传热学-第3章非稳态导热

§3-1非稳态导热的基本概念§3-2零维问题的分析法——集中参数法§3-3典型一维物体非稳态导热的分析§3-4半无限大物体的非稳态导热§3-5

简单几何形状物体 非稳态导热的解析解第3章非稳态导热2021/10/30-

2-§3-1

非稳态导热的基本概念1、非稳态导热（unsteady

heat

transfer）的定义物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热。t

f

(

x,

)

f

(r

,

)2、非稳态导热的分类周期性：物体中各点的温度及热流密度都随时间做周期性变化。非周期性（瞬态导热）：物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定。3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级第3章非稳态导热——§3-1

非稳态导热的基本概念2021/10/30-

3-着重

瞬态非稳态导热4、温度分布：第3章非稳态导热——§3-1

非稳态导热的基本概念t1tAt0PHGFB

C

D

E

I

JK金属壁保温层x开始的一段时间，物体

温度变化一层层逐渐深入到

，温度变化速度不一样，反映到吸热量上，吸热量不一样。非正规状况阶段(不规则情况阶段)正规状况阶段(正常情况阶段)温度分布主要取决于边界条件及物性温度分布主要受初始温度分布控制导热过程的三个阶段：非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态2021/10/30-

4-Φ1－－板左侧导入的热流量Φ2－－板右侧导出的热流量第3章非稳态导热——§3-1

非稳态导热的基本概念2021/10/30-

5-两个阶段的过程是有区别的；与热流方向向垂直的截面上热流量处处不等。对于非稳态导热一般不能用热阻的方法来做问题的定量分析。5、热量变化x

x

y

y

z

zc

t

(

t

)

(

t

)

(

t

)

p

定解条件：

初始条件边界条件(3)求解方法：解析解法：近似分析法：数值解法：分离变量法、积分变换、拉 斯变换集中参数法、积分法有限差分法、控制容积法、有限元法6、非稳态导热问题的求解温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律t

f

(x,

y,

z,

)

;

Φ

f(

)非稳态导热的导热微分方程式：第3章非稳态导热——§3-1

非稳态导热的基本概念p

控制方程：

c

t

(t)

2021/10/30-

6-tfhtfhxt0tfhxt0a

流体与物体表面的对流换热环节rh

1

hb

物体

的导热r

(2)毕渥数的定义：Bi

r

hrh

1

h 7、毕渥数本章以第三类边界条件为重点。(1)问题的分析，存在两个换热环节：第3章非稳态导热——§3-1

非稳态导热的基本概念2021/10/30-

7-

h1

hrhBi

r无量纲数(3)第三类边界条件下Bi数对平板内温度分布的影响第3章非稳态导热——§3-1

非稳态导热的基本概念2021/10/30-

8-无量纲数的简要介绍：基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，并且没有量纲。因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数，比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类似的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一般用符号l

表示。对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中各个参数的意义。

hBi

r1

hrh当

Bi

时，，r因此，r可以忽略对流换热热阻当Bi

时0，

hh，r因此，可r以忽略导热热阻0

Bi

第3章非稳态导热——§3-1

非稳态导热的基本概念2021/10/30-

9-Bi

0

t

f

(

)0

0时，t

t§3-2

零维问题的分析法——集中参数法3.2.1

集中参数法温度场分布的解析解1.定义：当固体的导热热阻远小于其表面的对流换热热阻时，任何时刻固体的温度都趋于一致，以致可以认为整个固体在同一瞬间处于同一温度下。这时所要求解的温度仅是时间的一元函数而与空间坐标无关，好像该固体原来连续分布的质量与热熔量汇总到一点上，而只有一个温度值那样。这种忽略物体导热热阻的简化分析方法称为集中参数法。第3章非稳态导热——§3-2

集中参数法2

温度分布，任意形状的物体，参数均为已知。将其突然置于温度恒为t

的流体中。t

a2t

cp2021/10/30-

10-当物体被冷却时（t

>t）,把界面上的对流换热量折算成整个物体的体积热源Vc

dt

hA(t

t

)ddd

hA

cV方程式改写为：令：

t

t

—

过余温，度则有d

hA

0

0

(

0)

t

t

d

cV初始条件控制方程第3章非稳态导热——§3-2

集中参数法V

hA(t

t

)Vh

hA(t

t

)

