专题：折叠模型

专题：折叠模型折叠基本模型：①三角形折叠模型：B D②四边形折叠模型:类型1 类型2 类型3 类型耳经典例题：【例题1】探究：如图①点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，连结AE、AF、EF,将^ABE"ADF分别沿AE.AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与^AEF完全重合的三角形.若BE=2,DF=3，求AB的长；拓展：如图②点E、F分别在四边形BACD的边BC、CD上，且ZB=ZD=90°.连结AE、AF、EF将^ABE.AADF分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与^AEF完全重合的三角形.若ZEAF=30°，AB=4，则^ECF的周长.图① 图②【解析】探究：设：正方形的边长为a，则EC=a-2,CF=a-3,贝EF=BE+DF=5，贝EF2=EC2+CF2,即：25=(a-2)2+(a-3)2,解得：a=6或-1(舍去-1)，故AB=6；拓展：由题意得：AB=CD=4,连接AC,VAB=AD,AC=AC,AAABC^AADC,ABC=CD,ZBAC=ZDAC,V点E、F分别在四边形BACD的边BC、CD上，1，. 一故:/BAE+/DAF=/EAF=30°，则ZBAD=60°,AZBAC=ZDAC=^(ZBAD)=30°,乙CD=BC=ABtanZBAC=4X号=芋△ECF的周长=EF+EC+FC=AE+FD+EC+FC=AC+CD=2CD=罕【例题2】如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN,把△BMEMN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴【解析】①当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时ZMEN=ZB=90°,ZENB=90°,二四边形BMEN是矩形.又,:ME=MB,.•・四边形BMEN是正方形.：・BM=BN=5.②当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2,过N点作NH±FG于H点，则NH=4.根据折叠的对称性可知EN=BN=5,.•.在RtAENH中，利用勾股定理求得EH=3.:.FE=5-3=2.设BM=x，则EM=x,FM=4-x,在RtAFEM中，ME2=FE2+FM2,即x2=4+(4-x)2,解得x亏，即BM^.故答案为5或*

【例题3】如图，在KABC中，ZC=90°,AC=BC=.「2,将AABC绕点A顺时针方向旋转60°到AAE仗的位置，连接CB,则C'B=_ .rcrc【解析】如图，连接BB'，.•.△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到4ABC，:,AB=AB'，/BAB，=60°，Z.AABB'是等边三角形，；・AB=BB'，在^ABC和△£BC中，W邛'以，:.△ABCC^△B'BC（SSS），：,/ABC=/B'BC，:BCJ二Bb延长BC交AB'于£>，则BD±AB'，VZC=90°，AC=BC="2，•：AB=.；（3非+（%）'=2,・：BD=2x：=.E，CD^x2=1，:.BC=BD-C'D=^3-1.故答案为：-1.【例题4】如图，将矩形纸片ABCD（AD>AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC,AD相交，设折叠后点C,D的对应点分别为点G,H，折痕分别与边BC,AD相交于点E,F.⑴判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；⑵若AB=3,BC=9,求线段CE的取值范围.FF【解析】（1）.四边形ABCD是矩形.：AD〃BC,・：/GFE=/FEC,•・•图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，：・/GEF=/FEC,・：/GFE=/GEF,・：GF=GE,.・•图形翻折后EC与GE完全重合，：.GE=EC,・：GF=EC,：.四边形CEGF为平行四边形，•：四边形CEGF为菱形(2)如图1,当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得CD=DG,ZCDE=ZGDE=45VZECD=90°,AZDEC=45°=ZCDEACE=CD=DG,•..DG〃CE,.・・四边形CEGD是矩形，「・CE=CD=AB=3；如图2,当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE=CE,VZB=90°,.AE2=AB2+BE2,即CE2=32+(9—CE)2，.・・CE=5,.・・线段CE的取值范围3WCEW5经典练习：如图，矩形纸片ABCD,AB=4,BC=3，点P在BC边上，将^CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点0、F,且OP=OF,^cos/ADF的值为叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2,EH=1,则AD=—.E―G C如图，在△ABC中，匕C=90°,将^ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN〃AB,MC=6,NC=2^3，则四边形MABN的面积是4如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果AB=-，那么tanZDCFBC3的值■—.5.矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A'落在线段BC上，再打开得到折痕EF当A'与B重合时（如图1），当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；6已知：如图，抛物线y=a（x-1）2+c与x轴交于点A（-盘，。）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处.学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，"W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个’W”图案的高与宽（CD）的5-1一 . _比非常接近黄金分割比工1（约等于0.618）.这个“W”图案的高与宽的比到底是_2（参考数据：许牝2.236,6牝2.449，结果可保留根号）

P7如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A，处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N.若直线BA交直线CD于点O，BC=5，EN=1，则OD的长为8矩形纸片ABCD,长AD=8cm,宽AB=4cm,折叠纸片，使折痕经过点B,交AD边于点E,点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA',EA'，不再添加其它线段，当图中存在30角时，AE的长为 厘米..4E D，■ 」9.如图，在RtAABC中，ZC=90。，点E在AC边上.将ZA沿直线BE翻折，点A落在点A处，连接AB，交AC于点F.若AE±AE，cosA=4，则世=5BF

10如图，在扇形OAB中，匕AOB=90°,半径OA=6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上点D处，折痕交OA于点C,求整个阴影部分的周长和面积.11.如图1，在在矩形纸片ABCD中，AB=3cm,AD=5cm'折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ.过点E作EFIIAB交PQ于F，连接BF,求证：四边形BFEP为菱形;当E在AD边上移动时，折痕的端点P'Q也随着移动.①当点Q与点C重合时，(如图2)，求菱形BFEP的边长;②如限定P'Q分别在BA'BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.12如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0,0）,B点坐标是（3,4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）.（1） 求G点坐标；（2） 求直线EF解析式；（3） 点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.13如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（-1，0），B（4，0）两点，交y