信号与线性系统-4

信号与线性系统-4(总分：100.02，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：20，分数：100.00)已知f(t)的频谱函数为F (jω)，求下列时间信号的频谱函数。（分数：6.00）1(1).tf(2t)（分数：1.00）正确答案：()解析：解先由尺度变换特性，有最后得然后利用频域微分特性，得最后得(2).(t-2)f(t)（分数：1.00）正确答案：()由频域微分特性，有-jtf(t)F" (j由频域微分特性，有-jtf(t)F" (jω)1tf(t)jF" (jωtf(t)jF" (jω)1tf(t)-2f(t)jF" (jω)-2F(jω)1 1(3).（分数：1.00）正确答案：()解析：解先由时域微分特性，有即得再利用频域微分特性，有即得(4).f(1-t)（分数：1.00）正确答案：()f(t+1)F (jf(t+1)F (jω)ejω1f(-t+1)F (-jf(-t+1)F (-jω)e-jω1解析：证明由变换对(5).(1-t)f(1-t)（分数：1.00）解析：证明由变换对正确答案：()解析：解先由然后利用尺度变换特性，有解析：解先由[-(t-1)]f[-(t-1)]=(1-t)f(1-t)-jF"(-j[-(t-1)]f[-(t-1)]=(1-t)f(1-t)-jF"(-jω)e-jω1或者可利用(4)中结果：(1-t)f(1-t)=f(1-t)-tf(1-t)(6).f(2t+5)（分数：1.00）正确答案：()解析：解(1).双边指数函数（分数：1.00）τ→0δ(t1τ→0解析：解(1).双边指数函数（分数：1.00）正确答案：()解析：证明对于双边指数函数，不难知其频谱函数当τ→0时，F(jω)→1解析：证明对于双边指数函数，不难知其频谱函数(2).取样函数（分数：1.00）由时域信号与频谱函数的一一对应特性知，当τ(2).取样函数（分数：1.00）正确答案：()利用对称性可得令，就可得到取样函数的频谱函数当τ→0时，F(jω利用对称性可得令，就可得到取样函数的频谱函数(3).三角脉冲函数（分数：1.00）从而知当τ(3).三角脉冲函数（分数：1.00）解析：证明对于三角脉冲函数正确答案：()解析：证明对于三角脉冲函数用洛必达法则，有此极限值，再用一次洛必达法则，可求出此极限值=1，即当τ→0时，考虑极限用洛必达法则，有此极限值，再用一次洛必达法则，可求出此极限值=1，即(4).高斯脉冲函数（分数：1.00）说明此三角脉冲函数在τ→0时也可视为单位冲激函数。(4).高斯脉冲函数（分数：1.00）正确答案：()则对于形如的高斯脉冲，其频谱函数(注：将(Ⅰ)中换为即得)显然当τ则对于形如的高斯脉冲，其频谱函数(注：将(Ⅰ)中换为即得)所以说此高斯脉冲函数在τ→0时也可视为单位冲激函数。已知f (t)的频谱函数为F1(jω)，将f (t)按图的波形关系构成周期信号f (t)，求此周期信号1 1 2的频谱函数。（分数：5.00）正确答案：()解析：解此题用两种方法来解。

(t)=f20

(t)+f1

(-t)，易知2解析：证明F (jω)=F(jω)+F (-jω)解析：证明20 1 1f(t)是实函数，其频谱函数F(jω)的实部是偶函数，虚部是奇函数，且F(-jω)=F*(jω)，1 1 1 1故有F (jω)=2Re{F(jω)}20 1220f (t)是以f (t)为基本波形信号，以T=2220因T=2，故Ω=π，从而最后利用周期信号频谱函数的通式得解法二：偶特性，有解法二：三角形周期脉冲的电流如图所示。（分数：5.00）若T=8，求此周期电流的平均值与方均值；（分数：2.50）正确答案：()方均值解析：解此周期电流的平均值方均值（数：2.50）正确答案：()直流功率交流功率解析：解此周期电流在单位电阻上消耗的平均功率直流功率交流功率由于i(t)是偶函数，故由于i(t)是偶函数，故其b =0，且T=8，，从而有n可见求下图所示三角形周期信号的沃尔什级数中不为零的前三项。（分数：5.00）正确答案：()s解析：解由图可知，f(t)是偶函数，故其沃尔什级数的系数bs

