微分方程主要内容课件

第八章微分方程主要内容第八章微分方程主要内容一、一阶微分方程1、可分离变量的一阶微分方程变量分离，得积分得

化简整理。方法：一、一阶微分方程1、可分离变量的一阶微分方程变量分离，得积分例两端积分，得即两边取指数运算，得通解为解分离变量，得例两端积分，得即两边取指数运算，得通解为解分离变量2、齐次微分方程令代入方程得此为变量可分离的方程。一、一阶微分方程方法：2、齐次微分方程令代入方程得此为变量可分离的方程。一、一阶解原方程可写为令，则，原方程可化为分离变量，得例：积分，得通解为解原方程可写为令，则，原方程3、一阶线性微分方程方法：公式法一、一阶微分方程例

3、一阶线性微分方程方法：公式法一、一阶微分方程例解将方程改写成则利用通解公式得解将方程改写成则利用通解公式得1、右端仅含的二阶微分方程：

方法：积分一次，化为一阶方程再积分一次，便得通解其中为任意常数.二、可降阶的二阶微分方程1、右端仅含的二阶微分方程：例求微分方程的通解.

解积分一次，得

再积分一次,得其中为任意常数.例求微分方程的通解.2、右端不显含的二阶微分方程：

方法：作变量代换：例

求方程的通解.解

令,则，代入原方程,得二、可降阶的二阶微分方程2、右端不显含的二阶微分方程：方法分离变量，得两端积分，得即

两端再积分，得为任意常数分离变量，得两端积分，得即两端再积分，得为任意常数方法：作代换3、右端不显含的二阶微分方程：

二、可降阶的二阶微分方程方法：作代换3、右端不显含的二阶微分方程：例

求微分方程的通解.解

令,则代入原方程,得两端积分，得两端再积分得便是通解.当时,分离变量，得例求微分方程的通其中为常数方法：特征方程法三、二阶常系数线性微分方程1、二阶常系数线性齐次微分方程根据微分方程写出其特征方程分三种情况：其中为常数方法：特征方程法三、二阶常系数线（1）方程有两个不等的实根微分方程的通解为

（2）方程有两个相等的实根微分方程的通解为

（3）方程有一对共轭根微分方程的通解为

（1）方程有两个不等的实根微分方程的通解为（2）方程有两个例

求下列方程的通解.（1）（3）（2）例求下列方程的通解.（1）（3）（2）解（1）此方程的特征方程为其根为因此原微分通解为解（1）此方程的特征方程为其根为因此原微分通解为解（2）此方程的特征方程为其根为因此原微分通解为解（2）此方程的特征方程为其根为因此原微分通解为解（3）此方程的特征方程为其根为因此原微分通解为解（3）此方程的特征方程为其根为因此原微分通解为其中为常数方法：非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解加上其本身的一个特解。三、二阶常系数线性微分方程2、二阶常系数线性非齐次微分方程其特解形式为：其中为常数方法：非齐次方程的通解等于对应齐（1

）若不是特征方程的根时,（2

）若是特征方程的单根时,（3

）若是特征方程的重根时,（1）若不是特征方程的根时,（2）若是例2求下列微分方程的通解.解

先求方程的通解.特征方程的重根为因此对应齐次方程的通解为再求其本身的一个特解.例2求下列微分方程的通解.解先求方程因，故，而不是上述对应特征方程的根，故应设代入原方程，化简，比较同次幂的系数，得解方程组，得，于是原方程的通解为因，故第八章微分方程主要内容第八章微分方程主要内容一、一阶微分方程1、可分离变量的一阶微分方程变量分离，得积分得

化简整理。方法：一、一阶微分方程1、可分离变量的一阶微分方程变量分离，得积分例两端积分，得即两边取指数运算，得通解为解分离变量，得例两端积分，得即两边取指数运算，得通解为解分离变量2、齐次微分方程令代入方程得此为变量可分离的方程。一、一阶微分方程方法：2、齐次微分方程令代入方程得此为变量可分离的方程。一、一阶解原方程可写为令，则，原方程可化为分离变量，得例：积分，得通解为解原方程可写为令，则，原方程3、一阶线性微分方程方法：公式法一、一阶微分方程例

3、一阶线性微分方程方法：公式法一、一阶微分方程例解将方程改写成则利用通解公式得解将方程改写成则利用通解公式得1、右端仅含的二阶微分方程：

方法：积分一次，化为一阶方程再积分一次，便得通解其中为任意常数.二、可降阶的二阶微分方程1、右端仅含的二阶微分方程：例求微分方程的通解.

解积分一次，得

再积分一次,得其中为任意常数.例求微分方程的通解.2、右端不显含的二阶微分方程：

方法：作变量代换：例

求方程的通解.解

令,则，代入原方程,得二、可降阶的二阶微分方程2、右端不显含的二阶微分方程：方法分离变量，得两端积分，得即

两端再积分，得为任意常数分离变量，得两端积分，得即两端再积分，得为任意常数方法：作代换3、右端不显含的二阶微分方程：

二、可降阶的二阶微分方程方法：作代换3、右端不显含的二阶微分方程：例

求微分方程的通解.解

令,则代入原方程,得两端积分，得两端再积分得便是通解.当时,分离变量，得例求微分方程的通其中为常数方法：特征方程法三、二阶常系数线性微分方程1、二阶常系数线性齐次微分方程根据微分方程写出其特征方程分三种情况：其中为常数方法：特征方程法三、二阶常系数线（1）方程有两个不等的实根微分方程的通解为

（2）方程有两个相等的实根微分方程的通解为

（3）方程有一对共轭根微分方程的通解为

（1）方程有两个不等的实根微分方程的通解为（2）方程有两个例

求下列方程的通解.（1）（3）（2）例求下列方程的通解.（1）（3）（2）解（1）此方程的特征方程为其根为因此原微分通解为解（1）此方程的特征方程为其根为因此原微分通解为解（2）此方程的特征方程为其根为因此原微分通解为解（2）此方程的特征方程为其根为因此原微分通解为解（3）此方程的特征方程为其根为因此原微分通解为解（3）此方程的特征方程为其根为因此原微分通解为其中为常数方法：非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解加上其本身的一个特解。三、二阶常系数线性微分方程2、二阶常系数线性非齐次微分方程其特解形式为：其中为常数方法：非齐次方程的通解等于对应齐（1

）若不是特征方程的根时,（2

）若是特征方程的单根时,（3

）若是特征方程的重根时,（1）若不是特征方程的根时,（2）若是例2求下列微分方程的通解.解

先求方程的通解