泄露天机数学文科学生用卷

——2015年金高考 一、选择题（36个小题N)N)

(UN)N125则集合12(UN)为 NMN

M

(UM

个数为 设集合A1,0,1,2,3， xx22x0，则AB

B．2,

C．1,

D．0,1,若z(1i)i（其中i为虚数单位，则|z|等于 3 32

2 2 若复数a3i（aR,i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为 1

D.

在复平面内对应的点位于 A．第一象 B．第二象 C．第三象 已知向量m1,1,n2,2，若mnmn,则=

-已知D

的边BC的中点，

所在平面内有一个点P，满足

|PD|AD

的值为 DB DBP

D．ΔABCBAC

的取值范围是 A． D．x已知命题p：xR，x20，命题q：xR x，则下列说法中正确x是 命题pq是假命 B．命题pq是真命C．命题p(q)是真命 D．命题p(q)是假命命题“xR，x22x10”的否定是 xR，x22x1 B．xR，x22x1C．xR，x22x1 D．xR，x22x1px

2xm0(mR有三个实数根；命题q0mpq成立的>C． C． D．4324323

333324某几何体的三视图，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A． B．88

C．4 D．82 某几何体的三视图，则该几何体的体积为

xa0xy满足约束条件xyya(x

z2xy的最小值为1a

D．x已知xy12xy2

，若axy的最小值是2，则a 2xy4已知不等式组xy3y

构成平面区域xy是变量)。若目标函数zax6y(a0)的最小值为-6，则实数a的值为 A．2

L

i

i

i

iS0,nS0,nSSlogn2nA. B. C. D.S输出nn执行S输出nn为 A. B. C. D.xyx01456ym为 79844493学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学，结果显示这些同学的支出都在10,50（单 位：元其中支出在30,50（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图，则n的值为（ 若sin(3

sincos

cos 12

2

D．在ABC中，若sinAB12cosBCsinAC，则ABC的形状一定是 B.不含60o的等腰三角 已知0，函数f(x)sin(x)在(,)上单调递减，则的取值范围是 A．2,4

B．2,3

33

3

2fxcosx(xR,0的最小正周期为fx 3 只需将函数gxsinx的图象 3A．2C．4

个单位长 2个单位长 4

在ABCA600BC

10,DABCD

2BCD为1，则AC的长为 3332A． 3332 已知函数f(xasinxcosx

3

x(a0,02

值为

3fx的图像向左平移（＞0）2称轴为x ，则的值不可能为 8

2 1(a0)的离心率2 1

，则a的值为 23 23 如图过拋物线y22pxp0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若 y232y292

y2y23x 椭圆

1(ab0F1F2，P为椭圆M上任

最大值取值范围是2c2,3c2，其中c

a2a22

3 2

3

1,1

2

，则函数yfx的大致图像为 2x2 (0x已知函数f(x)2x2 (4x

x1x2，当0x14x26f(x1)f(x2)，则x1f(x2)的取值范围是 A. B.[1, C.[1, D.f(x)

log5(1

(x

xf(x12ax(x2)2 (x x个数为 A.5 B.6 C.7 D.8二、填空题（12个小题 任取一点M，则满足AMB为锐角的概率 字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等，若a,b,c，且a，b，c互不相同，则这个三位数为”有缘数”的概率是 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 。把正整数按一定的规则排成了的三角形数表124357689aiji,jN是位于这个三角形数表中从上往下数i行、从左往右数第j个数，如a5211．则a87 1

2

3 4

5

6

7

8 9

10

11

12

13

14

15 A、B、C、D是同一球面上的四个点,其中ABC是正三角形,AD⊥平面ABC33

4SABCD43

，则该半球的体积 已知四棱锥PABCDABCD为矩形，且中心为OABBO1PAPBPCPD2，则该四棱锥的外接球的体积 已知等差数列{a}前n项和为S且满足S5S23则数列{a}的公差 已知S为数列{a}的前n项和，且满足a1，a 3n(n

