1992考研数二真题及解析

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上 .)(1)xf(t),可导,且f(0)0,则dy＿＿＿＿＿＿.设yf(e3t其中f1),dxt0(2)函数yx2cosx在[0,]上的最大值为＿＿＿＿＿＿.2(3)lim11x2＿＿＿＿＿＿.x0excosx(4)dx＿＿＿＿＿＿.1x(x21)(5)由曲线yxex与直线yex所围成的图形的面积S＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题 3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中是符合题目要求的 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 .)

,只有一项(1)当x0时,xsinx是x2的()(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但非等价的无穷小(2)设f(x)x2,x0()x2x,x,则0(A)f(x)x2,x0f(x)(x2x),x0(x2(B)x2,x0x),x0(C)f(x)x2,x0f(x)x2x,x0x2x,x(D)x2,x00(3)当x1时,函数x21ex11的极限()x1(A)等于2(B)等于0(C)为(D)不存在但不为设f(x)连续,F(x)x2(4)f(t2)dt,则F(x)等于()0(A)f(x4)(B)x2f(x4)(C)2xf(x4)(D)2xf(x2)(5)若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为()(A)1sinx(B)1sinx(C)1cosx(D)1cosx三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)求lim(3x)x21.x6x(2)设函数yy(x)由方程yxey1所确定,求d2y的值.dx2x0(3)求x31dx.x2(4)求1sinxdx.0(5)求微分方程(yx3)dx2xdy0的通解.四、(本题满分 9分)1x2,x03设f(x)x,求f(x2)dx.e,x01五、(本题满分 9分)求微分方程 y 3y 2y xex的通解.六、(本题满分 9分)计算曲线y ln(1 x2)上相应于0 x 1的一段弧的长度.2七、(本题满分 9分)求曲线y x的一条切线 l,使该曲线与切线 l及直线x 0,x 2所围成的平面图形面积最小.八、(本题满分 9分)已知f(x) 0,f(0) 0,试证：对任意的二正数 x1和x2,恒有f(x1 x2) f(x1) f(x2)成立.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】3【解析】由复合函数求导法则可得dydy/dt3e3tf(e3t1),于是dy3.dxdx/dtf(t)dxt0【相关知识点】复合函数求导法则:如果ug(x)在点x可导,而yf(x)在点ug(x)可导,则复合函数yfg(x)在点x可导,且其导数为dyf(u)g(x)或dydydudxdxdu.dx(2)【答案】36【解析】令y12sinx0,得[0,2]内驻点x.6因为只有一个驻点,所以此驻点必为极大值点,与端点值进行比较,求出最大值.又y(0)2,y()3,y()2,662可见最大值为()3.y66(3)【答案】0【解析】由等价无穷小,有x0时,11x2:1(x2)1x2,故2211x21(x2)lim2,limcosxcosx上式为“0”型的极限未定式x0exx0ex,又分子分母在点0处导数都存在,由洛必达法则,有0x原式lim0.xsinx(4)【答案】1ln2x0e2【解析】令b,原式limbdxlimbx21x2dxlimb1x)dx21x(x2(x2b1x(x1)b1)b1x1

(分项法)limlnxblim1b1dx2(凑微分法)11bb2x21limlnxblim1ln(x2blimlnb1ln211)bb21bb212limlnb21ln11ln21ln2.b21ln2b222【答案】e12【解析】联立曲线和直线的方程 ,解得两曲线的交点为 (0,0),(1,e),则所围图形面积为1,得S(exxex)dx,再利用分部积分法求解0ex21e1.Sxex10exdx220注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定uu(x)与vv(x)均具有连续的导函数,则uvdxuvuvdx,或者udvuvvdu.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)【答案】(B)xsinx为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续【解析】limx20x0运用两次洛必达法则,有limxsinxlim1cosxlimsinx0,故选(B).x22x2x0x0x0【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(x),(x)为无穷小且存在极限lim(x)l,(x)(1)若l0,称(x),(x)在该极限过程中为同阶无穷小；(2)若l1,称(x),(x)在该极限过程中为等价无穷小,记为(x):(x)；(3)若l0,称在该极限过程中(x)是(x)的高阶无穷小,记为(x)o(x).(x)若lim(x)

不存在(不为 ),称 (x), (x)不可比较.【答案】(D)【解析】直接按复合函数的定义计算 .(x)2,x0x2x,x0,f(x)2(x),x0x2,x0.(x)所以应选(D).【答案】(D)【解析】对于函数在给定点 x0的极限是否存在 ,需要判定左极限 x x0和右极限x x0是否存在且相等 ,若相等,则函数在点 x0的极限是存在的 .x211lim1ex1lim(x1)ex1x1x1x1211limx1ex1lim(x1)ex1x1x1x10,故当x1时函数没有极限,也不是.故应选(D).【答案】(C)x2【解析】F(x)[f(t2)dt]f[(x2)2](x2)0

