专题10 垂面模型

专题10垂面模型（解析版）一,解题技巧归纳总结垂面模型如图1所示为四面体P-ABC，已知平面PAB±平面ABC，其外接球问题的步骤如下:(1)（2）（3）找出^PAB和MBC的外接圆圆心，分别记为。和。2.(1)（2）（3）分别过。和O作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O.12过O作AB的垂线，垂足记为D，连接OD，则OD±AB.（4），1 2如图2所示，底面四边形DOGG^的四个顶点共在四棱锥A-DOOO中，（4），1 2如图2所示，底面四边形DOGG^的四个顶点共12二■典型例题例1.已知AABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC1平面ABC,BC=3,PB=2^2，PC=云，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.【解析】由题意知BC的中点O为AABC外接圆的圆心，且平面PBC1平面ABC过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面ABC内.根据球的性质，球心一定在垂线l上，、•球心O一定在平面PBC内，且球心O也是APBC外接圆的圆心.在APBC中，由余弦定理得cosZPBC=PB2+B2-PC2=技，...$诅ZPBC=2，2PBBC 2 2由正弦定理得：竺^—=2R，解得R=、'°，sin匕PBC 2三棱锥的外接球的表面积=4兀R2=10兀.故答案为：10兀.例2.已知点A是以BC为直径的圆O上异于B,C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC1平面ABC,BC=3,PB=2^2,PC=<5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.【解析】因为O为AABC外接圆的圆心，且平面PBC1平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，根据球的性质，球心一定在垂线l，、•球心0]一定在面PBC内，即球心0]也是kPBC外接圆的圆心，在APBC中，由余弦定理得cosB=PB"BC2-PC2=互，二sinB=^，2BPBC 2 2I由正弦定理得:PC=2R，解得R='1°，sinB 2三棱锥P-ABC外接球的表面积为s=4兀R2=10兀，故答案为：10兀.例3.在三棱锥P-ABC中，AB=AC=4，ZBAC=120°，PB=PC=4t3，平面PBC1平面ABC，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为—.【解析】如图，设AABC的外接圆的圆心为01连接OC,OA,BCOA=H，连接PH.1 1 1由题意可得AH1BC，，且AH=-OA=2,BH=1BC=2、3.21 2因为平面PBC1平面ABC，且PB=PC,所以PH1平面ABC,且PH=q(4°3)2—(2板3)2=6.设O为三棱锥P—ABC外接球的球心，连接OO1,OP,OC，过O作OD1PH，垂足为D,则外接球的半径R满足R2=OO2+42=(6—OO1)2+qH2,艮POO;+16=(6—OO「2+4,解得OO1=2,从而R2=20，故三棱锥P—ABC外接球的表面积为4兀R2=80K.故答案为：80兀.Oi C例4.在菱形ABCD中，ZDAB=60。，将这个菱形沿对角线BD折起，使得平面DAB1平面BDC,若此时三棱锥A—BCD的外接球的表面积为5兀，则AB的长为—.【解析】取BD的中点H，连接AH,CH,在等边三角形ABD中，AH=应a,2在等边三角形CBD中，CH —a，2由平面DAB1平面BDC,AH1BD，平面ABDn平面CBD=BD,可得AH1平面CBD，即有AH1CH,AACH为等腰直角三角形，设三棱锥A—BCD的外接球的球心为O，半径设为R,底面BCD的中心为O'，面ADB的外心为M,

