固体物理习题解答-第四章

12iai

xi

xai

x(e

a

e

)k

ki

x

e

a1ai

2

x

(1

e )

e

a

u

(x)2i

k (x)

eikxu (x)

sin( x)

（1）令uk

(x)i

2

xa(1

e

)12i12i12i12ia)

uk

(x)(1

ei

2

xa(1

e

ei2n)

)i

2

xa)

(1

ei

2(

xna)uk

(x

na)

k

a比较得：（a）i

xeikx

e

a（b）

由

定理：ikak

(x

a)

e

k

(x)k

(x)

sin(

x)aa

ak

k

(x

a)

eika

(x)

sin(

x

a

)

sin(

x)运用

定理：比较等式，有eika

1

eik

aaak

(x

a)

i

cos[

3

(x

a)]

icos(

3

x)

eii

cos(

3

x)a

ak

k(2)

(x)

i

cos(3

x)

(x

a)

eikai

cos(

3

x)比较有eika

eiak

al

(3)

k

(x)

f

(x

la)

k

(x

a)

f

(x

la

a)

f[x

(l

1)a]

f

(x

ma)l

l

m

k

(x)k

0l

(4)

(x)

l(i)

f

(x

la)kl

l

(x

a)

l(i)

f[x

(l

1)a]l(i)

f

(x

a

la)

k令m

l

-1令m

l

-1(i)

f

(x

ma)

ik

k2m(i)

f

(x

ma)

e

(x)

e

2

(x)i

3

i

k

(x

a)

mmm1k

2a4.2

0V(x)

21m

[b

(x

na)2

]

na

-

b

x

na

b(n

-1)a

b

x

na

b2

2a-b4b-4bxV(x)bb0N

V(x)dx-b-b1

b

11

m2a

2

1

m2b262

2

2

m

[b -

x ]dx

a

2

9611

LV0

V

V(x)dx

LNacos(

n)]2n222

n

2

2cos(

n)]

4m2b2

[

1

sin(

n)

1a3[2aa32

2sin(

n)

2 4n

m2m21

L0-b(b2

-

x2

)e

dxbi

2nxaV(x)e dx

L

i

2nxanV

2a 2n

3

3第一能带（n=1）：m2b243a3m2

2a

2n3311V

1

13E

2

V

8

m2b2m2b21222V

22

2E

2

V

1

m2b2

8E2二能带比：E1第二能带（n=2）：4.3设一维晶体由N个双原子分子组成，晶体长度为L=Na，a为相邻分子间的距离。每个分子中两原子间的间距为2b，且a>4b。若势能可表示为a2bL=NaN1V(x)

V0

[(x

na

b)

(x

(na

b)]n0式中，V0是大于零的常数。N1V(x)

V0

[(x

na

b)

(x

(na

b)]n0a2Gl

l1

LL

0V(x)eiGl

x

dxV(Gl

)

(1)12若V0很小，试计算第一布里渊区边界上的能隙。若每个原子只有一个价电子，说明晶体是否为导体？当b=a/4时，情况将发生什么变化？由于V0很小，可用近电子近似求解能隙。原胞基矢长度为aaL

aL

aLaV

0LL0

2V0

Na

cos(2

b

l)

2V cos(2

b

l)n0

n0

V02a

cos[22V0l(na

b)]

abcos(2

l)

N1N1[e

e]ai

2

l

(nab)al

VN1n0i

2

l

(nab)aV(G )0[(x

na

b)

(x

na

b]eiG

l

x

dxL

N10

n0a1

0

2

V

4V cos(2

b)(2)每个原子有一个价电子，共有2N个电子，能带状态全部占据，是绝缘体。当ab

a

2

V

4V cos(2

b)

4V

cos(

)

041

0

02上下能带

，是导体。4.4kxkyC'CA

B/a/a/a微扰前：A点和B点：B2AE02m

a( )2

E0(

10

)2

C”/a第一布里渊区2k2

2G2

jaa2n

1二维倒格矢：

G

n

2

i

nC'CE02m

a2m

2m

2(

11

)

2

2( )2

E022m

2m

22k2

2GC点和C”点：A与B点的微扰等效于A点与B’点的微扰。两者差一个倒格矢：B’

