用空间向量研究距离问题 同步检测-高二上学期数学人教A版2019选择性必修第一册

.4.2.1用空间向量研究距离问题（同步检测）一、选择题1.已知直线l的方向向量n＝(1,0,2)，点A(0,1,1)在直线l上，则点P(1,2,2)到直线l的距离为()A.eq\f(\r(30),5)B．eq\r(30)C.eq\f(\r(30),10)D．2eq\r(30)2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是()A.eq\f(\r(6),6)B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(3),3)3.已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于()A．3B．4C．5D．64.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为()A.eq\f(2,7)B．eq\f(2\r(35),7)C.eq\f(\r(35),7)D．15.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.eq\r(2)aB．eq\r(3)aC.eq\f(\r(2),3)aD．eq\f(\r(3),3)a6.如图，ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up7(→))，则P到AB的距离为()A.eq\f(3,4)B．eq\f(4,5)C.eq\f(5,6)D．eq\f(3,5)7.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2eq\r(2)，点E为CC1的中点，则直线AC1到平面BED的距离为()A．2B．eq\r(3)C.eq\r(2)D．1二、填空题8.已知向量n＝(1,0，－1)与直线l垂直，且直线l经过点A(2，3,1)，则点P(4,3,2)到直线l的距离为________9.在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________．11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1＝9，BC＝6eq\r(3)，N为BC的中点，则直线D1C1与平面A1B1N的距离是________三、解答题12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，求点F到平面A1D1E的距离．13.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，四边形AEC1F为平行四边形．(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离．14.四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，求点E到平面O1BC的距离．15.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2eq\r(2)，∠ABC＝90°，如图①把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD(如图②)．(1)求证：CD⊥AB；(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．参考答案及解析：一、选择题1.A解析：eq\o(PA,\s\up7(→))＝(－1，－1，－1)，所以点P到直线l的距离为d＝eq\r(eq\o(PA,\s\up7(→))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(PA,\s\up7(→))·\f(n,|n|)))2)＝eq\r(3－\f(9,5))＝eq\f(\r(30),5).2.D解析：分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，则d＝eq\f(|eq\o(PA,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq\f(\r(3),3).3.C解析：因为eq\o(AB,\s\up7(→))＝(4，－5,0)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(0,4，－3)，则eq\o(AC,\s\up7(→))对应的单位向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,5)，－\f(3,5)))，所以AC边上的高BD的长为B到AC的距离d＝eq\r(eq\o(AB,\s\up7(→))2－eq\o(AB,\s\up7(→))·u2)＝eq\r(41－16)＝5.4.B解析：过点B作BE⊥A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，由题意知A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，故eq\o(A1C,\s\up7(→))＝(1,2，－3)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(0,2,0)，eq\o(A1C,\s\up7(→))对应的单位向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(14))，\f(2,\r(14))，－\f(3,\r(14))))，所以点B到A1C的距离为eq\r(eq\o(BC,\s\up7(→))2－eq\o(BC,\s\up7(→))·u2)＝eq\r(4－\f(8,7))＝eq\f(2\r(35),7).5.D解析：建立空间直角坐标系如图．则A(a,0,0)，D(0,0,0)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)，∴eq\o(AB1,\s\up7(→))＝(0，a，a)，eq\o(AD1,\s\up7(→))＝(－a,0，a)．设n＝(x，y，z)为平面AB1D1的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(AB1,\s\up7(→))＝ay＋z＝0，,n·eq\o(AD1,\s\up7(→))＝a－x＋z＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－z，,x＝z.))取z＝1，则n＝(1，－1,1)．又∵AD1∥BC1，AB1∥DC1，AD1∩AB1＝A，DC1∩BC1＝C1，∴平面AB1D1∥平面BDC1.∴平面AB1D1与平面BDC1的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d.∵eq\o(C1B1,\s\up7(→))＝(a,0,0)，平面AB1D1的法向量为n＝(1，－1,1)，∴d＝eq\f(|eq\o(C1B1,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq\f(|a|,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)a.6.C解析：如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))可作为x，y，z轴方向上的单位向量，eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3)))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1,0,0)，eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\f(eq\o(AB,\s\up7(→)),|eq\o(AB,\s\up7(→))|)＝eq\f(3,4)，所以P点到AB的距离d＝eq\r(eq\o(AP,\s\up7(→))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AP,\s\up7(→))·\f(eq\o(AB,\s\up7(→)),|eq\o(AB,\s\up7(→))|)))2)＝eq\r(\f(181,144)－\f(9,16))＝eq\f(5,6).7.D解析：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，E(0,2，eq\r(2))，易知AC1∥平面BDE.设n＝(x，y，z)是平面BDE的法向量．