h

cp

cp2021/10/30-

11-t

f(

τ

)t

t

a2t

1cVln

hA

Cln

0

cVd

hA

d

cV积分

cV

exp(

hA

)0

t0

t

t

t过余温度比其中的指数：

BiV

FoV(V

A)2hA

hV

A2

h(V

A)

acV

A

V

2c

第3章非稳态导热——§3-2

集中参数法初始条件

hA

01C

ln

0cVln

hA

ln

(V

A)22021/10/30-

12-aBiVFo

V

h(V

A)(V

A)2aV

VBi

Fo

h(V

A)FoV

是傅立叶数0hA

exp(

cV

)

exp(

BiV

FoV

)物体中的温度呈指数分布方程中指数的量纲：23

m3

K

[m

]m2

W

w

1J

shA

m

K

Vc

kg

Jkg

第3章非稳态导热——§3-2

集中参数法2021/10/30-

13-

e1

36.8%时，则Vc的量纲相同，当

hA即与1/此时，

0hA

Vc

1上式表明：当传热时间等于了初始过余温度的36.8％。称时，物体的过余温度已经达到为时间常数：Vcp

/(hA)Vc

/(hA)hAcpVc

第3章非稳态导热——§3-2

集中参数法0Biv

Fov2021/10/30-

14-物体过余温度的变化曲线：如果导热体的热容量（

cV

）小、换热条件好（h大），那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数(cV

/hA)小。热电偶的时间常数是说明热电偶对流体温度变动相应快慢的指标。时间常数越小、说明热电偶对流体温度变化的响应越快。它取决于热电偶的几何参数（V/A）、物理性质（ρ、cp），还同换热条件有关。（微细热电偶、薄膜热电阻）

1.83%

工程上认为

=4

cV

/hA时当

4

cV

时，hA

0导热体已达到热平衡状态第3章非稳态导热——§3-2

集中参数法2021/10/30-

15-3、瞬态热流量：Φ(

)当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）W

Vc

hA0e00Vc导热体在时间

0~

内传给流体的总热量：

hA

(1

e

)

JΦ(

)d

VcQ

第3章非稳态导热——§3-2

集中参数法2021/10/30-

16-4、

Biv

Fov物理意义

1

hBi

hl

l

物体

导热热阻物体表面对流换热热阻＝无量纲热阻无量纲时间Fo

——表征非稳态过程进行深度的无量纲时间Fo

越大，热扰动就能越深入地

到物体

，因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。l2Fo

a

边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间换热时间第3章非稳态导热——§3-2

集中参数法2021/10/30-

17-5.集中参数法的应用条件采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%

h(V

/A)

0.1MBiV第3章非稳态导热——§3-2

集中参数法对厚度为2

的无限大平板V A

M

1；

A

A

；

BiV

Bi对半径为R

的无限长圆柱V

R

2

R

BiM

；

；

BiV

A

2R

2

2对半径为R

的球4

R3M

1

V

3

R

Bi

Bi3

；

A

4R2

3

；

V

32021/10/30-

18-是与物体几何形状有关的无量纲常数

0.1BiV

chl对厚度为2

的无限大平板lc

对半径为R

的无限长圆柱lc

R对半径为R

的球lc

R§3-3

一维非稳态导热的分析解1.无限大的平板λ

=const；a=const；h=const因两边对称，只研究半块平壁第3章非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解此半块平板的数学描写：导热微分方程：初始条件：

0,边界条件：(0

x

,

0)

x22

tt

at

t0t

0x

0,xx

,2021/10/30-

19-x

t

h(t

t

)(对称性)引入变量－－过余温度(x,

)

t(x,

)

t

(

x,0)

0

a

x2

x上式化为：

2

hx

0xx0第3章非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解用分离变量法可得其分析解为：x,

ha

2nnn

sin

n

cos

n 2

sin

(,

)

0,

Bi

Fo

(n

1,2,3,)ntan

BinC

n1C

exp(2

Fo)

cos(

)n

n

n

f

(Fo,

Bi,)0

t0

t

t(,

)

t2021/10/30-

20-μn为

方程的根n

nn

Bi

h

/

tan

第3章非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解2021/10/30-

21-

f

(Fo,

Bi,)0t

t

t(,

)

t0

rrR

t

|0

h(t

t

)0r

tt(r,0)

tr

r

rt

1

2t

|r0

0p(

0)

r

c

r

r

r

cp|

0

r

r

r

(

0)rR

|

hr0

(r,0)

