物理--运动学第一章

CHAPTER

OUTLINE§1.1

参照系和坐标系§1.2

质点和刚体§1.3

位矢、速度和加速度§1.4

曲线运动、切向加速度和法向加速度§1.5

相对运动§1.6

力学单位制、量纲3§1.1

参照系和坐标系Reference

frameandCoordinate

system一、参考系参考系：或相对物体运动而选作参考的物体、的物体系。运动的相对性决定描述物体运动必须选取参考系在运动学中，参考系可任选，但以描述方便为原则不同参考系中，对物体运动的描述不同（如轨迹、速度等）——运动描述的相对性常用参考系:

参考系（ ─

恒星参考系）地心参考系（地球─行星参考系）地面参考系或

参考系质心参考系坐标系坐标系：由固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线或角度表示。坐标系为参考系的数学抽象（两者相对

）坐标系可任选，以描述方便为原则在同一参考系中，用不同的坐标系描述同一物体的运动时，其数学表述不同－与坐标系的选择有关。常用的坐标系:直角坐标系球坐标系柱坐标系自然坐标系(x

,

y

,

z)(r,

,

)(

,

,

z)(a)

车作匀速运动时车上的人观察到石子作直线运动*物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系*v

v(b)

车作匀速直线运动时，地面上的人观察到石子作抛物线运动*物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系*vv已观测的宇宙范围1027星系团半径1024星系间距离2×1022系的半径7.6×1020到最近恒星的距离4×1016日地距离1.5×1011地球半径6.4×106珠穆朗玛峰高度8.8×103小孩高度1尘埃10-3人类红血球细胞直径10-6细菌线度10-9原子线度10-10原子核线度10-15典型物理现象的空间尺度（单位：米（m））宇宙1018系1.4×1017原始人诞生至今1013人的平均109地球公转（一年）3.2×107地球自转（一天）8.6×104光到地球的

时间5×102人的心脏跳动周期1中频声波周期10-3中频无线电波周期10-6原子振动周期10-12典型物理现象的时间尺度（单位：秒（s））10§1.2

质点和刚体Particle

(mass

point)andRigid

body质点——理想模型1.

物体的大小、形状可忽略时（如图：在研究地球公转时）运动过程中，物体各部分运动相同(如图：物体的平动)物体

质点

“点”－具有该物体相同的质量真实物体——无穷多质点的集合R

≈6400km地球刚体既考虑物体的质量,又考虑形状和大小，但忽略其形变的物体模型。刚体可看成是由许多质点（或质元)组成的,在运动过程中，刚体内任意两点之间的距离始终保持不变。§1.3

位矢、速度和加速度position

vector,velocity,and

accelerationzyxor

xi

yj

zkijkyzxrP

(x,y,z)质点位置：P

(x,y,z)=P

(t

)位置矢量（或矢径）：r

oP

rrˆ位置矢量在直角坐标系中可用单位矢量表示为：§1.3.1

位置、位矢和位移一、位矢(位置矢量)直角坐标系rcos2

cos2

cos2

1x2r

y2

z2其中:r

的方向由cos

,

cos

,

cos决定r

oP

rrˆxrˆ

xi

yj

zkyzpx,OrryxzOsrAArBB二、位移在时刻t

质点位于A点,在时刻t+

t

质点位于B在t时间内质点从A运动到B，则质点在t

时间内的位移定

义为：由图可知位移与初、末时刻位置矢量的关系：

r

rB

rA注意：r

与

s路程关系sr

AB2.位移与路程s

不同t

0,

s

r

r

rB

rA记为：ds

drr

rA

rBOsAB当时间间隔很小时：若定义：a.位移为矢量,路程为标量b.

s

r位移的大小：r

r2

r1

位移与原点的选取无关r

rr

质点的位矢大小在Δt

的增量。无限小的位移矢量的方向沿质点运动轨道切线方向(速度方向)，大小等于路程曲线的线元。BC1t12t

tt2AC

AB

BCA

位移的性质：1.