)，则 n S2014 已知数列ann

n

2n1，若不等式2n2n3(5

对Nnn立，则整数的最大值 nn三、解答题（18个小题在ABCABCabc已知cosA2cosC2cacos 求sinC的值 （II）若cosB1，b2，求ABC的面积Ssin 在△ABCa,b,cA,B,Cab,sin2A3cos2A2sin2BC设c

3，求△ABCSn已知数列{a}a1nSn

2S

(n2)

an2Sn1n2n

1

1

...1

3S Sn

2 3

n （1．PA/BDE（2PEDEDO 1

2 C1BC1平面BDC1DBA如图，已知FCD，四边形FCDF平面C平面求三棱锥CF“XX（分，若该有100名生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出的频率分布直方图．在该校参加市知识竞赛的学生中随机抽取2人，求选取截至20141127我国机动车驾驶人数量突破3大关年均增长超过两千万了解某地区驾驶预考的现状，选择A，B,C三个驾校．参加各驾校科目一预考｜x－96．5｜≤4M，响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的结果，并作出频数统计表如下：，表1：男 表x53y从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人等级为合格的由表中统计数据填写下边22列联表，试采用独立性检验进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“结果优秀与有关．K

n(ad(ab)(cd)(ac)(bd

，其中nabcdP(P(K2k02椭圆C:2

1(ab0y2 y2

P(2,1的距离为10求椭圆C若直线lykxm与椭圆CA、BA、BAB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

C1:a2

F1PF290PPF1的距离的最大值为22(I)求椭圆C1的方程2 上的动点T作圆C2的两2切线，设切点分别为A,B，若直线AB与椭圆C1交于不同的两点C,D，

p） ，直线l1与抛物线AB两点，C为抛物线AB的一点，ACxBACM,过C作直线l2BMN,设l1,l2的k1k2k1k21。）

ABCNf(xpxp2lnx（pRxfxpg(x2ep0，若在1,exf(xg(xxp

)l()

fx是(0,Fx)

fxgxx1,Fx)0恒成立，求af(xexax1(a0e为自然对数的底数fxfx≥0x∈Ra（III）在（II）的条件下，证明：111 11n(n1)(nN* g(xa②在①的条件下，若e2xeg(xmm2BAB为圆OBCCD为圆OBD为切点.

AD//OC若圆O2ADOCy42sinxOy中，圆C的参数方程为y42sin

（为参数x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆CA(20B(02)，圆CM(x,yABMf(x)kx3kRf(x3)0的解集为k若ab

111

1a2b3c

，求证： 2B如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点CCD⊥AFAF的延长D点，CM⊥AB，垂足为点求证：DC是⊙O的切线xoy有相同的长度单位，以原点Ox 知直线l的参数方程为x22t（t为参数，曲线Csin28cosy3 求C设直线l与曲线CAB两点，求弦长|AB|

若a1，解不等式如果求a的取值范围2B 已知曲线C4cosx

2222x平面直角坐标系，直线l的参数方程为y1

（t为参数t2(I)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l(II)求直线l被曲线CAB已知a，b∈R，a＋b＝1，xxR x1x2＋2 参考答一、选择题（36个小题1，2ðUMNBC123456,89,10,12,15CB

0AB13解析：化简得z 2

i，则|z2 2

C答案：a

(a3i)(1

a 3解析：

1

(12i)(1

i

0,a6解析：根据复数的运算可知 i2i121i，所以复数的坐标为2,1，D答案：

2i2

5mn23,3mn11mnmn,23130,3答案：PBAC是平行四边形，DBCD

|PD|AD1答案：BAC120,AB2,AC1,ABACBAC120,AB2,AC1,ABAC21COS120ADBCAB(1)AC(ACAB)(21)ABACAB2(1)(21)4172.01(72)答案： x解析：命题p为真命题.对命题q，当x 时x4

x 答案：xRx22x10xRx22x10答案

(2x),x

fxR上的奇函数，由fx)的图像可知，函数fx)在0上的最大值是1，根据图像的对称性知函数fx)在,0上的最小值为-1，又函数fx)的图像与x轴有3个交点，那么原方程有3个实数根的充要条件是1,1，而0,11,1，所以B答案解析：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个棱锥得到的如图V13451134)324，故选C 3答案解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2体，其体积为23112282，故选D 答案体积为1121111214 3 答案

