棱锥与棱台教案-高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

5/5棱锥和棱台【教学目标】借助棱锥、棱台结构特征的学习，培养直观抽象的数学核心素养。【教学重难点】1．棱锥、棱台的定义和结构特征。（重点）2．棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系。（难点）【教学过程】一、复习导入思考1：长方体、正方体是多面体吗？[提示]是。长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义。思考2：最简单的多面体由几个面所围成？[提示]四个。二、合作探究1．棱锥、棱台的概念【例】下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________。（1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；（2）棱台的侧面一定不会是平行四边形；（3）棱锥的侧面只能是三角形；（4）棱台的各侧棱延长后必交于一点；（5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥。（2）（3）（4）[（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；（2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；（3）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；（4）正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；（5）错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥。]【教师小结】判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等。2．几何体的计算问题[探究问题]（1）计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？[提示]常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形，②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形。（2）其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？[提示]是。（3）正棱台中的计算呢？[提示]根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解。【例】正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2eq\r(3)，求正三棱锥的高。[思路探究]正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形⇒勾股定理求解。[解]作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点。在Rt△ADO中，AD＝eq\f(3,2)，∠OAD＝30°，故AO＝eq\f(\f(3,2),cos∠OAD)＝eq\r(3)。在Rt△SAO中，SA＝2eq\r(3)，AO＝eq\r(3)，故SO＝eq\r(SA2－AO2)＝3，其高为3．【母题探究】1．将本例中“侧棱长为2eq\r(3)”，改为“斜高为2eq\r(3)”，则结论如何？[解]在Rt△SDO中，SD＝2eq\r(3)，DO＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(\r(3),2)，故SO＝eq\r(SD2－DO2)＝eq\r(12－\f(3,4))＝eq\f(3\r(5),2)。2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？[解]如图正四棱锥S­ABCD中，SO为高，连接OC．则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝eq\f(3\r(2),2)，又因为SC＝2eq\r(3)，则SO＝eq\r(SC2－OC2)＝eq\r(12－\f(9,2))＝eq\r(\f(15,2))＝eq\f(\r(30),2)。故其高为eq\f(\r(30),2)。【教师小结】（一）正棱锥中的直角三角形的应用已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高。(1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC．(2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE。(3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC．（二）正棱台中的直角梯形的应用已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高，(1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1．(2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO。(3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1．三、课堂总结1．棱锥的结构特征。定义有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体图示及相关概念底面：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻两侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点分类按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……2．棱台的结构特征。定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分图示及相关概念上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：除上下底面以外的面侧棱：相邻两侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点分类按由几棱锥截得分：三棱台、四棱台……四、课堂检测1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥。 ()（2）棱台的侧棱长都相等。 ()（3）棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形。 ()（4）棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形。 ()[答案]（1）√（2）×（3）×（4）×2．下列几何体中是棱柱的个数有()A．5个B．4个C．3个D．2个D[由棱柱的定义知①③是棱柱，选D．]3．画一个三棱台，再把它分成：（1）一个三棱柱和另一个多面体；（2）三个三棱锥，并用字母表示。