2

iGa10C与C’点的微扰等效于C点与C”点的微扰，两者差一个倒格矢：G11

2

i

2

ja

a微扰后：BB点：

E

2m

a)210(

V(G

)2C点：22m

aEC

2(

)

V(G11)2C'点：2m

a

V(G10

)AE

(

)22A点：2m

a11CE

2()2

V(G

)2能带不要求：EC

EB即：不要求：否则。2m

a)2

V(G10

)2EC

2(2m

a)2

V(G11)

EB

(22m

a2V(G10)

V(G11)

()24.5二维正，晶格常数为a。周期势：a

a0V(x,

y)

4V

cos(

2

x)cos(

2

y)xyaakxky/a/a/a/a二维晶格二维倒格子（1）用近电子近似求出（/a，/a）点的能隙。设总面积为S

，总原子数为N，则S=Na2将势能函数展开为ax)cos(

y)2aV(G

)eV(r)

V(x,

y)

02

4V

cos(GhhhiG

r级数：aa0i

2

yai

2xa0SS

hV(G )

y)e

dya2x)e

dx

cos(0a2N

(-4V

)cos(Na211V(x,

y)e

iGh

r

dxdy

V(Gn)的反变换为：a

j

i

ja

a2

2

2

2

其中，

Gh

h1b1

h2b2

h1

a

i

h2（选择在第一布里渊区内，h1=1；h2=1）

r

xi

yj0aa12a22cos(cos

isin)d

0x)e dx

i

2

xa2a

cos( V(G)

-V0为常数能隙宽度：E

2

V0ax)cos(

y)2aV(G

)eV(r)

V(x,

y)

02

4V

cos(GhhhiG

r或2121a2

4V0cos(

x)cos(0

V

(eik1

1raai

2

yi

2

xaai

2

yai

2

xi

2

yai

2

xai

2

x i

2

ya

ai

2

ya

e

)]i

2

yai

2

xa

e

)

(ei

2

xa

eik11r

e

e

e

e

)

V0

(e

e

e

ey)

-4V0[

(e2对比GhhiG

rhV(G

)e

eik11r

eik11r

)V(Gh

)

V0且只有4个不为零的。k（2）求在（/a，/a）处的电子速度。因为该点正是布里渊区的边界，由近电子近似理论知：0

V

(k

2

k

2

)

Vx

y

0k2

0E

E

E

(k)

V(G)

(

i

j)2mahmam

(kx

i

ky

j)

(

i

j)

v(k)

( i

j)E(kx

,

ky

)

2m

kx

ky2m

2m1

2

1

k

E(k)

k(

,

)a

a4.6

一维晶格中，用近

近似及最近邻近似，求s态电子的能谱E(k）的表示式、带宽以及在带底和带顶出的有效质量。x-2a

-a

0

a

2a一维晶格示意图nRnn

ikR

E(k)

Es

(R

)e近

近似最近邻近似下，n1=1，-1二个格点。且

E

(eika

e-ika

)

E

2cos(ka)s

ssn(R

)e

nRn

ikR

E(k)

E

一维情况

Rn

n1ai

n1a

k

kx

i

k(R1)

(R-1)

EmaxEmin

Es

2

Es

2带顶：对应ka=对应ka=0带底：带宽：

E

Emax

Emin

4EsEs

-

β4γ原子能级演变为晶体能带示意图22a2cos(ka)m*

(k)

带顶处：（ka

=

）带底处：（ka

=

0

）

-m*顶2

22a

2cos()

2a

22

22a2cos(0)

2a2m*底有效质量：m

*1k

k

1

E(k)2对于一维情况：22

Ek

k

E(k)

k2

2a

cos(ka)与分量无关。xaa4.7

二维正

的晶格常数为a。用紧

近似求s态电子能谱E(k)（只计算最近邻相互作用）、带宽以及带顶、带底的有效质量。y任取一格点作原点，最近邻的格点为：R1

aiR2

aiR3

ajR4

-aj设k

kx

i

ky

j4个最近邻的格点都等价，所以γ都相等。

eikya

e-ik

ya

)ssRn

Es

2[cos(kxa)

cos(kya)]

e-ikxaE(k)