=0，即在区间[0，1]上，且f(t)与Cal(s，t)对as且f(t)与Cal(s，t)对as时，积分区间取即可。证明沃尔什级数展开时，帕塞瓦尔定理关系式成立。（分数：5.00）正确答案：()因解析：证明f(t)的沃尔什级数可表示为因故根据沃尔什级数的正交完备性有故正弦交流电压Asin(πt)，(b)所示的周期性正弦脉冲信号。求此信号通过图(aRC（分数：5.00）正确答案：()解析：解由图(a)所示电路可知频域系统函数(亦称频率响应函数)对于图(b)所示全波整流信号e(t)，可求得其傅里叶级数表达式为直流分量基波分量即激励信号中的直流、基波及二次谐波分量的复数振幅可分别用相量表示为直流分量基波分量二次谐波分量系统对以上各分量的频率响应值用相量表示为二次谐波分量直流分量基波分量输出响应中以上各分量的相量表示为直流分量基波分量二次谐波分量5.如图(b)所示的周期性矩形脉冲信号，其脉宽为周期的一半，其频率f=10kHz，加到一谐振频率为故用不为零的前三个分量之和近似表示的输出响应为二次谐波分量5.如图(b)所示的周期性矩形脉冲信号，其脉宽为周期的一半，其频率f=10kHz，加到一谐振频率为的并联谐振电路(见图(a))上，以取得三倍频信号输出。并联谐振电路的转移函数为如要求输出中其他分量的幅度小于三次谐波分量幅度的1%，求并联谐振电路的品质因数Q。（分数：5.00）正确答案：()解析：解首先将i(t)展开为傅里叶级数：其中，Ω=2πf=20kπrad/s。30kHz1由所给的转移函数，可求得三次谐波的幅度则输出信号中基波的幅度三次谐波的幅度根据题意，应有R ＜0.01R根据题意，应有R ＜0.01R，即，从而得136.如图(b)所示的周期性矩形脉冲信号，加到一个90°相移网络上，其转移函数为试求输出中不为零的前三个分量，并叠加绘出响应的近似波形。与激励中前三个分量叠加的波形作比较。（分数：5.00）正确答案：()解析：解图(b)所示的周期性矩形脉冲信号的傅里叶级数表达式为直流分量基波分量其不为零的前三个分量分别为直流分量基波分量二次谐波分量90°即二次谐波分量直流分量基波分量故输出响应中不为零的前三个分量为直流分量基波分量二次谐波分量所以输出响应用前三个不为零的分量近似表示为二次谐波分量注：此题也可利用傅里叶变换来求，下面给出具体过程。首先求出输入信号的傅里叶变换，利用周期信号的傅里叶变换，有所以由R(jω)=E(jω)H(jω)得所以Ω换成ω，就有响应r(t)中前三个分量及其叠加的波形分别如图(a)中的虚线、实线所示。激励i(t)中前三个分量及其叠加的波形分别如图(b)中的虚线、实线所示。可见波形出现了失真，这个失真是由于网络对基波分量和二次谐波分量产生了相同的相移导致的。7.设系统转移函数为，试求其单位冲激响应、单位阶跃响应及e(t)=e7.设系统转移函数为，试求其单位冲激响应、单位阶跃响应及e(t)=e-2tε(t)时的零状态响应。正确答案：()解析：解因为h(t)=-δ(t)+2e-tε(t)解析：解因为所以e(t)为单位阶跃函数即e(t)=ε(t)时，由于所以8.设系统转移函数为，试求其冲激响应及e(t)=e8.设系统转移函数为，试求其冲激响应及e(t)=e-1.5tε(t)时的零状态响应。正确答案：()解析：解因为又R (jω又R (jω)=H(jω)E(jω)zs

-t

-2t

)ε(t)e(t)=e

ε(t)时的零状态响应为r zs

-t

-2t

)ε(t)单位阶跃响应r (￡)=-2e-tε(t)+单位阶跃响应r (￡)=-2e-tε(t)+ε(t)=(1-2e-t)ε(t)ε当e(t)=e-2tε(t)时，，所以图形。系统中两个理想滤波器的截止频率均为ω ，通带内传输值为1，相移均为零。ω ＞＞ω 。c c 1（分数：5.00）正确答案：()即解析：解带限信号e(t)先经过幅度调制，有即经过理想高通滤波器之后，低于ωc的频率分量被过滤掉，即B点信号再经过一次幅度调制，有最后再经过理想低通滤波器后，高于ω 的频率分量都被过滤掉了，即c在ω ＞＞ω 的情况下，A，B，C，D各点的信号频谱图如(c)(d)、(e)(f)所示。c 1理想高通滤波器的传输特性如图所示，亦即其转移函数为求其单位冲激响应。（分数：5.00）正确答案：()解析：解令G (ω)=ε(ω+ω )-ε(ω-ω )2ωc0 c0 c0则H(jω)=K[1-G (ω要求的冲激响应G(ω)。由变换对要求的冲激响应G(ω)。由变换对及对称性，有2ωc0

jφ(ω)=K[1-G (ω)]·e-jωt2ωc0 0令τ=2，得令τ=2，得ωc0又故11.求的信号通过图(a)所示的系统后的输出。系统中理想带通滤波器的传输特性如图(b)所示，其相位特性φ(ω)=0。（分数：5.00）正确答案：()解析：解由变换对及对称性有令τ=4π解析：解由变换对及对称性有令τ=4π，得1又因为经过带通滤波器，得又因为所以有一调幅信号为所以a(t)=A[1+0.3cos(ω t)+0.1cos(ω t)]sin(ω t)1 2 c其中，ω =2π1求：（分数：5.01）

