误差传播定律02课件

§5.3误差传播定律

在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这时函数中误差与观测值中误差必定有一定的关系。阐述这种关系的定律称为误差传播定律。

倍数函数和差函数线性函数一般函数函数形式§5.3误差传播定律倍数函数函数形式1 在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测到的，而是间接观测到的，即观测其它未知量，并通过一定的函数关系间接计算求得的。非线性函数 表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律。例如：h=a-b线性函数

误差传播定律： 在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测到的，而是间2设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；为独立观测值的中误差。

求函数的全微分，并用“Δ”替代“d”，得一、一般函数设非线性函数的一般式为：一、一般函数3函数的真误差和独立观测值的真误差之间的关系式。函数的真误差和独立观测值的真误差之间的关系式。4假如对各独立观测值观测了n次，则可列出n个真误差关系式：………………假如对各独立观测值观测了n次，则可列出n个真误差关系式：……5以上等式两边平方后相加：对n个式取总和：以上等式两边平方后相加：对n个式取总和：6上式两边除以n，得式：由偶然误差的抵偿性知：上式最后一项为0，则：<<前面各项上式两边除以n，得式：由偶然误差的抵偿性知：上式最后一项为07所以并根据中误差公式即代入上式，得中误差关系式：考虑所以并根据中误差公式即代入上式，得中误差关系式：考虑8求任意函数中误差的方法和步骤：2、写出真误差关系式，对函数进行全微分：3、写出中误差的关系式：1、列出独立观测值的函数式：求任意函数中误差的方法和步骤：2、写出真误差关系式，对函数进9[例]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距离D解：1.函数式2.全微分3.求中误差

[例]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角α101.倍数函数的中误差

设有函数式(x为观测值，K为x的系数)全微分得中误差式例：量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：解：列函数式求全微分中误差式二.几种常用函数的中误差

1.倍数函数的中误差例：量得地形112.线性函数的中误差

设有函数式

全微分

中误差式例：设有某线性函数其中、、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。解：对上式全微分：由中误差式得：2.线性函数的中误差设有函数式例：设有某线性函12

函数式全微分中误差式3.算术平均值的中误差式

由于等精度观测时，，代入上式：得由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。

●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。函数式3.算术平均值的中误差式由于等精度观134.和或差函数的中误差

函数式：

全微分：

中误差式：当等精度观测时：上式可写成：例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。

解：

4.和或差函数的中误差函数式：当等精度观测时：例：测定A14观测值函数中误差公式汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

观测值函数中误差公式汇总15例1：测得圆形半径r＝1.465m，已知中误差m＝±2mm，求周长及周长中误差。返回例1：测得圆形半径r＝1.465m，已知中误差m＝±2mm，16

▓

观测值的算术平均值(最或是值)▓用观测值的改正数v计算观测值的中误差(即:白塞尔公式)▓算术平均值的相对中误差

第四节等（同）精度直接观测平差▓观测值的算术平均值(最或是值)第四节等（同）精度17一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)

证明算术平均值为该量的最或是值：

设该量的真值为X，则各观测值的真误差为1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值1,2,···,n,则该量的算术平均值为：x==1+2+···+nnn上式等号两边分别相加得和：L=一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)证明算术平18当观测无限多次时：得两边除以n：由当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L≈X当观测无限多次时：得两边除以n：由当观测次数无限多时，观19精度评定比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在与中：精度评定——用观测值的改正数v计算中误差一.计算公式(即白塞尔公式)：精度评定比较前面的公式，可以证明，两式根号内的即在20证明如下：真误差：改正数：证明两式根号内相等对上式取n项的平方和由上两式得其中:证明如下：真误差：改正数：证明两式根号内相等对上式取n项的平21证明两式根号内相等中误差定义:白塞尔公式:证明两式根号内相等中误差白塞尔22解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计算其中误差：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。算例1:次数观测值VVV备注176°42′49″-416276°42′40″+525376°42′42″+39476°42′46″-11576°42′48″-39平均76°42′45″[V]=0[VV]=6076°42′45″

±1.74″解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计例：对某水平23

例5-2某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。测次

观测值/m观测值改正数v/mmvv

计算123456平均148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-192251444324166763613046返回例5-2某一段距离共丈量了六次，结果如24第五节误差传播定律的应用用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差m15。例1：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？

ƒ=(1+2+3)-180解：由题意：最大闭合差即2m=15,则m=7.5每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：第五节误差传播定律的应用用DJ6经纬仪观测三角形25误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(1)测量水平距离的精度

基本公式：

求全微分：

水平距离中误差：

其中：

误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度26误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(2)测量高差的精度基本公式：