解析：依题意可以画出不等式表示的图形，当过点1,2a时取最小值，即2-2aa=2答案解析：由已知得线性可行域，则zaxy的最小值为2，若a2，则(1,0)为a2a2，则(34)B。答案

2xy4解析：不等式组xy3y

a0a0zax6yC2xy40解得x26C(2,0)，故62a60a3

y

y答案i24

2014i2016B答案n1n15S3n16.C答案S1i2S11i3S112i4S1123i5；S11234i6；…，以此类推，S11234…1920i22，程序才刚好不满足in，故输出S120120211B2答案x3.2yˆx1y4.24m6.7m1.675，0.1后m的值为1.7C。答案848458584.A答案30,50的同学的频率为10.010.023100.67，n答案解析：由题意sin3，因为是第三象限的角，所以cos4

100 sincos cossin (cos 2

sin2 1 因

2

答案s答案4，f(xsin4x 其减区间为[3k3k](kZ)，显然(,)[3k3k](kZ) BC；取3f(xsin3x)，其减区间为4k24k8](kZ) (,)4k24k8](kZDA2答案

fxcosx的最小正周期为，所以

2 3 fxcos2x 3 g 32cos2x43，则用x4x fxC4

1，可得1CDBCsinDCB1，即sinDCB 5， 25以cosDCB .在BCD252CD2BC2253cosDCB BD532CDBD2BC2 ，所以sinDBC 2BD在ABC

BC

ACBCsinB23答案

sin

sin 解析：f(x) xcosx3cos2xasin2x 3cos2x 3依题意 a2 a2

3，所以a23

a

a3，故 f

33(sin

) 2

24f(x)

3sin(4x) 。将函数f(x) 左平移（＞0）g(x)

3sin(4x4)

3g(x) x。故44k(kZ，解得

k(kZ)8B答案

解析：依题意0a1c1，1a

2,a 22答案ACE∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6a=1，∵BD∥FG12p3y2=3x 答案PF1PF22a22(PF12

)2a2,

的最大值为a11

2c2,3c2，所以2c2a2

故椭圆的离心率的取值范围

2 2 答案解析：由函数的奇偶性可知函数为非奇非偶函数，所以排除B,C,2x1,fx12

1e0xlne e lne eD答案 ≤x解析：当0x14x26f(x1)f(x2f(x1)f(x2)1f(x1)f(x2)2 ≤xx1f(x2的范围是[1答案 解析：因为f(x)1时，x=1或x=3或x=4或x=-4，则当a=1时x 2 或1或3 1－4,又因 则当x 2=-4时只有一xa＜2fxy=a4x8a=2fxy=a3x，则此时所求方程6B,C,DA。二、填空题（12个小题答案：11域即为与三角形三个顶点距离不小于1的部分，即P1 1答案：18

16 2解析：如果AEB为直角，动点E位于以AB为直径的圆上（ 要使AMB为锐角，则点M位于正方形内且半圆外（的阴影部分；1222，正方形的面积为4416，所以满足AMB2 的概率P 12解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；1，2，461，3，4组成的三位自然数也是62，3，4组成的三位自然数也是66＋6＋6＋6＝24由1，2，3组成的三位自然数，共6个”有缘数”． 所以三位数为”有缘数”的概率 解析：由图可知奇数行的数是奇数，偶数行的数是偶数，所以第8行的数字是偶数，前行的偶数有2+4+6=12a87是第12+7=19个偶数，即22191382n2所以

1

2

31，

4

5...