0

1

2

第3章非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解2.圆柱半径为R的实心圆柱，初始温度为t0，在初始瞬间将其置于温度为t∞的流体中

R2021/10/30-

22-(n

1,2,3,)nJ

(

)C

2J0

(n

)n

1

n

Bi

J

2

(

)

J

2

(

)n

0

n

1

nFo

a

,

Bi

hR

,

rR2

(,

)

n1C

exp(2

Fo)J

(

)n

n

0

nJ1

(n

)02

rtt(r,0)

t0

t

r2

r

r

r

rR

0r

|r0

0

|

h(t

t

)(

0)

t

1

2t

cp

r

rr

r

r

rrR

|

hcp

0

|(

0)r0

(r,0)

0

1

2

2

2第3章非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解3.球半径为R的球，初始温度为t0，在初始瞬间将其置于温度为t∞的流体中R(n

1,2,3,)n

n

n1

n

cos

n

Bin1nnn

nC

exp(

Fo)

sin

cos

sin

n

n

cos

nCn

2

Fo

a

,

Bi

hR

,

rR2sin(

)

(,

)

1

20

f

(Fo,

Bi,)0t

t0

t(,

)

t2021/10/30-

23-11sin(

)21exp(

Fo)110

1

121

0

1exp(

Fo)J

()1

12

20

1

0

121

10

1)2

sin

1

sin

(,

)

2(sin

1

cos

)

J

(

)

J

(exp(

Fo)

cos()

sin

1

cos

1J1(1

)无限长圆柱：

(,

)

2无限大平板：

(,

)

球：第3章非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解(,)(,)

t

t121p()Fo)efx(

A

tt

0

0

表达式：3.3.2

非稳态导热的正规状况1.解析解的简化表达式当

Fo≧0.2

取级数的第一项，计算结果的偏差小于1%2021/10/30-

24-（2）0→τ时间内所传递的热量QQQQ无限长圆柱：Q无限大平板：Q球：第3章非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解2.一段时间间隔内所传导的热量计算式（1）初始时刻到平板处于新的平衡时所传递的热量(过程所能传递的最大热量)Q0

cpV

(t0

t

)Q

cp

V

(t0

t)dVQ0

cp

(t0

Q

cp

V

(t0

二者之比：QQ21

1

Aexp(

Fo)B0

表达式：2021/10/30-

25-第3章非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解21

1

Aexp(

Fo)f

()t

t0

0

温度常分布：

(,

)

t(,

)

tQQ21

1

Aexp(

Fo)B0导热量计算：几何形状ABf

(1)对厚度为2

的无限大平板21sin

1sin

1

cos1sin

11cos(1)对半径为R

的无2J1

(1

)2J1

(1

)J

0

(1)限长圆柱

[J

2

(

)

J

2

(

)]1

0

1

1

11对半径为R

的球2

sin

1

1

cos

11

sin

1

cos

13

sin

1

1

cos

1

31sin(

1)12021/10/30-

26-3.3.3

非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法（1）近似拟合公式法（由Campo提出）0;

J

a

bx

cx2

dx3211

bBia

cBiBi

;

A

a

b(1

d

cBi);

B

b

1

a

2021/10/30-

27

-第3章非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解1

10

t

t

(,

)

t(,

)

t

Aexp(

Fo)

f

()0

2温度常分布：QQ21

1

Aexp(

Fo)B0导热量计算：几何形体计算的量无限大平板无限长圆柱球特征值

μ1a0.40220.17000.0988b0.91880.43490.2779系数

Aa1.01011.00421.0003b0.25750.58770.9858c0.42710.40380.3191系数

Ba1.00631.01731.0295b0.54750.59830.6481c0.34830.25740.1953计算J0(x)的常数：a

0.9967b

0.0354c

0.3259d

0.0577三个变量，因此，需要分开来画(1)先绘制

f

(Fo,

Bi)m0（2）图

（由Heisler提出nomogram）诺谟图

以无限大平板为例，Fo>0.2

时，取其级数首项即可第3章非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解0

1

1

11

01

xx

(

x,

) 2

sin

cos(

)

f(Fo,

Bi,

)

sin

cos

e

1

2F(2)再绘制1

xm

(

x,

)

cos(

x

)

f

(Bi,

)

(

)