矢量性：位移满足矢量叠加性质。即在t1+t2时间内的总位移满足：直角坐标系中：平均速度average

velocitydtd

Δt

Δr

Δrv

dtdrv

lim

dr

dxv

(dt

dtx

yΔt

0

Δt

dy

dz

)(i

()j

v)vkzivdt

dt

§1.3.2

速度和加速度质点的位矢随时间的变化率。反映了运动的快慢和方向。瞬时速度instantaneous

velocity间内质点经过的路程ds

相同。速率速度的大小称为速率:

v

vdr当Δt

→

0

时位移大小

ds与此段时dt

dtv

v

2

v

2

v

2x

y

zv

dr

ds平均速度和平均速率Δrv

Δt平均速度t平均速率v

s平均速度大小不等于平均速率。一般情况下r

sv

v瞬时速度和瞬时速率InstantaneousVelocity

and

Speed瞬时速度

r

drt

0v

lim

t

dt瞬时速率dtt

0

tv

lim

s

dsr

(t)rr

(t

t)OsABdr

dtdt(2)

大小lim

s

lim

rt0

t0当

t

0

时t0

t

v

lims

ds注意:

速度为矢量！(1)

方向ett

t0v

v

dr

lim

rdtOsABB

A

,

r

沿A点处轨道的切线方向t

0

时，(瞬时)速度大小等于(瞬时)速率。dr

dsv

v质点的加速度a

t

v瞬时加速度(

t

0)yxzoAB定义设在t

时间内质点从A运动到B，则质点在t时间内的平均加速度定义为：a

的方向与dv

相同v速率：§1.3.3速度和加速度的分量表示式1.

直角坐标系v

vx

i

vy

j

vz

kdt

dt

dt

dt

dr

dx

i

dy

j

dz

kdtdv

dvxdtdvzdtdv

yi

j

kdta

直角坐标系加速度加速度瞬时加速度Δv平均加速度

a

2d

2rΔv

dvΔt

dt dt

dt

dtd

dr

a

limΔt

0

Δt

a

v

r

xi

yj

zk

dva

ax

i

ay

j

az

kdt2

22zya

a

a

aa

x在极坐标系中研究质点的平面运动不是恒矢量rˆ

rˆ(

t

),

ˆ

ˆ(

t

),dr

dr

rˆ

r

drˆ

dr

rˆ

r

d

ˆ运动学方程：r

=r(t),θ=θ(t)径向单位矢量rˆ

：指向r

增加方向横向单位矢量

ˆ

：与

rˆ

垂直，指向θ增加方向证明：drˆ

d

ˆdrˆ的方向为rˆ

的极限方向，显然与ˆ(t)的方向相同|

rˆ

|

1

,

drˆ

d

,

drˆ

d

ˆoΔθ

rˆ(

t

)

rˆ(

t

t

)rˆ⒈运动学方程与正交单位矢量xosrˆˆrθ了解r

r

rˆ⒉极坐标系下的速度ˆ

v

ˆdt

dtdr

ˆ

d

ˆdtˆˆdrr

rdv

dtr

r

r

v

r

dr径向速度：,dtv

dr

r

的大小发生变化引起r横向速度：v

r

d

,

rdt的方向发生变化引起2v

2速度大小：v

r

vˆˆdr

dr

r

r

d

vxosrˆˆrθ例：在极坐标系中，质点的运动学方程为

r=r0+v0t,

θ=ωt，r0,v0,ω均为正的常数，求质点的轨迹方程和t=0

时的速度。00解：从运动学方程中消去t

得轨迹方程：r

rvv

rd

/

dt

r

(

r0

v0t

)vr

dr

/

dt

v0

,02

2

2

0

r

0

2r

2v

v

vt

0

时，v

r

,v

arctg(

v

/

vr

)