3rad/s，ω =2π2

3rad/s，ω =2π×45×10c

rad/s，A=100V。试部分调幅系数；（分数：1.67）正确答案：()解析：解由该调幅信号的表达式易得部分调幅系数分别为m =0.3，m1 2

=0.1（1.67）正确答案：()解析：解调制信号e(t)=A+0.3Acosω 1

t)=100+30cos(2π×5×103t)+10cos(2π×3×1023t)其频谱函数E(jω)=200π+30π[δ(ω+2π×5×10

3)+δ(ω-2π×5×10

3)]+10π[δ(ω+2π×3×103)+δ(ω-2π频谱图如图(a)所示。

3)]对于调幅信号，由a(t)=[100+30cos(ω 1 2 c c 1 ct)sin(ω t)=100sin(ω t)+15[sin(ω +ω )t-sin(ω -ω )t]+5[sin(ω +ω )t-sin(ω2 c c 1 c 1 c 2 c)t]=100sin(ω t)+15sin(ω )t+15sin(ω )t+5sin(ω )t+5sin(ω 2 c c c 1 c 1 c 2 c)t2知，该调幅波包含五个频率分量，即幅度为100V的载频分量；幅度为15V的一对上、下边频分量，其频率分别为ω 、ω ；幅度为5V的一对上、下边频分量，其频率分别为ω 、ω c 1 c 1 c 2 c。其频谱函数2A(jω)=j100π[δ(ω+ω )-δ(ω-ω )]+j15π[δ(ω+ω c c c

)-δ(ω-ω -ω )]+j15π[δ(ω+ω1 c 1-ω )-δ(ω-ω c 1 c

)]+j5π[δ(ω+ω1

+ω )-δ(ω-ω c 2 c

)]+j5π[δ(ω+ω2

-ω )-δ(ω-ωc 2+ω )]c 2频谱图如图(b)所示。由频谱图可知调幅信号的频带宽度B =(ω +ω )-(ω -ω )=2ω =2πA c 1 c 1 1

4rad/s=10kHz1kΩ电阻上产生的平均功率与峰值功率，载波功率与边频功率。（分数：1.67）正确答案：()解析：解平均功率载波功率峰值功率载波功率边频功率或(ae(t(a边频功率或信号cosω t经过90°相移网络后的输出为sinω t。试写出输出信号a(t)的频谱函数表达式，并绘c c其频谱图。（分数：5.00）正确答案：()解析：解由系统框图，设e (t)=e(t)cos(ω t)，e (t)为e(t)经过频响函数-jsgnω的系统后的1 c 2输出信号，e再与90°相移网络的输出信号sin(ω 相乘后得到e则整个系统的输出信号2 c 3a(t)=e

(t)+e1

(t)31对于e (t)，易知其频谱函数1对于e

(t)，其频谱函数2E (jω)=E(jω)·(-jsgnω)=-jE(jω)·sgnω23对于e (t)，其频谱函数3于是a(t)的频谱函数13e (t)，e (t)a(t)(b13(1).f(t)与的能量相等，即(1).f(t)与的能量相等，即（分数：1.67）(2).f(t)与正交，即（分数：1.67）那么只有(2).f(t)与正交，即（分数：1.67）那么只有f(t)与正交。(3).若f(t)是偶函数，则f(t)为奇函数，则是偶函数。（分数：1.67）正确答案：()f(t)的希尔伯特变换的频谱函数为-jF(jf(t)的希尔伯特变换的频谱函数为-jF(jω)sgnω的能量所以二者能量相等，即正确答案：()解析：证明因由于从而有故交换两个积分的次序，则解析：证明因由于从而有故正确答案：()解析：证明因为所以即，从而解析：证明因为所以即，从而为奇函数。从而为偶函数。从而为偶函数。故命题得证。(a)所示的斜格型网络后有无幅度失真与相位失真。（分数：5.00）正确答案：()解析：解设z =jωL，10两端看进去的等效电阻z 0

，则z ·z1 2