矢量分析与场论第4讲场课件

第二章场论第4讲场第二章场论第4讲场主要内容1.场的基本概念2.数量场的等值面3.矢量场的矢量线4.平行平面场

教材：第2章第1节主要内容1.场的基本概念数学场（Mathematicalfield）：为了描述某一物理对象的特定性质或特定状态而在特定空间域中定义的一个或一组多元函数。场：一个物理量是时间和空间的函数。如果在全部空间或部分空间的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这个空间确定了该物理量的一个场。1.场的基本概念数学场（Mathematicalfield）：为了描述某一物理场（Physicalfield）：某种特殊的“物质”，如静电场、静磁场、电磁场等。Maxwell是第一个明确使用“场”的科学家。发生物理现象的空间部分称为场，场是物理量的空间函数。“场”有2个显著特点：（1）场是物理的客观存在；（2）场可以随时间和空间发生变化。1.场的基本概念物理场（Physicalfield）：某种特殊的“物质”，根据物理量的性质，分为数量场和矢量场。数量场（标量场）：物理量是数量。如温度场，电位场，密度场等。矢量场：物理量是矢量。比如力场，速度场，电磁场等。稳定场：物理量在各点处的对应值不随时间发生变化（稳态场）。不稳定场：物理量在各点处的对应值随时间发生变化（瞬态场）。1.场的基本概念根据物理量的性质，分为数量场和矢量场。1.场的基本概念2.数量场的等值面在空间中，数性函数是点的函数，即：则称是空间的一个数量场。当坐标系选定后，进一步写出：一个数量场可以用一个数性函数来表示。通常假定数性函数是单值、连续且有一阶连续的偏导数。2.数量场的等值面在空间中，数性函数是点的函数，即2.数量场的等值面等值面：指数性函数取相同值的点连接起来构成的一个曲面，定义为：（为常数）比如温度场的等温面，电位场的等电位面等。由隐函数存在定理可知，在函数为单值，且各连续偏导数不全为零时，这种等值面一定存在。2.数量场的等值面等值面：指数性函数取相同值的点连接起来2.数量场的等值面等值面的两个性质：（1）空间的每一点均属于一个等值面。（2）不同的等值面不相交。即空间中的每一点只属于一个等值面。2.数量场的等值面等值面的两个性质：（1）空间的每一点均属于2.数量场的等值面例：求通过点的等值面。解：数量场所在的区域为一个以圆点为中心，半径为的球形区域：等值面为：等值面是以圆点为中心的一族同心球面。或2.数量场的等值面例：求通过点2.数量场的等值面例：求通过点的等值面。或解：则过点的等值面，为其中的一个球面：2.数量场的等值面例：求通过点2.数量场的等值面例：求三维静电场的等位面。解：设点电荷位于圆点，静电位可以写为：为数性函数，其中等位面方程：以圆点为中心的球面。2.数量场的等值面例：求三维静电场的等位面。解：设点电荷2.数量场的等值面如果遇到一类柱面问题，即数量场与无关，可以写为，称为平面数量场。在平面数量场中，具有相同数值的点，组成此数量场的等值线，即。比如地形图中的等高线，地面气象图上的等温线、等压线等。2.数量场的等值面如果遇到一类柱面问题，即数量场与无2.数量场的等值面例：求二维静电场的等位面。解：研究与轴重合的无穷长带电直线，电荷线密度为，则其电位表示为：这是一个平面数量场，等位面是圆柱面，即：2.数量场的等值面例：求二维静电场的等位面。解：研究与轴3.矢量场的矢量线如果在空间中，任何点都对应一个矢性函数则称是此空间的一个矢量场。当坐标系选定后，进一步写出：其中为矢量的三个坐标函数，通常假定它们是单值、连续且有一阶连续偏导数。3.矢量场的矢量线如果在空间中，任何点都对应一个矢性函数3.矢量场的矢量线矢量线非常直观的表示矢量场的分布。