arctg(

r0

/

v0

)v0ω匀速转动→匀速平动vrvθvαxo

r0解：位置矢量：速度：

dx

dy

dzv

i

j

kdt

dt

dtxoωy例：质点的运动方程为质点的运动性质。速度大小匀速圆周运动！速度沿切线方向！xoyω例：如图示小船在绳子的牵引下运动，求船靠岸的速率。解：lv

(

)v

s

0s2

l

2

h2或：dt

dtds

dl

2l2s

v0dt

dsdl由：dtv

和得到船的靠岸速率：v0s2

h2sv0vlshs

l

2

h2y

l

sin

h拉船x

l

cosv

cos

l

sin

dtdtdsin

l

cos

0dtdtdlddlyvx

d

dl

1

tg

v0

tg

dt

dt

l

lv0v

h2

x2

0

coscosv

sin

2

v

vx

v0

cos

0

xxylv0h已知质点运动方程为

x=5t，y=10-t2。(1)求质点的运动轨迹并作图。写出质点的位矢与时间的关系式。计算t=0

到t=5s

这段时间内的平均速度。(4)计算t=5s

时该质点的瞬时速度和加速度。例25y

'

x

0y101

2

X5

0Or

x

i

yj

5t

i

10

t

2

jy

'x

2

x

切线斜率为负值，且x越大越陡x

2y

10

25解(1)消去t，得轨迹和x,y轴的交点为为轨迹方程。x=0,y=10 (

t=0时)x=15.8,y=0 (

t=3.16时)知，x=0时有极值，由极值点为x=0,y=10故轨迹曲线应如图：r

0

10

j

r5

25i

15

jr r

5

r

0

25i

25

jv

r

25i

25

j

5i

5

jt552v

52

7.05ms

1

tg1

v

y

tg1

5

45v

x

5

5i

2tjv

dr

dtv5

5i

10

ja

2

jv5

52

102

11.18ms

15

tg1

10

63.4a

2

2

0

2

tg

1(3)（分别为t=0

和t=5时的r）大小为其方向与x轴夹角为(4)当把物体看成是由许多质点组成的体系时，在体系内存在一个特殊的点，这个点的运动能代表体系的整体运动，是体系的质量分布中心，这个点

称为质心。§1.3.4

质心centre

of

mass质心是与质量分布有关的一

点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。ccc两质点质心的求解方法212

21

1m

mm

r

m

rcr

m1

m2m1

m2m1

m2质心的位矢：iimmi

rir

i

cmmi

xixc

i

分量式：

rdm

dm质量连续分布的物体：rc

mmi

yiy

i

cmmi

ziz

i

cxyriimcrOc质心的位矢

rc

为体系内所有质点位矢zrii的 平均，权为各质点的质量

m。x

xdmc分量式：dm

s

dsdm

dV质量线分布：

dm

l

dl质量面分布：质量体分布：

rdmdmrc

ydm

dm

ydmcdmz

zdmc[例4-3]

求半圆环的质心。解：dm

l

dl

l

Rdxc

xdm

m

xl

Rd

Rl1

Rsin

d0质心不一定位于物体。xyOdlRc

2RCarvilinear

motiontangential

accelerationnormal

acceleration本节提要抛体运动一般曲线运动圆周运动刚体绕固定轴转动§1.4

曲线运动、切向加速度和法向加速度dv

adtdv

tv(t)v00adtt

v

(t)

v0

t0adtt

V0

与v(t)分别为质点在初始时刻t0

和任一时刻t

的速度dt

dva

drv

dttrdr

r1vdtt

00tvdt0t

rt

r0

r0

与rt

分别为质点在初始时刻t0

和任一时刻t

的位矢§1.4.1

曲线运动、已知加速度求速度与位矢t0adt

v

(t)

v0

0rt

r0

t

vdt

r例：质点做t=0时，以初速度为

v0

的匀加速运动

v

at0t00

at)dt(v0

2

1

r0

v0

t

2

atA

projectile

is

fired

at

a T

in

such

a

way

that

the

projectileleaves

the

gun

at

the

same

time

the is

dropped

from

rest,as

shown

in

Figure.