8

1

2

33 4

5

6

7

810 9

10

11

12

13

14

15 32 322所求球的表面积为 ）2=3224答案43解析：设所给半球的半径为R，则棱锥的高h

，底面正方形中有ABBCCDDA

2R2R33

2，则R3 232于是所求半球的体积为V2R33

23776PB233解析：因为BO1，故BD2，故PO ；同理，PB2333PABCD补成一个长方体，可知该长方体的长宽高分别为3

r

313

7，其体积V4R377 答案

nan(n1)d

Snan1d

S5S2(a51d)(a21d)3d

S5S23d2 答案n n1an n1

3n1n2∴an13(n2)则数列{an}的所有奇数项和偶数构成以3为公比的等比数列

331(131007 3(131007

∴S2014

1

1

2

2解析：当n1时S2a22a4S

2n1 n n当n2时， 2a2n，两式相减得a2a n n所以anan11 a12an

ann1

an12n

n是以2为首项1为公差的等差数列， 2 a0，所以不等式2n2n3(5

，等价于52n3n记b2n3n2时bn1

2n

2n1

2n 4n 所以n3时，bn11,(b b3b8n b8n所以535337，所以整数4 三、解答题（18个小题（Ⅰ）

2sinCsinsin所以cosA2cosC2sinCsincos sin即(cosA2cosCsinB2sinCsinAcosB化简得sinAB)2sin(BC,即sinC2sinA因此sinC（Ⅱ）

sin

2的c由b2a2c22accosB及cosB1,b4得4a24a24a21，解得a1，因此c4又0B所以sinB

15，因此s1acsinB （Ⅰ）∵312(sin2A31

cos2A)2sin2sin(2A)2sin2B,sin(2A)sin 2A 2B，或2A 2B 由ab，知AB，所以2A 2B不可能成立，所以2A 2B AB3 所以C （Ⅱ）由（Ⅰ，C2，所以sinC 3 S1absinC 3 csC

b334（Ⅰ）

2S n

2Sn

2S

1

2

n，1

从而

构成以1为首项，2为公差的等差数列SnS (n1)22n1，S 2n 当n2时，1S n n(2n

...从而

3 证明：(1)连接AC、 BDO在PAC中，EPCOAC

//EO又EOEBDPAEBD

//PEDEDO （2）POABCD，POBD．又BDAC，BDPAC．BDBDEPACBDEBCCC1,BCAC,CC1ACCBCACC1A1由题设知ADCADC45,所以DCDC 有DCBCC,所以 DC1BDC,DC1BDC1BDC1（Ⅱ）BDACC1V,V112111ABC－A1B1C1体积为V1,所以(VV

BDC1分此棱柱为两部分体积的比为1:1（I）FAMAFBEBEBCEAFBCE，AF//FAMEBDC过C作CMAB，垂足为MADDCADCM22所以AMMB2，又因为AD2,AB4所以AC ，CM2，BC22AC2BC2AB2ACBCAFABCDAFBEBEABCDBEAC，BEBCEBCBCEBEBCBACBCEAFABCD，AFCM又因为CMABAF平面ABEFAB平面ABEFAFAB所以CMABEFVEBCFVCBEF11BEEFCM124 （Ⅰ）X(200012别记为a，b，在则6中随机选取2总的事件有（A，B（A，C（A，D（Ab（BB（Bb（CC（Ca（D，b（a，b）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个P8（1）A:

6 驾校B：

8

9901222222334778998677706众数为设事件A=“Mx96.54 解（1）设从高一年级男生中抽出m人，则m ，m 500∴x25205,y2018表2中非优秀学生共5人，记等级为合格的3人为a,b,c，尚待改进的2人为A,B则从这5人中任选2人的所有可能结果为(ab),(ac),(bcA ，共10种设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人等级为合格则C的结果为：(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c, ，共6种∴P(C)

33 ∵10.90.1，P(K22.706)0.10K2

(5515，1525所以不能在犯错的概率不超过0.1的前提下认为“结果优秀与有关解（I）由题：ec1 A左焦点(－c,0)到点P(2,1)的距离为 d (2+c)2+12=10 c1，a2b2a2－c2

