南京航空航天大学矩阵论11-12试卷及答案

(完整word版)南京航空航天大学矩阵论11-12试卷及答案(完整word版)南京航空航天大学矩阵论11-12试卷及答案南京航空航天大学2011级硕士研究生共5页 第1页2011~2012学年第1学期《矩阵论 》课程考试A考试日期：2012年1月9日，：学院 专业 学号 姓名 成绩3 6 15一（20分）设A1 2 5。 1 2 5 AA的全部特征值；A(3）写出AJordanJ。(1) IA3 3’A 的 特 征 值 13'

2

0 ；3(2) A 的 行 列 式 因 子 1,,3 3'A 的 不 变 因 子 1,,2 ；3’A 的 初 等 因 子 ,2 ;2’A 的 最 小 多 项 式 2 ;1’0 1 0（ 3) A 的 Jordan 标 准 形 0 0 0 。 0 0 0 5’共5页 第2页2 1二（20分)(1）设A1 2，求A,A ,A ,A ； 0 3

1 2 F(2）设A(aij

Cmn,证明:(i）对m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V

A ;F F（ii）若rank(A)r ，,1 2

, ,r

为A的全部正奇异值，则rk

mn

a2。ijki1j1（ 1 ） A12’

6,14 0AHA ,

14 ；0 5 24'A 3 ；2'FA 19 .F2’1 （ 1

（ i ）

UAV [tr((UAV)HUAV)]2[tr(VHAHUHUAV)]2F1 1 [tr(VHAHAV)]2[tr(V1AHAV)]2[tr(AHA)]2A 1 1 F5’(ii）因为rankAr，m阶酉矩阵U和n阶酉矩 0阵V，使得UHAV

,其中diag(,

, ,

),从而0 0

1 2 rr 02 m n2 UHAV2A2|a|2i 0 0

F F iji15’

F i1j1共5页 第3页1 1 0 1

3三（20分）设A0 1 1 0，b0. 1 2 1 1

4 （1）计算A的满秩分解；（2)计算广义逆矩阵A；（3)用广义逆矩阵判定线性方程组Axb是否相容.若相容，求其通解;若不相容，求其极小最小二乘解。1 01 1 0 10 1 ； 8’ 0 1 1 01 1 （ 2 ） ACT(CCT)1(BTB)1BT2’5 4 1130 3 13 155 7 25 4 16’50

10

51

1b所以Axb不相容. 2’15

3 55 11

19112Axb 的 极 小 最 小 二 乘 解 为 x

。15719 2’共5页 第4页2 1 0 四分设A1 3 3，判断A 0 3 2 并说明理由;（2）A是nHermiteBnHermiteAB相似于实对角矩阵；(3）ABnHermiteABBAAB的特征值，A的特征值B的特征值,使得。A的顺序主子式1

20,2

50,3

80，所以A不是正定的。4’因为A有一个主子式3的。

80

3 330A也不是半正定3 24’AnHermiteHermite矩阵SAS2，从 而 AB 相 似 于 S1ABSSBSSHBS .3’又因为B是Hermite矩阵,则SHBS是Hermite矩阵.由Hermite矩阵的谱分解SHBS相似于实对角矩阵，再由相似的传递性知，AB3’(3）AB均为n阶HermiteABBA则存在n阶酉矩阵U,使得UHAUdiag(1

,),UHBUdiag(n 1

, ,n

)。 3'从而UHABUdiag(, ,)，即AB相似于对角矩阵diag(, ,)。11 n n 11 n n因此,如果ABA的特征值B的特征值。3’五(20分)设R[x]3

表示实数域R上次数小于3的多项式再添上零多项式构

共5页 第5页成的线性空间。R[x]3

的维数,并写出R[x]3

的一组基；对f(x)a0

axa1

x2R[x]3

，在R[x]3

上定义线性变换T如下:T(f(x))(a0

a)(a1

a)x(a2

a)x2,0求T在（1）中所取基下的矩阵表示；(3）求（2）中线性变换TR(TKer(T)，并确定它们的维数；(4）在R[x]3

中定义内积(f,g)11

f(x)g(x)dx,(x),g(x)R[x]3求R[x]3

的一组标准正交基.（ 1 ） dim(R[x]32'

)3 ，R[x]3

的 一 组 基

1

x,3

x2 。3’（2）因为

T(1

)1x21 3T(2

)1x1 2T(3

)xx22 3

1 1 0则 T 在 基 ，，1 2 36'

下 的 矩 阵

0 1 1 。 （3）)1dim(R(T))21'

),T(2

),T(3

))s