贝O'H=MH=——a,O'C=——a,TOC\o"1-5"\h\z6 3在直角三角形ACH中，OC=R=〈OO'2+O'C2=、，（匹）2+（匹）2=115a.6 3 6而4兀R2=5兀，解得R=--，则———，解得a=顼3,2 6 2故答案为：丙.故答案为：丙.三、配套练习1.在边长为a菱形ABCD中，ZDAB=60。，将这个菱形沿对角线BD折起，使得平面DAB±平面BDC，若此时三棱锥A-BCD的外接球的表面积为5兀，则a=（ ）A. B.*3 C.者 D.3【解析】取BD的中点H，连接AH，CH，在等边三角形ABD中，AH=—a，2在等边三角形CBD中，CH=盘a，2由平面DAB±平面BDC，AH±BD，平面ABDn平面CBD=BD，可得AH±平面CBD，即有AH±CH，AACH为等腰直角三角形，3 '15+(—a)2= a，3 6设三棱锥A-BCD的外接球的球心为O，半径设为R，底面BCD的中心为O'，在直角三角形ACH中，OC3 '15+(—a)2= a，3 6而4兀R2=5兀，解得R='旦，2贝^史5a=W，解得a=v3,6 2故选：B故选：B..在三棱锥P-.在三棱锥P-ABC中，平面PAB±平面ABC,AP=2言,AB=6,ZACB=-，且直线PA与平面ABC所3成角的正切值为2,则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）一 一52兀A.13兀 B.52兀 C.52也3【解析】如图，过点P作PE±AB于E,D为AB的中点，52"尽3设AABC设AABC的外心是O，半径是r，连接O1BOE，OD，1 1由正弦定理得2r=—AB—=4<3，sinZACB贝O1B=r=K，D为AB的中点，BD=AD=1AB=3，2OD±AB，所以O1D=JO1B2—BD2=J3，因为平面PAB±平面ABC，PE±AB于E，平面因为平面PAB±平面ABC，则PE±平面ABC，所以直线PA与平面ABC所成的角是ZPAE，则tanZPAE=^-=2，即PE=2AE，AE因为AP=、：PE2+AE2=注，所以PE=2AE=4，则DE=1，故OE=2，1设三棱锥P-ABC外接球球心是O，连接OO1，OB，OP，过O作OH±PE于H，则OO±平面ABC，于是OOJ/PE，从而OOHE是矩形，所以外接球半径R满足R2=OO12+O1B2=OH2+(PE-HE)2=O1E2+(PE-OO1)2，解得R=<13.所以外接球的表面积为4兀R2=52兀.故选：B..已知在三棱锥C-ABD中，WD是等边三角形，BC±CD，平面ABD±平面BCD，若该三棱锥的外接球表面积为4兀，则AC=( )A. B.. C.挡 D.I【解析】设外接球球心0，半径R，由题意可得，4兀R2=4兀，解可得R=1，根据题意可得O为正三角形ABD的中心，因为OD=1，所以AO=1，OF=1，2所以正三角形ABD的边长为&，由BC±CD可得CF=1BD=工3，2 2五因为平面ABD±平面BCD，所以ZAFC=—，2所以AC=<AF2+CF2=「3+-=、.&.4故选：C.

4.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PAD±平面ABCD,AD=2<2,PA=PD=AB=2,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为（ ）A.2兀 B.4兀 C.8兀 D.12兀【解析】取AD的中点E，连接PE,APAD中，PA=PD=2,AD=2<2,「.PA1PD,PEK,设ABCD的中心为O'，球心为0,则O'B=1BD=<3,2设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+(*3)2=12+(克-d)2,d=0,R=3,四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4兀R2=12兀.故选：D.如图所示，已知NEAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3,AD=2,ZAEB=60。,则多面体E-ABCD的外接球的表面积为（ ）'土。A.号 B.8兀 C.16兀 D.64兀【解析】设球心到平面ABCD的距离为d，贝AEAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3,ZAEB=60。,:.E到平面ABCD的距离为全3,2<4+9 3*'3R2=（ ）2+d2=12+（^^-d）2,22「.d=—,R2=4,2多面体E-ABCD的外接球的表面积为4兀R2=16兀.故选：C.在正方形ABCD中，AB=2,沿着对角线AC翻折，使得平面ABC±平面ACD，得到三棱锥B-ACD,TOC\o"1-5"\h\z若球O为三棱锥B-ACD的外接球，则球O的体积与三棱锥B-ACD的体积之比为（ ）A.2兀:1 B.3兀:1 C.2、云:1 D.4兀:1【解析】由题意，三棱锥B-ACD的外接球的球心为AC的中点，半径为克，.•.球O的体积=4兀（插3=竺2兀.3 3三棱锥B-ACD的体积=1x-x2x2x*'2=2,32 3球O的体积与三棱锥B-ACD的体积之比为4兀:1.故选：D.