2017苏版空间几何体的表面积和体积

..>空间几何体的外表积和体积预习提纲1．平面展开图2．概念：直棱柱：正棱柱：正棱锥：正棱台：3．面积公式：S直棱柱侧＝S正棱锥侧＝S正棱台侧＝S圆柱侧＝＝S圆锥侧＝＝S圆台侧＝＝S球面＝相互间的关系：4．体积公式：V长方体＝＝V柱体＝V锥体＝V台体＝V球＝相互间的关系：空间几何体的外表积和体积教案例1：直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16cm，全面积为1440cm2，求底面各边之长.例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？例4：假设正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积.例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：〔1〕球的外表积等于圆柱的侧面积；〔2〕球的外表积等于圆柱全面积的eq\f(2,3)例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的外表积之比.例7：圆锥的全面积是它内切球外表积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.练习：A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的体积.2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.例9：半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？空间几何体的外表积和体积教案例1：直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16cm，全面积为1440cm2，求底面各边之长.分析：这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题，从结论出发，欲求底面各边之长，而各边之比，可分别设为17a、10a、9a，故只须求出参数a即可，则如何利用条件去求a呢？［生］设底面三边长分别是17a、10a、9a,S侧＝〔17a＋10a＋9a〕·16＝576a设17a所对三角形内角α，则cosα＝eq\f(〔10a〕2＋〔9a〕2－〔17a〕2,2×10a×9a)＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5)S底＝eq\f(1,2)·10a·9a·eq\f(4,5)＝36a2∴576a＋72a2＝1440解得：a＝2∴三边长分别为34cm，20cm，18cm.［师］此题中先设出参数a，再消去参数，很有特色.例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.分析：可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得.解：如下列图，设正三棱锥S—ABC的高为SO，斜高为SD，在Rt△SAO中，∴AO＝SA·cos45°∵AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)eq\f(\r(3),2)a∴SA＝eq\f(\r(6),3)a在Rt△SBD中SD＝∴S侧＝eq\f(1,2)·3a·SD＝eq\f(\r(15),4)a2.∵S底＝eq\f(\r(3),4)a2∴S全＝〔eq\f(\r(15),4)＋eq\f(\r(3),4)〕a2例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？分析：在准确识图的根底上，求出所截得的每个三棱锥的体积和正三棱锥A—BCD的体积即可.解：设正方体体积为Sh,则每个截去的三棱锥的体积为eq\f(1,3)·eq\f(1,2)Sh＝eq\f(1,6)Sh.∵三棱锥A—BCD的体积为Sh－4·eq\f(1,6)Sh＝eq\f(1,3)Sh.∴正三棱锥A—BCD的体积是正方体体积的eq\f(1,3).例4：假设正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积.解：如下列图，在正四棱锥P—ABCD中，AB＝a，PB＝2a，作PO⊥底面ABCD于O.连结BD，则O∈BD，且PO⊥BC，由AB＝a，得BD＝eq\r(2)a，在Rt△PAB中，PO2＝PB2－BO2＝〔2a〕2－〔eq\f(\r(2),2)a〕2∴PO＝eq\f(\r(14),2)a，S对角面＝eq\f(1,2)PO·BD＝eq\f(\r(7),2)a2.又作PE⊥BC于E，这时E是BC的中点∴PE2＝PB2－BE2＝〔2a〕2－〔eq\f(1,2)a〕2∴PE＝eq\f(\r(15),2)a∴S侧＝4×PE·BC＝eq\r(15)a2∴对角面面积为eq\f(\r(7),2)a2,侧面积为eq\r(15)a2.例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：〔1〕球的外表积等于圆柱的侧面积；〔2〕球的外表积等于圆柱全面积的eq\f(2,3)证明：〔1〕设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，得S球＝4πR2，S圆柱侧＝2πR·2R＝4πR2∴S球＝S圆柱侧〔2〕∵S圆柱全＝4πR2+2πR2＝6πR2S球＝4πR2∴S球＝eq\f(2,3)S圆柱全例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的外表积之比.解：设正方体的棱长为a，则第一个球的半径为eq\f(a,2)，第二个球的半径是eq\f(\r(2),2)a，第三个球的半径为eq\f(\r(3),2)a.∴r1∶r2∶r3＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∴S1∶S2∶S3＝1∶2∶3例7：圆锥的全面积是它内切球外表积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.解：过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面SAB和球的大圆⊙O，且⊙O为△SAB的内切圆.设圆锥底面半径为r,母线长为l;内切圆半径为R，则S锥全＝πr2＋πrl，S球＝4πR2，∴r2＋rl＝8R2 ①又∵△SOE∽△SAO1∴ ②由②得：R2＝r2·代入①得：r2＋rl＝8r2·，得：l＝3r∴∴圆锥侧面积与底面积之比为3∶1.练习：A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的体积.2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.解：如下列图，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆圆O1.设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R，则有OB＝O1O·cot30°＝eq\r(3)RSO＝OB·tan60°＝eq\r(3)R·eq\r(3)＝3R∴V球＝eq\f(4,3)πR3,V柱＝πR2·2R＝2πR3V锥＝eq\f(1,3)π〔eq\r(3)R〕2·3R＝3πR3∴V球∶V柱∶V锥＝4∶6∶9［师］以上题目，通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系.让我们继续体会有关球的相接切问题.例9：半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？解：如下列图，大球O的半径为R；设正四面体A—BCD的棱长为a，它的内切球半径为r，依题意BO1＝eq\f(2,3)eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，AO1＝eq\r(AB2－BO12)＝eq\r(a2－〔eq\f(\r(3),3)