求全微分：

高差中误差：

其中：

误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度27作业:1．用20m钢尺进行距离丈量，已知一整尺段之中误差为±0.005m，今用该尺测量直线AB，其D往=99.972m，D返=99.988m，求其平均距离D之中误差。2．用J2经纬仪对一个角测量了6个测回，其结果为：53°49′15″（11″，22″，16″，18″，14″），求算术平均值、观测值的中误差和算术平均值的中误差。3．在等精度观测中，对一个角度测了4个测回，得其平均值之中误差为±15″，若使平均值中误差小于±10″，则至少应观测多少个测回？4.设有函数Z=L*cosA式中L=121.11m±0.06mm,A=78°49′18″±20.5

″,试求Z的中误差.作业:1．用20m钢尺进行距离丈量，已知一整尺段之中误差为±28§5.3误差传播定律

在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这时函数中误差与观测值中误差必定有一定的关系。阐述这种关系的定律称为误差传播定律。

倍数函数和差函数线性函数一般函数函数形式§5.3误差传播定律倍数函数函数形式29 在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测到的，而是间接观测到的，即观测其它未知量，并通过一定的函数关系间接计算求得的。非线性函数 表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律。例如：h=a-b线性函数

误差传播定律： 在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测到的，而是间30设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；为独立观测值的中误差。

求函数的全微分，并用“Δ”替代“d”，得一、一般函数设非线性函数的一般式为：一、一般函数31函数的真误差和独立观测值的真误差之间的关系式。函数的真误差和独立观测值的真误差之间的关系式。32假如对各独立观测值观测了n次，则可列出n个真误差关系式：………………假如对各独立观测值观测了n次，则可列出n个真误差关系式：……33以上等式两边平方后相加：对n个式取总和：以上等式两边平方后相加：对n个式取总和：34上式两边除以n，得式：由偶然误差的抵偿性知：上式最后一项为0，则：<<前面各项上式两边除以n，得式：由偶然误差的抵偿性知：上式最后一项为035所以并根据中误差公式即代入上式，得中误差关系式：考虑所以并根据中误差公式即代入上式，得中误差关系式：考虑36求任意函数中误差的方法和步骤：2、写出真误差关系式，对函数进行全微分：3、写出中误差的关系式：1、列出独立观测值的函数式：求任意函数中误差的方法和步骤：2、写出真误差关系式，对函数进37[例]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距离D解：1.函数式2.全微分3.求中误差

[例]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角α381.倍数函数的中误差

设有函数式(x为观测值，K为x的系数)全微分得中误差式例：量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：解：列函数式求全微分中误差式二.几种常用函数的中误差

1.倍数函数的中误差例：量得地形392.线性函数的中误差

设有函数式

全微分

中误差式例：设有某线性函数其中、、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。解：对上式全微分：由中误差式得：2.线性函数的中误差设有函数式例：设有某线性函40

函数式全微分中误差式3.算术平均值的中误差式

由于等精度观测时，，代入上式：得由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。

●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。函数式3.算术平均值的中误差式由于等精度观414.和或差函数的中误差

函数式：

全微分：

中误差式：当等精度观测时：上式可写成：例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。

解：

4.和或差函数的中误差函数式：当等精度观测时：例：测定A42观测值函数中误差公式汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

观测值函数中误差公式汇总43例1：测得圆形半径r＝1.465m，已知中误差m＝±2mm，求周长及周长中误差。返回例1：测得圆形半径r＝1.465m，已知中误差m＝±2mm，44

▓

观测值的算术平均值(最或是值)▓用观测值的改正数v计算观测值的中误差(即:白塞尔公式)▓算术平均值的相对中误差

第四节等（同）精度直接观测平差▓观测值的算术平均值(最或是值)第四节等（同）精度45一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)

证明算术平均值为该量的最或是值：

设该量的真值为X，则各观测值的真误差为1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值1,2,···,n,则该量的算术平均值为：x==1+2+···+nnn上式等号两边分别相加得和：L=一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)证明算术平46当观测无限多次时：得两边除以n：由当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L≈X当观测无限多次时：得两边除以n：由当观测次数无限多时，观47精度评定比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在与中：精度评定——用观测值的改正数v计算中误差一.计算公式(即白塞尔公式)：精度评定比较前面的公式，可以证明，两式根号内的即在48证明如下：真误差：改正数：证明两式根号内相等对上式取n项的平方和由上两式得其中:证明如下：真误差：改正数：证明两式根号内相等对上式取n项的平49证明两式根号内相等中误差定义:白塞尔公式:证明两式根号内相等中误差白塞尔50解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计算其中误差：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。算例1:次数观测值VVV备注176°42′49″-416276°42′40″+525376°42′42″+39476°42′46″-11576°42′48″-39平均76°42′45″[V]=0[VV]=6076°42′45″

±1.74″解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计例：对某水平51

例5-2某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。测次

观测值/m观测值改正数v/mmvv

计算123456平均148.643148.590