Show

that

if

the

gun

is

initially

aimed

at

thestationary ,

the

projectile

hits

the

.抛体运动projectile

motion可以把抛体运动看成是两个直线运动的叠加叠加方法一： 叠加方法二：2

1

r

v0

t

2

gtgx

2y

x

tan

v0

cos

2

2rgt21

2v0txyorv0t

cos

θi201

(v

t

sin

θ

gt

)j2xyor

xi

yj20y

v

t

sin

x

v0

t

cos12gt抛体运动:射程与最大高度vxv0vyxyog

v

hHy

x

tan

02

cos2

1

gx

22

v射程：y=0，得：v

2

sin

2θx

0

gr

xi

yjgt

)

j1220

0r

(v

t

cos

)i

(v

t

sin

x

v0

t

cos20y

v

t

sin

12gtdt

drv

(v0

cos

θ)i

(v0

sin

θ

gt)jy最大高度：

v =

0，

得：0v

sin

θ

gt

0v

sin

θt

0

ggt

2012h

v

t

sin

θ

v

2

sin

2

θ

0

2gs例：一小石子在与水平面成

α

角的斜坡底端以v0

的初速度作斜抛运动。若石子的抛射角为θ0

，求沿斜坡方向和的射程S。抛射角为多大时，沿斜坡方向的射程最大？并求此最大射程Smax。v0v0syxo解1：坐标系，斜抛运动为沿此二个方向上的匀变速直线运动的叠加ax

g

sin

α

a

y

g

cos

α时刻t

，斜抛运动的小石子在此两方向上的位移分别为：0

02x

v

cos

(θ

α)t

1

g

sin

α

t

20

02y

v

sin

(θ

α)t

1

g

cos

α

t

2当石子落在斜坡上时，y

=

0

得：g

cos

αt

v0

sin

(θ0

α)g

cos2

α2v

2

cos

θ

sin

(θ

α)s

0

0

0

坐标系

，斜抛运动为沿此二个方向上的匀变速直线运动的叠加解2：2

1

r1

v0

t r2

2

gt20

0v

tsin

θ

1

gt

2

s

sin

αg

cos

αv0

sin

(θ0

α)t

g

cos2

α2v

2

cos

θ

sin

(θ

α)s

0

0

0

r1

v0t22gt12r

s

cos

αv

t

cos

θ00由图当抛射角为θ时，将石子沿斜坡方向的射程式中的θ0改为θg

cos2

α2v

2

cos

θ

sin

(θ

α)

2v

2s

0

0

[

sin

(

2θ

α)

sin

]ds

2cos

(

2θ

α)

0d2

2

4g

cos2

α2θ

α

当θ

α

时maxg

cos2

αv

2s

0

(1

sin

)0vs质点在进行一般曲线运动时：速度沿着轨道的切向，无法向分量；加速度与轨道的方向无关，所以可分解为切向加速度和法向加速度。建立自然坐标系：以切向和法向建立坐标轴，设切向单位矢量为

(e

)，法向单位矢量为n(e

)。t

n

v

v

τ

vτ§1.4.2

切向加速度和法向加速度

*注意：et

,e随n

质点移动轨道方程s

s(t

)rt0

t速度:v

lim自然坐标系的速度表示dtdsv

dt ds

v

et

vet坐标:s

s(t)速率:oeten)ets

(limt0

tP自然坐标系加速度表示

ds

v

vet

dt

etdt

dv

d(vet

)dta

et

et

(t

t)

et

(t)

e

vdt

t

dt

dv

deto1P2

Pet

(t)te(t

t)ets

0:

et

//

ent

t

e

e

et

entt0

limdt

tdet

edv

d

v

e

v

edt

dt

t

dt

n dv

dea

e

tdt

t

limt0

d

t

dten

en大小：t

t(t

t)

:

e

(t),

e为间的夹角o1PP2et

(t)et

(t

t)etsdv

d

v

e

v

edt

dt

t

dt

n dv

dea

e

tdt

td

d

dsdt

ds

dts0

sdsd

lim

s

0,

0ds曲率：k

t0

s

limds

:

P1

P2间的路程o1P2

Pet

(t)te(t

t)etso1P2

Pet

(t)te(t

t)etsd

d

dsdt

ds

dts0

sdsd

lim

s

0,

0t0

s

limdsd曲率：k

s

:

P1

P2间的路程曲率半径：dt2

et2

d

s

1

(

ds

)2

dt

en

a

atet

anenpet

at

a

anendt dv

v2

a

et

反映速度大小的变化!反映速度方向的变化!dv

d2s切向加速度分量：at

dt

dt22n1va

法向加速度分量：dt

dt

ρdt

dt

dtdv

dv

v

2τ

nτ

v

dτ

a

dv

d

(vτ

)

方法：求积分——初值问题1.已知：r

r

(t)，求：v(t),a(t)2

v

dr

,

a

d

r方法：求导数dt2.