已知四棱锥P一ABCD中，平面PAD±平面ABCD，其中ABCD为正方形，APAD为等腰直角三角形，PA=PD=伊，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为（ ）A.10兀 B.4兀 C.16兀 D.8兀【解析】取AD的中点E,•.平面PAD±平面ABC,其中ABCD为正方形，APAD为等腰直角三角形，四棱锥P-ABCD的外接球的球心为正方形ABCD的中心O，设半径为R,则OE±AD,PE=1R=<1+T=还,四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为8兀.3则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.24兀 B.48兀 C.64兀 D.96兀【解析】在三角形ABC中，ABAC=-兀，AB=AC=2岳，由余弦定理可得

3BC=.'AB2+AC2—2ABACcos|n=6,而在三角形BCD中，BD=4,CD=2言，「.BD2+CD2=BC2，即ABCD为直角三角形，且BC为斜边，••因为平面ABC1平面BCD，所以几何体的外接球的球心为为三角形ABC的外接圆的圆心，设外接球的半径为R，则2R=♦；=4<3，即R=2*3，sin—n3所以外接球的表面积S=4nR2=48n，故选：B.9.在三棱锥A-BCD中，AABC和ABCD都是边长为2石的等边三角形，且平面ABC1平面BCD，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为（ ）A.8n B.12n C.16n D.20n【解析】如图，取BC中点E，连接EA，ED，•••平面ABC1平面BCD，AABC和ABCD都是边长为2据的等边三角形，AE±平面BCD,:.AE1ED,设过平面ABC,平面BCD的中心M,N且与垂直二平面的直线交于O,可知O即为外接球球心，易知ON=1，DN=2，得OD=点，S球=4兀x5=20兀，在三棱锥P-ABC中，AC=2AB=2<2，BC=*布，ZAPC=90。，平面ABC1平面PAC，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ）A.4兀 B.5兀 C.8兀 D.10冗【解析】如下图所示，.AC=2AB=2^2，AB=、2，又.BC=、、希，/.AB2+AC2=BC2，AB1AC，又•.平面ABC1平面PAC，平面ABCc平面PAC=AC，ABu平面ABC，/.AB1平面PAC.ZAPC=90。，所以，直角AAPC的外接圆直径为AC，所以，三棱锥P-ABC的夕卜接球直径为2R=<AB2+AC2=BC=<10.因此，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4兀R2=兀（2R）2=10兀.故选：D.已知三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD,AB±AC,BD±CD，且三棱锥A-BCD的外接球的表面积为32兀，则当平面ABC±平面BCD时，三棱锥A-BCD的表面积等于（ ）A.16+趴§B.32+16t3 C.8+8t3 D.16+16顼3【解析】如图，取BC中点O，连接OA，OD，由AB=AC=BD=CD，AB±AC，BD1CD，可得OA=OB=OC=OD，即O为三棱锥A-BCD的外接球的球心，半径为OA.由三棱锥A-BCD的外接球的表面积为4兀OA2=32兀，得OA=芸.贝当平面ABC1平面BCD时，S=S =1x4x4=8；wc岫2SABD=SACD=2x4x2右=.三棱锥A-BCD的表面积S=2x8+2x4吾=16+敞3.故选：A.在三棱锥A-BCD中，平面ABC1平面ADC，AD1AC，AD=AC，ZABC=-，若此三棱锥的外3接球表面积为28-，则三棱锥A-BCD体积的最大值为（ ）5^3A.7 B.12 C.6 D.A3【解析】根据题意，设三棱锥A-BCD外接球的半径为R，三棱锥的外接球球心为O，AABC的外心为O1，AABC的外接圆半径为r，取DC的中点为O2，过O2作O2E1AC，贝OO11平面ABC，OO21平面ADC，如图，连结OA，OA，则OA=r，1 1设AD=AC=b，贝ljOO=O2E=|b，由S=4兀R2=28兀，解得R=E，在AABC中，由正弦正理得2r=—AC—，sin/ABC2r=—-—，解得b=<3r，•兀sin—3在RtAOAOi中，7=r2+(|b)2，解得r=2，b=2后，二AC=2而，若三棱锥A-BCD的体积最大，则只需AABC的面积最大，在AABC中，AC2=AB2+BC2-2ABBCcos/ABC，12=AB2+BC2-ABBC2ABBC-ABBC，•••解得ABBC12，z••S =1ABBCsin/ABC1x12x^3=3、/3，ABC.2 2 2三棱锥A-BCD的体积的最大值：•••匕ABC=3S^BCad=3x3曲x2后=6.