,.2xf(x4),故选(C).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若F(t)(t)(t)均一阶可导,则f(x)dx,(t),(t)F(t)(t)f(t)(t)f(t).【答案】(B)【解析】由f(x)的导函数是sinx,即f(x)sinx,得f(x)f(x)dxsinxdxcosxC,其中C为任意常数.所以f(x)的原函数F(x)f(x)dx(cosxC)dxsinxC1xC2,其中C1,C2为任意常数.令C10,C21得F(x)1sinx.故选(B).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)3【答案】e2【解析】此题考查重要极限： lim(1 1)xe.x将函数式变形 ,有lim(3x16x3x1x)2lim(13)36x2x6xx6x3x1lim3x13lime6xe2.2ex6x2x(2)【答案】2e2【解析】函数yy(x)是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.方法1：在方程两边对x求导,将y看做x的函数,得yeyxeyy0,即yey,1xey把x0,y1代入可得y(0)e.两边再次求导,得yeyy(1xey)ey(eyxeyy)(1xey)2,把x0,y1,y(0)e代入得y(0)d2y2e2.dx2x0方法2：方程两边对x求导,得yeyxeyy0；再次求导可得yeyy(eyyxeyy2xeyy)0,把x0,y1代入上面两式,解得y(0)e,y(0)d2y2e2.dx2x0【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果ug(x)在点x可导,而yf(x)在点ug(x)可导,则复合函数yfg(x)在点x可导,且其导数为dyf(u)g(x)或dydydudxdxdu,dx两函数乘积的求导公式：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x).3.分式求导公式：uuvuvvv2.3(3)【答案】(1x2)21x2C其中C为任意常数.【解析】方法1：积分的凑分法结合分项法,有x3dx1x2d(1x2)1(1x2)1d(1x2)1x221x221x21(1x21x2)d(1x2)2111x2d(1x2)11d(1x2)221x21(13x2)21x2C其中C为任意常数.3方法2：令xtant,则dxsec2tdt,x3dx32td(sect)21)d(sect)tantsectdttan(sect1x21sec3t13sectC(1x2)21x2C,其中C为任意常数.33方法3：令tx2,则xt,dx1,2tx31tdt此后方法同方法1,积分的凑分法结合分项法1x2dx1t21113(1t)dt(1x2)21x2C,其中C为任意常数.21t3【答案】4(21)【解析】注意 f(x)2 f(x) f(x),不要轻易丢掉绝对值符号；绝对值函数的积分实际上是分段函数的积分 .由二倍角公式sin2sincos,则有2221sinsin2cos22sincossincos.2222222所以 1 sinxdx0 020

sinxcosxdx0sinxcosxdx2222cosxsinxdxsinxcosxdx222222sinx cosx2 2

20

cosxsinx2224( 2 1).(5)【答案】yCx1x3,其中C为任意常数511【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为yyx2.,得2x2由一阶线性微分方程的通解公式1dx1dxye2x1x2e2xdxC2Cx1x3其中C为任意常数.5【相关知识点】一阶线性非齐次方程yP(x)yQ(x)的通解为P(x)dxP(x)dxyeQ(x)edxC,其中C为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令x2t,则dxdt.当x1时,t1；当x3时,t1,于是3f(x1f(t)dt分段01tdt12)dx1t2dte11001t3et1t031

1.e五、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程r23r20有两个根为r11,r22,而非齐次项xex,1r1为单特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解Y(ax)xxbe,代入方程可得1,b1,所求解为a2x(xyC1exC2e2x2)ex,其中C1,C2为任意常数.2【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y*(x)是二阶线性非齐次方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程yP(x)yQ(x)y0的通解,则yY(x)y*(x)是非齐次方程的通解.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即 y P(x)y Q(x)y 0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程变为y py qy 0.其特征方程写为 r2 pr q 0,在复数域内解出两个特征根 r1,r2；分三种情况：两个不相等的实数根r1,r2,则通解为yC1erx1C2er2x;(2)两个相等的实数根r1r2,则通解为yC1C2xerx1;(3)一对共轭复根r1,2i,则通解为yexC1cosxC2sinx.其中C1,C2为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解y*(x),可用待定系数法,有结论如下：如果f(x)()x,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*kxPmxey(x)xQm(x)e的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f(x)x[Pl(x)cosx(x)sin]ePnx,则二阶常系数非齐次线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的特解可设为y*xkex[Rm(1)(x)cosxRm(2)(x)sinx],其中Rm(1)(x)与Rm(2)(x)是m次多项式,mmaxl,n,而k按i(或i)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为01或.六、(本题满分 9分)【解析】由于 y ln(1 x2),y2xy2(1x2)21y2dx1x2x2,1(1x2)2,ds1x2dx,(011/21x2dx1/22(1x2)dx所以s1x201x201/2211/21dx1/211x2dx1x01dx00x1x1/211ln.ln31x022【相关知识点】平面曲线弧长计算：已知平面曲线?AB的显式表示为y

1),212f(x) a x b,则弧微分为ds1f2(x)dx,弧长sb1f2(x)dx,其中f(x)在a,b有连续的a导数.七、(本题满分9分)【解析】过曲线上已知点(x0,y0)的切线方程为yy0k(xx0),其中当y(x0)存在时,ky(x0).如图所示,设曲线上一点(t,t)处的切线方程为yyt1(xt),t2t化简即得yxtt2.x2Ot2面积S(t)2xtxdx1t42,02t2t3其一阶导数S(t)1t3/21t1/2t1.222tt令S(t)0解得唯一驻点t1,而且S在此由负变正,即S(t)