(3)于是，平板中任一点的温度为

m

0

0

m2021/10/30-

28-第3章非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解无限大平板的诺谟图0

2~mFo

aBi

h

m1

~

02~Q2h2

a

QFoBi

0

0

2021/10/30-

29-xf

(Fo,

Bi,

)m

m

第3章非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解对于无限大圆柱体或球体，也可用查图方式求得。适用条件：适用于恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程。Fo>0.2，否则过于密集，误差太大，用解析解求。2021/10/30-

30-球

半

径R

圆柱的半径Fo

Bi

hRh

R2第3章非稳态导热——§3-3一维非稳态导热的分析解对解析解的几点Fo准则，Bi准则对温度分布的影响Fo

准则：Fo↑，τ↑，即θ↓Bi的影响：Bi→∞，即ctg(βnδ)=0，=>θ/θ0

=0，t=t∞从诺模图中可知，当Bi

<0.1，即1/Bi

>10时，截面上的温度差值已小于5％，此时可采用另

法，忽略导热热阻的方法。0

2~mFo

a2021/10/30-

31-§3-4

半无限大的物体半无限大物体的概念x2

0

t

t0x

0

三类边界条2t

attwt0tx第3章非稳态导热——§3-4半无限大的物体第一类边界条件：

t(0,

)

tw第二类边界条件：第三类边界条件：0x0

qx

t

ht2021/10/30-

32-

t(0,

)x0x

t)204a

wt0

twxt

t

x

4a

edy

erf(

y2误差函数无量纲变量第3章非稳态导热——§3-4半无限大的物体问题的解：第一类边界：第二类边界：第三类边界：q

x

x

4a

4a

0

erfcexpt

t0

ax22q02021/10/30-

33-x

h a

t

tt

t

x

4a

erfc

exp

4a

2

hx h

2

a

0 0

erf

误差函数：erf

(x)

x有限大小时，erf

(x)

1x

erf

(x)

120xev2

dv

erf

(

)0

x4a说明：(1)无量纲温度仅与无量纲坐标

有关一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论x

有多么大，该处总能感受到温度的化。？但解释Fo,

a

时，仍说热量是以一定速度

的，这是因为，当温度变化很小时， 就认为没有变化。无量纲坐标第3章非稳态导热——§3-4半无限大的物体2021/10/30-

34-4axy

令若即

0

0.9953

可认为该处温度没有变化erf

(

y

)y

x

4ay

2

erf

(

2

)

0.9953第3章非稳态导热——§3-4半无限大的物体2021/10/30-

35-两个重要参数:（1）几何位置如果：

y

2

x

4

a4ax16ax24ax（2）时间如果：

y

2

δ

4

aτ

即可作为半无限大物体来处理第3章非稳态导热——§3-4半无限大的物体对一原为2δ的平板，若其半厚此时x处的温度可认为完全不变，因而可以把视为惰性时间。当时x处的温度可以认为等于t0。16ax

216a2021/10/30-

36-2

x对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的初始阶段，那在惰性时间以内。令x

0

即得边界面上的热流通量[0,]内累计传热量1x即任一点的热流通量：

qx

0

ae4a

x200dz

2c

q吸热系数0

awq

第3章非稳态导热——§3-4半无限大的物体2021/10/30-

37-2221§3-5

二维及三维问题的求解一无限长方柱体(其截面为的长方形)21

22t

ft

2t

2ta(

x2

y

2

)t(

x,

y,0)

t0

0xh(t

t

)

t(

x,

y,

)1x

yh(t

t

)

t(x,

y,

)2y

0t(

x,

y,

)xt(x,

y,

)yx

0x0

0y

0y0第3章非稳态导热——§3-5二维及三维问题的求解2021/10/30-

38-2221引进无量纲温度：t

f0t0

t

t(

x,

y,

)

t

x2

y2

a(

)

2

2

0

111x

h(

,

y,

)

(x,

y,

)x(x,

y,

)yh(x,2

,

)

y

2x0

0(x,

y,

)x

0y0

0y

0yx(x,

y,

)第3章非稳态导热——§3-5二维及三维问题的求解2021/10/30-

39-

02xx

(x,

)

h(

,

)x(x,

)ax0

x2

0

x

(x,0)

1x

0

2x利用以下两组方程便可证明即证明了一维无限大平壁公式、诺谟图或拟合函数求解二维导热问题。(x,

)(y,

)是无限长方柱体导热微分方程的解，这样便可用(

x,y,

)

(

x,

)

(

y,

)其中其中及fxt(x,

)

t

h(2

,

)(

y,

)yy

2

2

a

y2y(

y,

)

0

(

y,0)

1y

0