矢量线：简称矢线，指在曲线上的每一点处，曲线都和对应于该点的矢量相切。比如：静电场中的电力线；磁场中的磁力线，流速场中的流线等。物理学上，Farady从长期的实验现象中得出明晰的磁力线概念。3.矢量场的矢量线矢量线非常直观的表示矢量场的分布。矢量线3.矢量场的矢量线矢量线的计算：假设是一条矢量线，则对其上的任意一点，矢径方程为：导矢为点处与矢量线相切的矢量，它必定与该点处的场矢量平行共线。3.矢量场的矢量线矢量线的计算：假设是一条矢量线，则对其3.矢量场的矢量线则矢量线满足的微分方程为：在不为零的假设下，由微分存在定理可以知道：当函数为单值、连续且有一阶的偏导数时，矢量线总是存在，而且互不相交。3.矢量场的矢量线则矢量线满足的微分方程为：在不为零的假3.矢量场的矢量线矢量面：由全体矢量线构成的曲面。（P25图2-4）矢量管：当矢量面为封闭曲线时，就构成一个管型曲面。（P25图2-5）3.矢量场的矢量线矢量面：由全体矢量线构成的曲面。矢量管：当3.矢量场的矢量线解：设点电荷位于坐标原点处，则电场强度为：例1：求解点电荷的矢量线方程。则电力线微分方程为：3.矢量场的矢量线解：设点电荷位于坐标原点处，则电场强度为：3.矢量场的矢量线解：具体写为:等价于：解方程：（为常数）其图形为一族从原点出发的射线，称电力线（P27图2-6）。例1：求解点电荷的矢量线方程。3.矢量场的矢量线解：具体写为:等价于：解方程：（3.矢量场的矢量线解：矢量线应满足的微分方程为：例2：求矢量场通过点的矢量线方程。由解得将矢量线微分方程写为：3.矢量场的矢量线解：矢量线应满足的微分方程为：例2：求矢量3.矢量场的矢量线解：利用等比定理，有：由此解得矢量线方程为：表示一族以圆点为中心的同心圆。例2：求矢量场通过点的矢量线方程。3.矢量场的矢量线解：利用等比定理，有：由此解得矢量线方程为3.矢量场的矢量线解：再以点的坐标代入，得出：则通过点的矢量线方程为：例2：求矢量场通过点的矢量线方程。3.矢量场的矢量线解：再以点的坐标代入，得出3.矢量场的矢量线解：矢量线应满足的微分方程为：例：求矢量场通过点的矢量线方程（习题2第5题）。由解得若，由等比定理可得：3.矢量场的矢量线解：矢量线应满足的微分方程为：例：求矢量场3.矢量场的矢量线解：矢量线族方程为：例：求矢量场通过点的矢量线方程（习题2第5题）。由代入得故3.矢量场的矢量线解：矢量线族方程为：例：求矢量场3.矢量场的矢量线解：矢量线应满足的微分方程为：例：求矢量场通过点的矢量线方程（习题2第5题）。也可以变为：由等比定理可得：3.矢量场的矢量线解：矢量线应满足的微分方程为：例：求矢量场3.矢量场的矢量线解：例：求矢量场通过点的矢量线方程（习题2第5题）。矢量线族方程为：由代入得故3.矢量场的矢量线解：例：求矢量场4.平行平面场平行平面场是一种常见的具有一定几何特点的场，分为平行平面数量场和平行平面矢量场。平行平面矢量场的几何特点：

场中的所有矢量都平行于某一个平面；

在垂直于的任意直线的所有点上，对应矢量的大小和方向都相同。平行平面矢量场可简化为平面矢量场来研究。4.平行平面场平行平面场是一种常见的具有一定几何特点的场，分4.平行平面场通常也叫做点电荷产生的平面静电场。例3:无限长的均匀带电直导线，其上电荷线密度为，则在周围空间产生的电场中，其电场的强度所构成的矢量场，便是一个与相互垂直的平行平面矢量场。4.平行平面场通常也叫做点电荷产生的平面静电场。例3:无限4.平行平面场平行平面数量场的几何特点：在垂直于场中的某一条直线上的所有平面上，数量的分布情况都相同。平行平面数量场可简化为平面数量场来研究。例如无限长的均匀带电直导线，其电位构成的数量场，就是一个平行平面数量场。4.平行平面场平行平面数量场的几何特点：在垂直于场中的某一条Homework3作业P29习题2：1，2，3，4Homework3作业第二章场论第4讲场第二章场论第4讲场主要内容1.场的基本概念2.数量场的等值面3.矢量场的矢量线4.平行平面场