已知：a(t)或v(t),dt2求：r

(t)Problem-solving

tacticvdt

dr

2i

4tjdtdvta

d2dt

(2 1

4t

)v2an

v

2

1

4t21

4t28t例

已知运动方程,求x

2ty

6

2t2an

,

at[解法一]

已知：2r

2ti

(6

2t

)

j22v

4

16t2y

6

x

/

2y

x

,

y

11

y

3(1

y2

) 2v2an

113

2

3(1

x2

)

2

(1

4t

)

241

4t2dtdvta

d2dt

(2 1

4t

)v2an

1

4t28t22v

4

16t2y

6

x

/

2t

a2

a2na2dtdva

tna

a2

a2

[解法二]

2i

4tjdt

drv

4

ja2

16dtta

dv

1

4t241

4t28t例 气球以v0

匀速上升，水平速度因风的影响为vx

by

，求运动方程、运动距离与高度y的关系、切向加速度及轨道曲率与y

的关系。(by v0

)

12y0s

dy解：vy

v0vx

by

bv0t0y

v

t2x

bv0t

20x

by2

2vdx

dy

by

v0oxy(dx

dy)2

1r

bv

t2

2

i

v

t

j0

0ds

(dx)2

(dy)2

dy

0

b2t2

1dtdv

b2v

tat

na

a2

a20202

2bv2b

y

v

0b

2

y

2b

2

v

y

v

2

0

0b2

y2

v20t2b2

y2

v20

0b2v2t2

v2

v

v2

v2

x

ydt2d2

ra

bv0

i02

i

v

t

j0r

bv

t22bv0

vvy

v0vx

by

bv0t角位移：质点在t

时间间隔内角位置由

变到

,

就是质点在该时间间隔内对O点的角位移。角速度angular

velocity：描写转动的快慢。§1.4.3

圆周运动、角位移、角速度和角加速度圆周运动circular

motion单位：Rad角位置：angular

position角位移：angular

displacement平均角速度：瞬时角速度：单位：Rad/s单位：Rad/s2t

Δt

dtΔt

0ω

lim

Δθ

dθ角速度方向：右手螺旋法则，手指弯曲方向为质点旋转方向，伸直的拇指所指的方向就是

的方向。平均角加速度：

tΔt

dtβΔt

0瞬时角加速度：

lim

Δω

dω角加速度方向：角速度

变化的方向。dv2n1va

dv

v2

a

e

edt

t

ndtd

dtdds

ddt

dtv

(R

)

Rd

Rat

dt

R

dt

R21R (R

)2

RRsodtd

:角速度

:角加速度线量和角量的关系aτ

β

Rv

ds

d

(R

)

R

d

R

dt

dt

dt

v

ω

R

R

R

dta

dt

dv

d

(R

)

ddtan2

ω

Rn2v

2an

R

RvRp例：质点做匀速圆周运动，t=0时，初始角为

0，以角速度为0

的匀加速运动

0

t0

t

1

t

2002

2

2

(

)

2

0

,0表示t=0

时的初始角位置和角速度描述方法同直线加速运动What

is

the

centripetal

acceleration

of

theEarth

as

it

moves

in

its

orbit

around

the

Sun?This

acceleration

is

much

smaller

than

the

free-fall

acceleration

on

the

surface

of

the

Earth.设质点沿半径为r的圆周作速率v=bt的运动。b为常量.求质点的速度、切向加速度和法向加速度。若以中心O为原点建立直角坐标系，写出质点的位矢，速度和加速度的表达式。设t=0时质点在x轴上。例（2）由