故选：C.如图，AA，BB均垂直于平面ABC和平面ABC，/BAC=/ABC=90。，AC=AB=AA=BC=\2，1 1 111 111 1 11则多面体ABC-A1BR的外接球的表面积为（ ）【解析】由题意，多面体ABC-A1B1C1为棱长为M的正方体，切去一个角，多面体ABC-A1B1C1的外接球的直径为百6，半径为?6多面体ABC-A1BC的外接球的表面积为4兀R2=4兀（顶）2=6兀.故选：c.故选：c.14.已知三棱锥A-BCD中，^ABC是边长为2点的正三角形，BD=CD=2，平面ABC±平面BCD，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为（ ）32兀D.332兀D.3A. 【解析】•.三棱锥A-BCD中，AABC是边长为2、耳的正三角形BD=CD=2，平面ABC±平面BCD，4+4+4-12 1「.cosZBDC== 取BC取BC中点E，连结AE，DE，则AE=<12-3=3，DE=1，以E以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，则B（-后，0，0），C（*20，0），A（0，0，3），D(0,1,0),设球心O(x,y,z)，贝OA2=OB2=OC2=OD2=R2,/.X2+y2+(z-3)2=(X+43)2+y2+z2=(x-43)2+y2+z2=x2+(y-1)2=(x-43)解得x=0,y=-1,z=1,「.R=、、0+1+4=15,三棱锥A-BCD的外接球的体积:20、.'5 兀20、.'5 兀3V=兀R33故选：C.故选：C.15.在三棱锥A-BCD中，NBCD是等边三角形，平面ABC±平面BCD.若该三棱锥外接球的表面积为6S,且球心到平面BCD的距离为*3,则三棱锥A-BCD的体积的最大值为（ ）A.3有 B.9板3 C.27 D.81【解析】如图，BB.84兀取等边三角形BCD的中心。，过G作三角形BCD的垂线GO,截去GO=。3.则O为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，由4兀R2=60^，得R2=15.即OD=\15,DG=<15-3=2*3.则DE=3、'3,可得BC=6，过O作OF±平面ABC,则F为三角形ABC的外心，连接DG并延长，角BC于E，则E为BC的中点，要使三棱锥A-BCD的体积最大，则AFE共线，即AABC为等边三角形，此时三棱锥A-BCD的高为3寸3.三棱锥A-BCD的体积的最大值为V=-x-x6x3・hx3、日=27.故选：C.在四棱锥A-BCDE中，AABC是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC±平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为（ ）C.7、.•云【解析】四棱锥A-BCDE中，AABC是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC±平面BCDE，如图所示：AABC是边长为6的正三角形，所以V=4x兀xG；21）3=28、云，所以V=gx兀xG；2i)3=28、云3故选：D.所以V=4x兀xG；21）3=28、云，所以V=gx兀xG；2i)3=28、云3故选：D.2 •— —_一—一已知空间四边形ABCD,ABAC=2兀,AB=AC=2吊,BD=10,CD=8,且平面ABC±平面BCD,3A.64兀B.112iC.A.64兀B.112iC.96兀D.128n故选：B.故选：B.【解析】如图，取BC中点E，连接AE并延长至AABC的外心G,在AABC中，由ABAC=竺，AB=AC=2、5，可得BE=CE=3,3则BC=6，又BD=10,CD=8，则ABCD为以BD为斜边的直角三角形，则BD中点F为ABCD的外心,平面ABC±平面BCD，过F作平面BCD的垂线，故G作平面ABC的垂线，两垂线相交于O,•.•O为空间四边形ABCD的外接球的球心.AB .一在AABC中，由 =2AG，得AG=2<3.sin—6EG=AG-AE=<3，贝OF=*3,空间四边形ABCD的外接球的半径R=OD=*2+（巨）2='赤.空间四边形ABCD的外接球的表面积S=4兀x（38）2=112兀.

