物理-角动量矢量矢积

矢量的矢积aba

b

→矢量

叉积a

b

的大小：ab

sin

0,

π

:

a

b

0方向：垂直于a,b所构成的平面右手法则a

b反交换率：a

b

b

ak

k

0k

i

ji

k

jj

j

0j

k

ik

j

ii

i

0i

j

kj

i

kij直角坐标系单位矢量：k右手坐标系aba

bx

yzOb

b

cos

i

b

sin

ja

b

(axby

aybx

)k

ab(cos

sin

sin

cos

)k

ab

sin(

)k

ab

sinka

a

cosi

a

sin

ja

ax

i

ay

j

az

kb

bx

i

by

j

bz

kzyxzyxx

yx

yy

z

bzax

)

jy

z

(azbx

b

a

)k

(a

ba

b

(a

b

b

a

)ii

j

k

aa

abb

b对轴的力矩|

|F

FrO

F支点，转轴F||

作用在轴上，不引起运动F

引起杆对于转轴的转动对轴的力矩：M

r

F

rF

sin矢量形式：M

r

F轴矢量的方向：右手法则M转动方向对参考点的力矩ijkxFxyFyzFz3

中的转动M

r

FM

rF

sinM

(

yFz

(zFxzFy

)ixFz

)

j

(xFy

yFx

)k

M

x

i

M

y

j

M

z

kxzMOryF如r和F在x-y平面内M

M

z

kM

z

xFy

yFx

rF

sin为对轴的力矩力矩为0的条件：F

0r

//

F质点的角动量定义：L

r

p

m(r

v)p

mv亦称动量矩大小：L

mrv

sin¤

L的方向垂直于r,v所构成的平面右手法则¤

L依赖于参考点O的选择

rxyzLOp,

vr在直角坐标系中：L

Lx

i

Ly

j

Lz

k

i

j

kx

y

zpx

py

pz质点的角动量定理dp

F质点动量定理dtdL

d

(r

p)

dr

p

r

dp

dt

dt

dt

dt

v

mv

r

FdL

Mdt质点的角动量定理积分形式：2

12tt1Mdt

L

L

L质点的角动量守恒定理dL

0若M=0，则dt，即角动量守恒角动量守恒的条件：M=0力矩为0的条件：F

0r

//

F即3个分量独立守恒，和动量一样匀速圆锥摆的角动量dL

0dtLLOO以O为参考点，角动量为L角动量守恒dtdL

0以O'为参考点，角动量为L'角动量不守恒方向在变受力情况？不同的参考点，角动量是不同的匀速直线运动质点的角动量L

r

p

m(r

v)vOrHL

mrv

sin

mvH定义：面积速度单位时间质点和参考点点连线掠过的面积角动量守恒L2mSdt

21v

dS

1

r

v22Sv

1

rv

sin

1

vH面积速度不变即为角动量守恒匀速圆周运动质点的角动量xOωyrvt向心力F//r,L

mvr

mr2L

r

p

m(r

v)r

v角动量守恒2

2Sv

1

rv

1

r2面积速度不变例:光滑水平桌面上一质量为m的小球系于一轻绳的一端，绳的另一端穿过小孔。先推动小球以角速度0作半径为r0的运动。自t=0时起拉着绳以匀速v0缓慢向下运动。求:角速度和拉力随时间的变化关系。vv0r解:以小孔为参考点则角动量守恒设t时运动半径为r0

02

2r

2r

2

0

0mr

m

r00

02

0r

2r0

v0t

:

r

r

v

t拉力即为向心力34

20

00

0r

v

tF

m2r

mr

2mF1F2f12m1f21r12O1rr2质点组的角动量定理m1

:dL112

M1

r1

(F1

f

)m2

:对于2个质点：dtdL222221

M

r

(F

f

)dt21

r1

F1

r2

F2

r1

f122

r

fdL

dL1

dL2dt

dt

dtf12:

f21

0,

r1

r12

r2r1

f12

r2

f21

r1

f12

(r1

r12

)