E

en

ikR

E

(eikxa带顶：带底：对应

kxa=，kya=对应kxa=0，kya=0带宽：

E

Emax

Emin

8EmaxEmin

Es

4

Es

4yy

1

2

2E2E

E(k)

yxxy

yk2y

x

k

kx

121

m*

m*1*

m*112Ek2

k2E

1m

*k

k有效质量：x2E

2a

2cos(k

a)xk2

02E2Ey

x

k

kx

yk

ky2E

2a

2cos(k

a)yk2yy

E(k)

yx

xx

xy

ym*x2

2a

cos(k

a)121

m*1m*

m*1

12a

2cos(k

a)

0

012

m

*1k

kx22a

2cos(k

a)*yy21

2a

cos(k

a)*xx

1

y

mm2有效质量各分量元：及

0

0

1

1m*yxm*xymy22a

cos(k

a)*yy22带顶处（kxa=，kya=

）：带底处（kxa=0，kya=0

）：另，说明：在带底附近，晶体电子与电子相似（等能面为球面）。yy22a

2

m*

xxm*顶

m*22a

2yy

m*

xxm*底

m*y

s

x

y

ss

x2y2x2

E

2{2

1

a

2

(k

2

k2

)}

E

4

a2

(k2

k2

)

E

4

a2k212

21 (k

a)

]}

2{[1 (k

a)

]

[1E(k)

E

2[cos(k

a)

cos(k

a)]

Es

x

y

s带底处附近：kxa<<1，kya<<1电子能量正比矢k的平方，与分量无关，因此类似于

电子的情况。4.11

已知一维晶体电子的能谱为：7

1ma

2

8

8E(k)

[

cos(ka)

cos(2ka)]2其中，a为一维晶格常数。求：（1）能带宽度求E(k)的极值：1k

ma

2

8即

sin(ka)[

cos(ka)

1]

02E

12

[a

sin(ka)

2a

sin(2ka)]

0令只能有：sin(ka)

0n

0,

1,

2ka

n,将ka

限制在一个周期内：ka=0,

即n

取0

和1。当ka=0时，或k=0时：7

1ma2

8

8E(k)

[

1

]

02为能带的极小值，即能带底。当ka=时，或k=

/a时：2ma

8

8

ma7

1

222E(k)

[

1

]

2为能带的极大值，即能带顶。

22ma

2

EminE

Emax能带宽度：（2）电子在为k时的速度：2ma1

1

[a

sin(ka)

2a

sin(2ka)]

sin(ka)[1

cos(ka)]8v(k)

21

E

1

k

ma

2特别地，处在带底及带顶的电子平均速度均为零。k2m*

(k)

（3）带底和带顶处的有效质量：22E12cos(2ka)]1k2

ma

2

[a

2

cos(ka)

2a2

cos(2ka)]

[cos(ka)

4

m2E2

2带顶处：ka=22

m312m*

2Ek2m

(1

2)2顶带顶处：ka=02

2mm

(1

2)122m*

2Ek2顶（4）若一维晶格长L=Na，求能态密度。2d

2

L

dkdEdg(E)

0-/a/akEK+dkE+dEkd

ddk

L

dkg(E)

2dE

dkdE

2

dE41sin(ka)

sin(2ka)N

ma

2114maa[sin(ka)

sin(2ka)]dk

dE

[asin(ka)

sin(2ka)]dkma

2

4dE2g(E)

22kx4.13

求限制在边长为L的正方形中的N个电子的态密度。L2d

dV(2)2kky

k2dV

dS

(k

dk)2k

k计入自旋态后

2kdkL2(2)2d

2

2kdk2k2E

2m2mE2k

2m

1/

2

11/

2dk

(

2

)

2

E

dE2mL2d

2

2

dE

g(E)

dE

2

2

常数L2d

2m能量处于E→E+dE之间的状态数dω2

m1

m2

m3(

1

2

3

)E(k)

2

k2

k2

k24.14

若晶体电子的等能面是椭球面求其能态密度。在椭球坐标系中，取主轴坐标系，K空间的椭球面为ca

bk32

2

2k1

k2（

）

（

）

（

）

1取三个主轴的半径：2m1E2a

2m2E2b

2m3E2c

等能面则为上述描述的椭球面。该等能面所包含的k空间“体积”为：1

2

3k3

32V

V(E)

4

abc

4

(

2E

)3/

2

m

m

m1

2

3

（m

m

m

）1/

3其中称为约化质量；V为晶体体积。能量处于E→E+dE