教材：第2章第1节主要内容1.场的基本概念数学场（Mathematicalfield）：为了描述某一物理对象的特定性质或特定状态而在特定空间域中定义的一个或一组多元函数。场：一个物理量是时间和空间的函数。如果在全部空间或部分空间的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这个空间确定了该物理量的一个场。1.场的基本概念数学场（Mathematicalfield）：为了描述某一物理场（Physicalfield）：某种特殊的“物质”，如静电场、静磁场、电磁场等。Maxwell是第一个明确使用“场”的科学家。发生物理现象的空间部分称为场，场是物理量的空间函数。“场”有2个显著特点：（1）场是物理的客观存在；（2）场可以随时间和空间发生变化。1.场的基本概念物理场（Physicalfield）：某种特殊的“物质”，根据物理量的性质，分为数量场和矢量场。数量场（标量场）：物理量是数量。如温度场，电位场，密度场等。矢量场：物理量是矢量。比如力场，速度场，电磁场等。稳定场：物理量在各点处的对应值不随时间发生变化（稳态场）。不稳定场：物理量在各点处的对应值随时间发生变化（瞬态场）。1.场的基本概念根据物理量的性质，分为数量场和矢量场。1.场的基本概念2.数量场的等值面在空间中，数性函数是点的函数，即：则称是空间的一个数量场。当坐标系选定后，进一步写出：一个数量场可以用一个数性函数来表示。通常假定数性函数是单值、连续且有一阶连续的偏导数。2.数量场的等值面在空间中，数性函数是点的函数，即2.数量场的等值面等值面：指数性函数取相同值的点连接起来构成的一个曲面，定义为：（为常数）比如温度场的等温面，电位场的等电位面等。由隐函数存在定理可知，在函数为单值，且各连续偏导数不全为零时，这种等值面一定存在。2.数量场的等值面等值面：指数性函数取相同值的点连接起来2.数量场的等值面等值面的两个性质：（1）空间的每一点均属于一个等值面。（2）不同的等值面不相交。即空间中的每一点只属于一个等值面。2.数量场的等值面等值面的两个性质：（1）空间的每一点均属于2.数量场的等值面例：求通过点的等值面。解：数量场所在的区域为一个以圆点为中心，半径为的球形区域：等值面为：等值面是以圆点为中心的一族同心球面。或2.数量场的等值面例：求通过点2.数量场的等值面例：求通过点的等值面。或解：则过点的等值面，为其中的一个球面：2.数量场的等值面例：求通过点2.数量场的等值面例：求三维静电场的等位面。解：设点电荷位于圆点，静电位可以写为：为数性函数，其中等位面方程：以圆点为中心的球面。2.数量场的等值面例：求三维静电场的等位面。解：设点电荷2.数量场的等值面如果遇到一类柱面问题，即数量场与无关，可以写为，称为平面数量场。在平面数量场中，具有相同数值的点，组成此数量场的等值线，即。比如地形图中的等高线，地面气象图上的等温线、等压线等。2.数量场的等值面如果遇到一类柱面问题，即数量场与无2.数量场的等值面例：求二维静电场的等位面。解：研究与轴重合的无穷长带电直线，电荷线密度为，则其电位表示为：这是一个平面数量场，等位面是圆柱面，即：2.数量场的等值面例：求二维静电场的等位面。解：研究与轴3.矢量场的矢量线如果在空间中，任何点都对应一个矢性函数则称是此空间的一个矢量场。当坐标系选定后，进一步写出：其中为矢量的三个坐标函数，通常假定它们是单值、连续且有一阶连续偏导数。3.矢量场的矢量线如果在空间中，任何点都对应一个矢性函数3.矢量场的矢量线矢量线非常直观的表示矢量场的分布。

矢量线：简称矢线，指在曲线上的每一点处，曲线都和对应于该点的矢量相切。比如：静电场中的电力线；磁场中的磁力线，流速场中的流线等。物理学上，Farady从长期的实验现象中得出明晰的磁力线概念。3.矢量场的矢量线矢量线非常直观的表示矢量场的分布。矢量线3.矢量场的矢量线矢量线的计算：假设是一条矢量线，则对其上的任意一点，矢径方程为：导矢为点处与矢量线相切的矢量，它必定与该点处的场矢量平行共线。3.矢量场的矢量线矢量线的计算：假设是一条矢量线，则对其3.矢量场的矢量线则矢量线满足的微分方程为：在不为零的假设下，由微分存在定理可以知道：当函数为单值、连续且有一阶的偏导数时，矢量线总是存在，而且互不相交。3.矢量场的矢量线则矢量线满足的微分方程为：在不为零的假3.矢量场的矢量线矢量面：由全体矢量线构成的曲面。（P25图2-4）矢量管：当矢量面为封闭曲线时，就构成一个管型曲面。（P25图2-5）3.矢量场的矢量线矢量面：由全体矢量线构成的曲面。矢量管：当3.矢量场的矢量线解：设点电荷位于坐标原点处，则电场强度为：例1：求解点电荷的矢量线方程。则电力线微分方程为：3.矢量场的矢量线解：设点电荷位于坐标原点处，则电场强度为：3.矢量场的矢量线解：具体写为:等价于：解方程：（为常数）其图形为一族从原点出发的射线，称电力线（P27图2-6）。例1：求解点电荷的矢量线方程。3.矢量场的矢量线解：具体写为:等价于：解方程：（3.矢量场的矢量线解：矢量线应满足的微分方程为：例2：求矢量场通过点的矢量线方程。由解得将矢量线微分方程写为：3.矢量场的矢量线解：矢量线应满足的微分方程为：例2：求矢量3.矢量场的矢量线解：利用等比定理，有：由此解得矢量线方程为：表示一族以圆点为中心的同心圆。例2：求矢量场通过点的矢量线方程。3.矢量场的矢量线解：利用等比定理，有：由此解得矢量线方程为3.矢量场的矢量线解：再以点的坐标代入，得出：则通过点的矢量线方程为：例2：求矢量场通过点的矢量线方程。3.矢量场的矢量线解：再以点的坐标代入，得出3.矢量场的矢量线解：矢量线应满足的微分方程为：例：求矢量场通过点的矢量线方程（习题2第5题）。由解得若，由等比定理可得：3.矢量场的矢量线解：矢量线应满足的微分方程为：例：求矢量场3.矢量场的矢量线解：矢量线族方程为：例：求矢量场通过点的矢量线方程（习题2第5题）。由代入得故3