F1 xC的方程为4

y3=1 （II）A(x1,y1)、B(x2,y2ykxm (4k2+3)x2+8kmx+4m2－12= P

B∴x1+x2=

2

，x1x2

4m2

y1kx1m，y2kx24k+ 4k+2∵ABA2

→•→=所以(x1－2,y1)·(x2－2,y2)=(x1－2)(x2－2)+y1y2= (x2－2)+(kx1m)(kx2+1 =(k2+1)xx+(km－2)(x+x)+m1 =(k2+

4m4k2+

4k2+3

+m2+4=0—整理得7m2+16km+4k2=0．∴m —7

km－2km2klykx－2kk(x－2)A2(2,0)，不合题意2m7

kly7

k=k7

7

,0)解：(I)由使得F1PF290的点P恰有两个可得bc,a 2c；动点P到焦点F1距离的最大值为2

2ac2

2a2c

2，所以椭圆C1的方1是x2y21是 22（II）圆Cx2y24x22

T(22tA(x1y1B(x2y2)ATx1xy1y4BTxxyy4，又T(22,tAT和BT22x1ty14AB 22xty方程为22xty

r2dt2t2 由原点O到直线AB的距离r2dt2t2 8t222xty 联立

x2y21 1

x

8yt160，设C(x3,y3D(x4,y4t28 4(t2t28y3y4t216y3y4t216从而CD

y1

(t2t2t24(t2t28(t2

，设

m312m312m2

，又 y(0y)，112112m 112y256所 ，设f(y)112y256fy12768y20得：y1fy112y256y2在018AB1,2

8 解:（Ⅰ）p2（Ⅱ）Ax1y1Bx2y2,则Cx1,y1Mx1y2,直线l1yk1x2yk1x由y2

k2

2bk14xb1x1

4

yyk k所以

1 1x

y

k2111 k211

1

y1 直线l2的方程为yy1k2(xx1

x1,y2

=y1y2

k1k

2bk12

1

2bk1AB的中点 k ,k

AByk

kx k 1

2k2bk

1 与BC的中垂线x轴交点为：o ,0所以ABC的外接圆的方程为：k k 2k2bk2

2k2bk2x 2k

y2 xk

)2y Nx14y22k2bk

2k2bk

2k2bkkkx4 xkk

xx

4 20k k1 2k2

2

2k2bk122x4 y2( x122

)2ykk kk

1ABCNp 2（I）f′(x)=p＋－=2

依题意，f′(x)≥0(0,px2－2x＋p≥0(0,p≥

在(0,p≥（

xf(x)在其定义域内为单调递增函数时，p1（p1时，符合题意，此题不验证也不扣分p（II）依题意，f(x)－g(x)>0在[1,e]上有解，设h(x)=f(x)－g(x)=x

－2ln p2

x2,x∈[1,e]，h′(x)=p＋－x2

x2

x∈[1,e]，p>0，h(x)>0[1,e]1h(x)[1,e]hmax(x)=e

h(x)>0[1,e]hmax(x)>0，p(e－p

p

（I）fx是(0,f(x)0在(0,即：

x(2lnx

1)02lnx

1 2x2h(x2lnx

x h(x)在(0,2

2,h(x)

2)ln22故：

xfx是(0,（II）F(x)

f(x)g(

2x2ax0得 a x1,上恒成立x 则

22 ，xgx在

2

2e)(e,)所以Gx的最小值为G(1),G(e)G(eG(1)2e20eG(e)G(1Gxx1,的最小值为G(1)2a解：(I)由题意xlna.时,f(x)0;当时∴fx)在单调递减,在单调递增1f(in0.由(1)g(a在区间(0,1上单调递增,在区间(1,)g(aa1由（II）得exx1，即lnx1xx0x1(kN)k1ln(111ln(1k)1ln(1klnk(k 累加得1111lnn1)(nN 解：(IBDOD,CBCD是圆OBDOCODBDOC90,又AB为圆OADDBADOODB90DOCODA,ADOCADOCABOD8y42sin（I）圆C的参数方程为y42sin所以普通方程为(x3)2y4)2

（为参数圆C26cos