btetv

vetet

bettdt

dv

annerb2

t

2rv

2na

ed

dt0d

dt0r

r

cos

i

r

sin

j

tr

r

v

btt

20r

2rbt

bt

dt

d

bdt

r(或

122b

t

t

)2

2r

r

r

cos

i

r

sin

j2r

2r

bt

2

bt

2

解：(1)是加速圆周运动

drv

dtdtdva

bt

sin

i

bt

cos

j2r

2r

bt

2

bt

2

r

sin

i

r

cos

j2r

2r

2r

2r2bt

2bt

bt

2

bt

2

sin

j2r

bt

2

cos

i

b

cos

2r

2r

bt

2

bt

2

b

sin

2r

bt

2

rb2

t

2rb2

t

2当刚体上各质点在圆周运动中都绕同一直线（称为转轴）作圆周运动时，称为刚体绕轴线的转动，而转轴在空间的位置固定不动的，称为刚体的定轴转动。P16

例1§1.4.5

刚体绕固定轴转动

r

r

R对质点位置（矢量）描述的相对性!个相对平动参照系oxx

'两[S][S

'

]P

(x,

y,

z

)(x',

y',

z'

)urr

y'R

o'S’(动系)相对S(静系)平动，速度为y

'u§1.5

相对运动一、运动描述的相对性y二、坐标变换相对运动沿S的x轴

r

r

uti设o'和o

重合时开始计时t=t'=0R

ut

uti

r

r

Ryy’xx'x’xz'zy'oyutz'uro'r

PR写成分量形式：t

t'

y

y'z

z'x

x'ut(Galilean)时空坐标变换。

r

r

uti设o'和o

重合时开始计时t=t'=0R

ut

uti

r

r

R利用速度和加速度定义：dt

dt

dtdr

dR

dr

dt2

dt2

dt22d

r

d

R

d

r2

2

dua

adtv

v

u

dtudu牵连速度牵连加速度

dr

dRt

:

S

参考系时间

v

u

dt

dt

vdt

dtdr

dr

如果t

t

则：x，v，a即在

变换下是变量应用相对运动公式的解题步骤有三个要素:的运动质点，运动坐标系，

角知识求解利用几何三

矢量图

画出

列出矢量方程

和两种参考系

选定运动质点

按相对运动公式变换下是不变量变换蕴含的时空观是绝对时空观t坐标系以4km/h的速度向东行进时，感觉风从正北吹来。如果将速度增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。求相对于地面的风速和风向。解：S为地面(静系) S’为人(动系)对象：风v风s'S‘相对于为S系的速度：

4km/

hvs'svs'

sv风s若S‘相对于为S系的速度：v'风s'v's'sv风s45v'风s's'sv'v风s'v风svs'

s由图中可知：v's's

8km/

hv

v

4km

/

hs's风s'v风s

4 2km

/

h

45风速方向向东偏45度一货车在行驶过程中，遇到5m/s竖直下落的大雨，车上紧靠挡板平放有长为L=1m的木板，如果木板上表面距挡板最高端的距离h=1m，问货车应以多大的速度行驶，才能使木板不致淋雨。解：S为地面(静系) S’为车(动系)对象：雨点

5m

/

sv雨s'1mv雨svs'

s根据图示距离：vs's

v雨s＝５m

/s1m求：v雨相对于为S系的速度：v雨ss'sv雨s'

v雨s

vss'vss'

v雨s'

v雨svs's

vss'

v雨s

v雨s'骑自行车以速率v0向东行驶。今有风以同样的速率由北偏西30°方向吹来。问：人感到风是从那个方向吹来？v风

s

'v风s北偏东30°S’系为人

vss'

v风s

'

v风svs

'

s解：S系为地面对象：风vs

'

s

已知：v风s求：v风

s

'例

一轮船以速率v1=25km/h沿直线行驶，另 艇在其前方以速率v2=40km/h沿垂直于轮船的航线行驶，问：1)在轮船上看汽艇的速度如何？2)在汽艇上看轮船的速度又如何？轮船25m

/s汽艇40m

/sS系为地面

S’系为轮船

对象：汽艇

已知：v船地v艇地求：v艇船解：1）

25i

4