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(DB,\s\up7(→))＝2x＋2y＝0，,n·eq\o(DE,\s\up7(→))＝2y＋\r(2)z＝0.))取y＝1，则n＝(－1,1，－eq\r(2))为平面BDE的一个法向量．因为eq\o(DA,\s\up7(→))＝(2,0,0)，所以直线AC1到平面BDE的距离d＝eq\f(|n·eq\o(DA,\s\up7(→))|,|n|)＝eq\f(|－1×2＋0＋0|,\r(－12＋12＋－\r(2)2))＝1.二、填空题8.答案：eq\f(\r(2),2)解析：eq\o(PA,\s\up7(→))＝(－2,0，－1)，因为n与l垂直，所以P到l的距离为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－2，0，－1·1，0，－1,\r(12＋－12))))＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).9.答案：eq\r(2)解析：AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可知AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AP,\s\up7(→))的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，则eq\o(PB,\s\up7(→))＝(2,0，－2)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(0,2,0)．设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n⊥eq\o(PB,\s\up7(→))，,n⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－2c＝0，,2b＝0，))取a＝1，得n＝(1,0,1)，又eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,0,0)，所以d＝eq\f(|eq\o(AB,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq\r(2).10.答案：eq\f(\r(42),3)解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0，2,1)，于是有eq\o(GF,\s\up7(→))＝(1，－1，－1)，eq\o(GD1,\s\up7(→))＝(0，－2,1)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(eq\o(GF,\s\up7(→))·eq\o(GD1,\s\up7(→)),|eq\o(GF,\s\up7(→))|)))＝eq\f(2－1,\r(3))＝eq\f(1,\r(3))，|eq\o(GD1,\s\up7(→))|＝eq\r(5)，所以点D1到直线GF的距离为eq\r(5－\f(1,3))＝eq\f(\r(42),3).11.答案：9解析：如图，建立空间直角坐标系，设CD＝a，则D1(0,0,9)，A1(6eq\r(3)，0,9)，B1(6eq\r(3)，a,9)，N(3eq\r(3)，a,0)，所以eq\o(D1A1,\s\up7(→))＝(6eq\r(3)，0,0)，eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝(0，a,0)，eq\o(B1N,\s\up7(→))＝(－3eq\r(3)，0，－9)．设平面A1B1N的法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝0，,n·eq\o(B1N,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ay＝0，,－3\r(3)x－9z＝0，))取x＝3，则y＝0，z＝－eq\r(3)，所以平面A1B1N的一个法向量为n＝(3,0，－eq\r(3))．所以点D1到平面A1B1N的距离为d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(eq\o(D1A1,\s\up7(→))·n,|n|)))＝eq\f(18\r(3),2\r(3))＝9.又因为D1C1∥平面A1B1N，所以直线D1C1与平面A1B1N的距离是9.三、解答题12.解：建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a，\f(a,2)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，0)).设平面A1D1E的法向量为n＝(x，y，z)，则n·eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝0，n·eq\o(A1E,\s\up7(→))＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y，z·－a，0，0＝0，,x，y，z·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，a，－\f(a,2)))＝0，))∴－ax＝0，ay－eq\f(a,2)z＝0.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝\f(z,2)，))令z＝2，得n＝(0,1,2)．又eq\o(FD1,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)，a))，∴所求距离d＝eq\f(|eq\o(FD1,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq\f(\f(3,2)a,\r(5))＝eq\f(3\r(5),10)a.13.解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4，3)，设F(0,0，z)．因为四边形AEC1F为平行四边形，所以由eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(EC1,\s\up7(→))得，(－2,0，z)＝(－2,0,2)，所以z＝2.所以F(0,0,2).所以eq\o(BF,\s\up7(→))＝(－2，－4,2)．于是|eq\o(BF,\s\up7(→))|＝2eq\r(6)，即BF的长为2eq\r(6).(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1＝(x，y,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·eq\o(AF,\s\up7(→))＝0，,n1·eq\o(AF,\s\up7(→))＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0×x＋4×y＋1＝0，,－2×x＋0×y＋2＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4y＋1＝0，,－2x＋2＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－\f(1,4)，))得n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,4)，1)).又eq\o(CC1,\s\up7(→))＝(0,0,3)，所以C到平面AEC1F的距离d＝eq\f(|eq\o(CC1,\s\up7(→))·n1|,|n1|)＝eq\f(3,\f(\r(33),4))＝eq\f(4\r(33),11).14.解：因为OO1⊥平面ABCD，所以OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，所以建立如图所示的空间直角坐标系．因为底面ABCD是边长为4，∠DAB＝60°的菱形，所以OA＝2eq\r(3)，OB＝2，则A(2eq\r(3)，0,0)，B(0,2,0)，C(－2eq\r(3)，0,0)，O1(0,0,3)，eq\o(O1B,\s\up7(→))＝(0,2，－3)，eq\o(O1C,\s\up7(→))＝(－2eq\r(3)，0，－3)．设平面O1BC的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1⊥eq\o(O1B,\s\up7(→))，n1⊥eq\o(O1C,\s\up7(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y－3z＝0，,－2\r(3)x－3z＝0.))取z＝2，