_____种不同的出场顺序.【分析】要求同类型的节目连续演出，则可以应用“捆绑法”．先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全3.用1，2，3，4，5各一次，可以组成___个偶数不相邻的五位数.4.4.甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3个，有一串是黄气球2个有一串是绿气球4个，而且每次射击必须射最下面的气球，则有___种不同的射法. 【分析】根据射击规则，任意一种打法都对应三个红色气球，二个黄色气球，四个绿色气球，即9个物体的排列，当然有9!种排列方法．但是，其中三个红色气球是不能随意排列的，应该是固定由下到上的，而上面却包括了它的随意排列的情况，所以应该除以3!，其他黄色气球、绿色气球依此类推．10第9级下超常体系教师版第8讲所以共有射击方法：

9!

60本题也可以这样想：任意一种打法都对应9个物体的排列，从中先选出3个位置给红色气

C3种选法；这3个红色气球的顺序是固定的，所以它们之间只有一种排列顺序；再从剩下的6个位置中选出2个给黄色气球，有C2种选法；它们之间也只有一种排列顺序；剩下的4个位置给绿色气球，它们之间也只有一种排列顺序．所以，根据乘法原理，共有C3C2C41260种不同的射法．9 6

【分析】将12块糖排成一排，中间共有11个空，从11个空中挑出5个空插挡板，把12块糖分成C

1110987

种．6.共有____个数字和为12且不含0的三位数.【分析】相当于将12个球分给3个人，每人至少1个.但要去掉（1，1，10）的三种组合，因此共有C2352个数.7.圆周上有12个点，连接其中的一些点可以构成多边形，设边数小于六的多边形（包括三角形）角形的个数与九边形的个数对应；四边形的个数与八边形的个数对应；五边形的个数与七8.一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：，？⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【分析】⑴先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列的问题，有A77!765432150404蹈节目全排列的问题，有A44!432124(种)方法．根据乘法原理，一共有504024120960(种)方法．⑵首先将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，是6个元素全排列的问题，一共有A66!654321720)方法．□×□×□×□×□×□×第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“×”的位置)，这相当于从7个“×”中选4个来排，一共有A47654840(种)方法．根据乘法原理，一共有720840604800(种)方法．超常班【超常班学案用六种不同的颜色全用到染一个正方体则不同的染色方式共有种.（旋转后一样的视为一种）6第9级下超常体系教师版11

6!64

2、，至少演出三个节目，那么，这三个班演出节目数的不同情况共有多少种?【分析】法1：14可以分解成三个数之和(每个数都大于等于3)，共有5组，3，3，8；4，4，6；4，5，5；3，4，7；3，5，6.其中前3组，每组的三个数有3种排列方法；后2组，每组的三个数有326种排列方法.由加法原理，一共有336221种不同的排法2：用插板法.C221种少个？276,,,,,,,,,,,,,,17.C71

9821

我们称它为“迎春数”．那么，小于2008的“迎春数”共有 计算两位“迎春数”的个数，它就等于从1～9这9个数字中任意取出2个不同的数字，春数”共有C236个． 123班学案【超常123班学案1】在1，2，3，……，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有______种．8个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插空法”12第9级下超常体系教师版第8讲即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将