在边长为2的菱形ABCD中,BD=2*3,将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC1平面ACD,则所得三棱锥A-BCD的外接球表面积为（ ）A8兀 R14兀 r20兀A. B. C.【解析】•.在边长为2的菱形ABCD中，BD=2%'3；如图，由已知可得，AABC与^ACD均为等边三角形，取AC中点G，连接BG，DG，则BG1AC，DG=侦3ncosZGDA=2nZGDA=-^ZADC=-；2 6 3•.二面角B-AC-D为直二面角，则BG1平面ACD，分别取ABCD与AABD的外心E，F，过E，F分别作两面的垂线，相交于O，则O为三棱锥A-BCD的外接球的球心，由ABCA与AACD均为等边三角形且边长为2,— 1兵可得OE=OF=-DG=——33一一 2\'3...DE=DG-GE=——3...OD=<OE2+ED2=1（*2+（号）2=干.三棱锥A-BCD的外接球的表面积为4-xR2=4-x（里也）2=迦.33故选：C.在三棱锥A-BCD中，AABC与ABCD都是正三角形，平面ABC1平面BCD，若该三棱锥的外接球的体积为20&5-，则AABC边长为（ ）A.3^2 B.6<4 C.6*3 D.6【解析】三棱锥A-BCD中，过AABC的中心N作ON1平面ABC过ABCD的中心G作OG±平面BCD,ON、OG交于点O,则O是三棱锥A-BCD的外接球球心，连接OA，则OA是外接球的半径;由该三棱锥的外接球体积为V=竺R3=20打魂,3R=\:15设AABC的边长为a，TOC\o"1-5"\h\zCM1<3 v3ON=-x—a=—a,32 6AN=2x金a=^a、32 3:.ON2+AN2=R2,a2,1 5即 a2=—a2=15,123 12故选：D.A在三棱锥A-BCD中，AABC与ABCD都是边长为6的正三角形，平面ABC±平面BCD，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A.5,云 B.6S C.60、•面 D.20、•国【解析】取AD,BC中点分别为E,F，连接EF,AF,DF,，一, — 1 3v6由题意知AF±DF,AF=DF=3*3,/.EF=-AD=——,2 2易知三棱锥的外接球球心。在线段EF上，连接OA,OC,有R2=AE2+OE2,R2=CF2+OF2,R2=（3；6）2+OE2,R2=32+ -OE）2,R=司5,三棱锥的外接球的体积为4兀R3=20t面.3故选：D.把边长为3的正方ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC±平面ADC,则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为( )A.32兀 B.27兀 C.18兀 D.9n【解析】将边长为1的正方形ABCD，沿对角线AC把险CD折起，使平面ACD±平面ABC,则BC±CD,BA±AD；三棱锥C-ABD的外接球直径为AC=3&,3<2外接球的表面积为4兀R2=4兀x( )2=18兀.2故选：C.已知空间四边形ABCD,ABAC=竺，AB=AC=K,BD=CD=6，且平面ABC±平面BCD,3则空间四边形ABCD的