f21

r1

f12

r1

f21

r12

f21

0r12

//

f211外

2外1

1

2

2dL

r

F

r

F

M

Mdt与内力无关质点组的角动量定理合外i外i

ii

idtdL

r

F

M

M总角动量：L

Li

ri

pii

i质点组的角动量守恒定理M

0

dL

0dt合外合外力矩为0，则总角动量守恒与动量一样，3个分量独立守恒m2mR

O例：轻绳跨过半径R的轻滑轮，质量2m的人抓住绳的一端，另一端为质量m的物体。人从往上爬，为使自己不往下降，人须以多大加速度相对绳上爬？解:以滑轮轴O为参考点，以人和物体为体系，则外力矩为重力引起的力矩。人：R2mgM1物：RmgM

21M

2mgRM

mgR2以为正方向M

合外

2mgR

mgR

mgR设人相对绳的速度为u，物体相对地面上升速度为v，则人相对地面上升速度为u-v。L1u

v角动量

人：

L1

2m(u

v)RRvL2物：

L2

mvRR以

为正方向

L

mvR

2m(u

v)R

3mvR

2muR合外dL

Mdt

dtdL

3mRv·

2mRu·

mgR若人不下降：dt

d

(u

v)

0

u·

v·u·

gO2m0vlm1lm1例：一铰链下悬挂一轻杆，杆上附有两个质量m1的小球。一质量为m2的以初速v0射入下端小球。求：射入小球后瞬间轻杆的角速度。解:以O为参考点，则外力矩为0，则角动量守恒设杆角速度为初态角动量：Li

m2

(2l)v0末态角动量：21

5m

l

22

4m

l

212

m

(2l)22

1fL

m

(2l)

m

l

角动量守恒：Li

Lf2m2v04m2l

5m1l

动量守恒？质点组的角动量vi

vi

vCrC

：质心位矢vC

：质心速度ri

：相对质心的位矢vi

：相对质心的速度L

L

LC=质点组相对质心的角动量+质心角动量L

Li

mi

ri

vii

iri

ri

rCL

Li

mi

ri

vii

mirC

vi

mi

rC

vCi

i

mivi

0i

i

mi

(ri

rC

)

(vi

vC

)i

mi

ri

vi

mi

ri

vCi

i质心参考系中动量=0质心参考系中质心位矢=0i

mi

ri

0质心的角动量定理iLC

mirC

vC

rC

MvC

vC

MvC

rC

FiiC

C

Mv

rdLC

drC

M

dvCdtdt

dtCC

Madt

Mdp

dtdvF

ii:Ci

rC

Fi

MdLCdt质心角动量随时间变化率=合外力对质心的力矩类似于质点角动量定理相对质心的角动量定理合外i外i

ii

idtdL

r

F

M

Mri

ri

rCC

i

iiF

r

F

Mi

iiri

Fi

rCdL

dtCdLCdt

MC:

L

L

L

,ii

idL

r

F

M

dt相对质心角动量随时间变化率=外力相对质心的合力矩rC

：质心位矢ri

：相对质心的位矢质心系的角动量定理质心系中惯性力的力矩（平动非惯性系）MI

MiIi

ri

FiIi

ri

(mi

a0

)i

mi

ri

a0

0iir

：相对质心的位矢或质心系中的位矢FiI

mi

a0

：惯性力质心系中惯性力的力矩为0质心系中重力矩为0质心系中质心位矢=0

mi

ri

0iClv0例：二球质量均为m，轻绳，光滑水平面，一球获得v0的初速。求：运动规律及绳中张力。0

CC0v

1

v2水平方向动量守恒mv

2mv质心作匀速直线运动系统相对质心角动量守恒02

2l2

m

l

2

l

2

mmv

v0l球绕质心作匀速圆周运动绳中的张力v21m02

l2

2

l

T

m

Cav0例：二球质量均为m，轻弹簧自然长度为a，劲度系数为k。光滑水平面，两球获得v0的初速。若以后运动过程

簧最大长度b

=

2a，求：两球的初速度v0

。角动量守恒20

22mv

a

2mv

b机械能守恒02

2

22

1

mv2

2

1

mv2

1

k

(b

a)2

ak

(b

a)

2k2m(b

a)

3m0v

bv0abcl45ov0例：三球